CHAPITRE III

Problèmes généraux relatifs à la ligne droite.

133. .Nous savpns maintenant qu'une équation qui peut être ramenée à cette forme y = a:c+6, appirtient à une ligne droite; or il est facile de voir que c'est le cals de toute équation du premier degré à deux inconnues.

Lorsque les coéfEciens a et 6 ne sont point donnés , nous savons seulement que la ligne est droite, mais nous ne connaissons pas sa véritable position relativement aux axes ; pour que cette position soit déterminée , il faut que a et 6 soient donnés , et que Ton aU de plus l'unité de ligne , et l'angle que font entr eux les axes (n^ 124).

Cependant il peut arriver que a et A n'étant pas immédiatement donnés , on ait certaines conditions propres à déterminer ces quantités. La recherche des coéfBciens a et 6, dans ce cas, donne lieu aux questions suivantes, que Ton rencontre souvent en appliquant Talgcbre à la géométrie.

134. Trouver t équation dune droite assujettie à passer par deux points dofuiés.

Les deux points en question étant donnés , leur position relativement à deux axes fixes sur un plan est connue ; c'est-à-dire que Ton a la grandeur de leurs coordonnées. Or il est clair qu'on ne demande pas ici une opération graphique , qui consisterait à tracer avec une règle la ligne demandée , en la faisant passer par les deux points donnés : on demande une é(|uation qui soit celle de cette ligne , et qui exprime la condition à laquelle elle est assujettie.

L'équation générale de la ligne droite est y^zax-^b; elle comprend donc la droite en question , comme un cas particulier ; mais il faut trouver quelles sont les valeurs de a et de 6 qui peuvent satisfaire à la condition exigée. Nommons « , « , les abscisses connues du premier et du second point donnés, et 5, /b', leurs ordonnées aussi connues. L'équation générale sera satisfaite quand on y mettra ces valeurs à la place de x et de y, et Ton aura s'multanément :

Voilà deux équations, dans lesquelles «, », *, z^' , sont les connues, a et 6

FROBL. CÉNEB. BEtATIFS A LA LIGNE DBOITE. 91

le« inconnues , il faut donc traiter ces équations par T^limination , pour en tirer les valeurs de a et de b c[ui conviennent à la ligne , et qui seront expri-

mées en « , *, fiy 0'.

Si l'on retranche la seconde équation de la première , on a

H =:a(» — » )9 d'où Fon tire :

mettant cette valeur de a à la place de cette lettre dans la première équation , on obtient :

fi fi' uff — B»'

En substituant cette même valeur de a dans la seconde équation on aurait:

ô/î' ufi' — fiu'

b^fi'-^' r • == r---(^).

Mettant enfin les valeurs particulières de a et 6 dans l'équation générale de la ligne droite, on trouvera pour l'équation demandée :

135. On pourrait donner à cette équation une forme plus simple; il faudrait pour cela, en substituant la valeur de b dans l'équation générale, prendre cette valeur sous l'une ou l'autre' des formes qu'elle a en (Aj et (B) avant la réduction ; on aurait ainsi :

y — x+^ -«, OU y= -x + el -«;^

d OÙ l'on tirerait :

équations qui reviennent Tune à l'autre, comme il est facile de le vérifier, N. B. J'ai- préféré faire tout ce calcul de cette manière , parce que les commcncans aiment à retrouver dans les équations , au moin^ pour le premier moment, les formes qu'ils connaissent.

136. Si dans cette équation , sous l'une ou l'autre de ses formes , on fait a- = « ; on trouve y = i® , comme cela doit être , et réciproquement si Ton