BELATIF8 A LA LIGNE DROITE
et par conséquent g— fl' = o; enaorte qu'on trouverait *=? + (« — «'). Si elle était parallèle à Taxe des y ^ on aurait oiz=z»^ « ~ »' == o , d où il résulterait > = ± ( i8 — «' ).
Si elle passait par l'origine des abscisses , et que ce point fut un des deux dont on cherche la distance, par exemple celui dont les coordonnées sont - désignées par «' , ^ , ces quantités seraient nulles , et la formule général^, donnerait :
A/ r . , . cos y
Si on voulait supposer en même tems la droite parallèle à Tun des axes ou à r autre , elle ne serait plus que ces axes eux-mêmes , et Ton aurait ou . . . * = o ou « = G ; d'où il résulterait >=±« ou > = + «.
. 138. Dans tous les cas , si l'angle des coordonnées était droit y on aurai| cos y = o , et la formule générale deviendrait :
139. Si Ton n'avait assujetti la ligne qu'à passer par un seul point donné (», B) (•), en mettant « et j0 à la place de x et de j^ dans l'équation générale y = aa: + by on n'aurait eu pour déterminer a et 6 que l'équation. . . $=: a»+b. C*est-à-dire que la valeur de a aurait toujours été exprimée en 6 , ou celle de 6 en a ; ainsi il aurait toujours fallu fiixer au moin* une de ces quantités pour que la position de la ligne fût déterminée.
Si de l'équation précédente on tire la valem* de b exprimée en a , on fi|
b=B — a»; mais si Ton prend la valeur de a exprimée en 6, on trouva
a = ■ ; ce qui donne ces deux équations :
yz=:ax + ($ — a«) ... (-£),
ce
^î peuvent être considérées comme étant chacune l'équation de la droite en question.
Mais il faut observer que lorsque b est connu, il y a alors un second point donné par lequel passe la ligne ; c'est pourquoi les équations du
' C) J'entends un point dont les coordonnées sont « et /3; j'emploîrai d^sor* Iiai5^ d'après Francœur^ cette expression abrégée.
94 PRQBLÈME5 GÉN^BAUX
n^. 135 redonnent {F) lorsqu'on y fait « = zéro tt B ^=zb. Du reste , si Ton donne à (£) et à {F) les formes suivantes :
on verr^ mieux leur analogie avec celles du n^ 135; et de celles-là on fera ressortir CE) , tout comme on en a fait ressortir (F) ; car que « et b! soient
connus ou non , on a toujours > = a.
140. Nous venons de considérer une seule droite, nous allons en considérer deux , qui seront nécessairement , l'une à fégard de Tautre , ou parallèles, ou perpendiculaires, ou obliques.
141. Trouver t équation (ïune droite parallèle à.une autre droite donnée. Soit y ==z ax^b l'équation de celle-ci : ;
i\ ^i la parallèle demandée peut être plus ou moins éloignée dé la droite donnée , il suffira qu'elle fasse avec les axes les mêmes angles qu'elle ; la quantité a seta donc la même; mais non la quantité 6, qui pourra être prise à volonté ; et Ton aura d après cela jf = ax + 6' , pour l'équation de la parallèle ; b' pouvant être plus ou moins grand.
2^. Si la parallèle est assujettie à passer par un point («, B) il faudra qu'on ait ô = a « -f- ^% ^^ ^^ donnera b'=:B — a « , et substituant on obtiendra :
jf = ûx + (i8 — ^«), OU y — Bz=zatx — *), pour l'équation de la parallèle menée par le point donné.
C'est Féquation (£) ou (£') du n®. 139, mais nous avons préféré refaire ici le calcul , pour être mieux compris des commenoans. D'ailleurs dans le n®. 139 a est quelconque j tandis qu'ici la valeur de a doit être la même que dans l'équation de la droit^c donnée. - •
142. Vepons aux droites qui se rencontrent, et voyons d'abord comment on peut trouver la valeur de^ coordonnées au point d'intersection de deux droites dont on a les équations.
Soient ces' équations jr = oo? + ^ > J' = û'jc. + 6' ; on doit supposer que les quantités a , 6 , a' , i' , sont constantes et connues , car sans cela les droites ne seraient pas données. Quant aux variables x et y , on peut bien faire que les x soient toujours les mêmes pour les deux lignes , mais alors les y coiTespondans différeront en général entr'eux d'une' ligne à l'autre , et
