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MP sin A , sin A sinm i. ,, ^

on ■— ;r= . w > <>» * ^^^^ « = -: — î>="^ (voyez fig- 40*

AP sin M sm M sinn ' o ^

129 1 II faut observer qu'en opérant amsi nous avons pris arbitrairement le irapport de MP k APj c'est-à-dire a, et que nous avons aussi pris AB ou 6 à volonté ; mais si a et 6 étaient des quantités données , soit en nont*? bres , soit en lignes , on ne pomrait plus les prendre en quelque sorte au hasard. Cependant on pourrait , dans tous les cas , les représenter par des droites,

Reprenons Téquation « = ciXy eUe donne / : a : : a? : z (n*. 41 ) ; ainsi 13 est une quatrième proportionnelle à l'unité de ligne /, que l'on supposQ connue (n*. 124), à la ligne donnée a, et à une certaine abscisse a? prise à volonté : on déterminera donc ainsi z. Alors sur une droite indéfinie , Xr, fig, 43, on prendra AP=:Xy et l'on mènera PjÏ/=z, faisant avec ^P un angle égal à celui des coordonnées , qu'on doit aussi supposer connu pour que la droite soit déterminée par son équation ( n^ 124 ) ; AM sera le tieu de z = ax. Cela fait , si par l'origine A on mène la droite VF' paraU lèle à NPj elle sera l'axe des y; faisant encore AB=:b, puis menant BN parallèle à AMj cette droite BN sera le lieu de la proposée y :==: ax -j- ff^

130. On pourrait aussi trouver la ligne en question de cette manière 1 Cherchons d'abord si elle rencontre l'axe dés y et dans quel point. Il est évident que lorsqu'une ligne rencontre l'axe des y son alwcisse est nullç ; or si nous fdsons xsszéro l'équation donne y^=?^b; ayant donc mené lea deux axes Xï', YY' y fig. 41, nous prendrons ABz=zb pour l'ordonnée do

Vorigine ; et la droite que nous cherchons ; puisque nous SATonn bien <jiie

88 PE LA LXGNB DROITE: ÉQXlATïOVB^

c'est une droite (n^. 128), devra déjà passer par le point J9; U n*en faudra

plus qu'un pour la déterminer. Voyons donc si elle rencontre l'axe des a:

et où; faisons pour cela y=:zérOj car l'ordonnée est nulle lorsque la ligne

rencontre l'axe des x , l'équation nous donnera , par cette supposition , • • •

a: = ; d'où nous tirerons , en laissant de côté le signe , a: b ::l:x;

cherchant donc une quatrième proportionnelle à a, 6, et /, nous la porterons de il en C sur Taxe oies x , à gauche de l'origine à cause du signe — ; et par les points C et ^, ainsi déterminés, nous mènerons la droite CBN^ qui sera toujours le lieu de l'équation y = ax + b.

131. Ce dernier procédé nous a fait connaître quelques circonstances du cours de la ligne ; voyons-en d'autres.

r. Supposons a et 6 en + :

Si X est aussi en + et va toujours en augmentant, l'équation prouve que y ira aussi en augmentant sans cesse. C'est-*à-dire que la ligne s'écarte indéfiniment dé l'axe des x et ne le rencontre plus vers la droite.

Si on prend x en moins , ou vers la gauche de l'origine , on aura

y=z — ax + b; et tant que ax sera plus petit que b , y sera encore en + » ou au-dessus de Taxe des x; mais comme le terme ax augmente en même tems que a:, b — ax on y diminue, et cela jusqu'à ce qu'on ait ax=::b; car alors b — ax ou y se trouve nul , et la ligne , comme nous^Tavons déjà vu , rencontre l'axe des x.

Si X continue à augmenter vers la gauche , le terme ax devient plus grand que 6 , et la valeur de y se trouve en moins ; c'est-à-dire que l'ordonnée est au-dessous de Taxe des x. La ligne alors s'écarte indéàniment de cet axe et ne le rencontre plus.

Il faut observer que ces circonstances se reconnaissent en partie dana la figure , mais que c'est l'équation qui vient de nous les dévoiler.

2*. Supposons a en + et 6 en — :

Si on prend x en + Téquation aura la fonne y:=zax — 6 , et depuis a: = o , qui donne y = — 6 , l'ordonnée sera au-dessous , et deviendra toujours plus petite à mesure que x augmentera , du nioins tant qu'on ^ura ax < 6 ; mais lorsque ax sera égal à 6 , on aura ax — b ou y nul. Depuis là ax deviendra plus grand que 6, et oo; — b ou y prendra le signe +, et sera au-dessus de Taxe.

Si on prend x en —- l'équation aura la formey=:*— aar«r^6, et l'ordonnée,

placée

CONSTRUCTION DES iSqUATIONS» CtC. 8f

placée au-dessous de Taxe, ira toujours en augmentant avec x.

Ces circonstances appartiennent à la ligne DO f et la figui*e aidera à les comprendre.

3*. Si on supposait a en — et 6 en '+? et 4®. sî on supposait a tn — et h en — , on pourrait conclure de l'équation modifiée pour ces cas , suivant qu'on prendrait a; en + ou en — , le cours de la droite tracée du deuxième au quatrième angle des axes,> et au-dessus ou au-dessous de l'origine.

132. Du reste, déterminer ainsi le cours d'ime ligne d'après son équation 9 reconnaître sa nature , sa formis , sa position , ses propriétés , c'est ce que l'on appelle discuter cette équation; et Ton dit ausssi quelquefois discuter la ligne.

Discuter une équation , c'est donc faire plus que de trouver le lieu de cette équation ou que de la construire <n*. 128). Quand on a construit , ou trouvé le lieu ^ on n'a pas encore achevé la discussion.

N.B. Essayez de construire 2y+a:=i2, y=— 3+^> y=— *— *• etc.