RELATIFS A LA LIGNE DROITE
réciproquement. Il y a cependant une exception , c'est pour le point où les lignes se coupent ; là les coordonnées sont les mêmes pour les deux lignes et sont constantes :, en les désignant par « et 5 , on aura :
/8 = a« + 6j Ôz=a«+ô'; et de là on tirera , par l'élimination :
b' — b ab' — ba'
Alors si a' devient égal à a et 6' à ^ , on aura « = § et /S = § , valeurs indéterminées , répondant au cas où les deux lignes coïncident et où le point d'intersection est par tout ; comme cela doit être par la supposition que nouj^ venons de faire.
Si a'=;a seulement , les valeurs des coordonnées « et /8 prennent la forme | ; ce qui indique que les deux droites ne se rencontrent qu'à une distance infiniment grande , ou plutôt qu'elles ne se rencontrent pas du tout , et que par conséquent elles sont parallèles; comme cela doit être aussi quand on a a' = a , et qu'on n'a pas 6'= 6 ( n*?. 141 ).
143. La méthode que nous venons d'emplojer pour trouver les coordonnées du point d'intersection de deux droites , peut s'appliquer à deux lignes quelconques tracées sur un plan , car on raisonnera dans tous les cas comme nous avons fait dans celui-ci.
144. Trouver r équation d'une droite perpendiculaire à une autre droite' donnée (n*'. l40 ).
Si la droite passe par l'origine des abscisses , comme la première droite, fig. 46, on a :c : V :: sin n : sin m, ou y = i^--?- x;
c'est l'équation de cette première droite ; et Ion connaît m et n , puisqu'on suppose la ligne donnée.
Maintenant si on lui mène la première ligne perpendiculaire , passant aussi par l'origine des abscisses , on aura pour celle-ci , comme on le voit par la figure 07 : - — y :: sin g : sinp, ou y,= — £^ x.
Or dans le graiid triangle , qui comprend les deux autres , l'angle tn+p est droit , donc n et q sont complémens Tun de l'auti'e. Ainsi 1 équation précédente devient y = — Sfi-S x. .
Faisant, comme à l'ordinaire , 'l!Li!t == a , et représentant • de plus
par la lettre c , les deux équations deviendront :
y = ax, y = — ex.
cw n * * '
96 PROBLÈMES ciNERAtrX
Cela posé , si la première droite et sa perpendiculaire s'écartent înéga- Içraent de l'origine des abscisses , toujours parallèlement à elles-mêmes , et ' deviennent la seconde droite et la seconde perpendiculaire , il est clair qu'elles auront alors pour équations :
y = ax + 6 , jf = — - ex + b\
Mais si Ton avait assujetti la perpendiculaire à passer par un point ( « , 18 ) , les deux équations auraient été celles-ci :
145. Si l'angle des coordonnées est droit m et n sont complémens l'un de l'autre , et puisque '-i^JH =s a = f , il est clair que Ton a aussi
££1-2 — c — ^^ " z= - Ensorte que les équations des deux droites sont en
cas n *"~ ""■ sin m a* * *
général :
jf = aa? + 6, j^=: — H a? + 6'; ou lorsque la seconde est assujettie à passer par un point ( « , 5 ) :
y:=ax + b^ y — Ô = — i(^x — «).
146. Trouver la longueur de la perpendiculaire^ depuis le point dont les coordonnées sont « et 5 , jusqu'à la rencontre de F cadre ligne.
On voit pair le n". 137 et la fig. 47, que Ton a pour cette longueur :
Vcos y
ce que Ton peut écrire ainsi :
Vcos y
Cependant ce n'68t là que la formule générale de la valeur de >; il faut pour l'appliquer au cas dont il s'agit ici , y mettre à la place de ir — « et et de jf — * les valeurs de ces quantités, tirées des équations des deux droites.
L'équation de la perpendiculaire est
celle de la droite est ;f = ao? + 6 ; mais pour la comparer plus facilement à rautre, oo peut lui donner cette forme :
y — 5 = ax + ô — - 5 ; de ces deux équations il résulte celle-ci :
aa?+6— -0 = — . c (:r — « ).
Pour en tirer la valeur de a: — «, qui doit être substituée dans celle de >, nous pourrons encore l'écrire ainsi : ^ï^
BEIATÎTS A LA LIGNE DHOITE. 97
or — aet+ a» + b — 5=: — c(a; — «);
on obtiendra alors facilement :
Mettant donc cette valeur, à la place de a: — », dans Téquation de la perpendiculaire , on aura :
Substituant enfin dans Texpression générale de 5 les valeurs de x — «et de y — *, que nous venons de trouver, et faisant pour abréger -— =c, nous aurons :
