CHAPITRE IV

Problèmes particuliers relatifs à la ligne droite.

162. k!)upposons deux axes rectangulcùres , et une droite passant par V origine des abscisses y C équation fie cette droite étant donnée, on demande celle dune autre droite gui partagerait en deux parties égales V angle que la première fait avec Ca^e des x.

Soît y:=ax réquatîon de la première droite , et jp = fcr ^ celle de la seconde ; on connaît a et l'on veut trouver k exprimé en a.

Or la seconde droite fait avec Taxe des x un angle dont la tangente est Rk ( n^^. 121 et 150 ) , et elle ftât avec Tautre di^oite un angle dont là tan-

gente est — ■ (n^. 150); et comme ces deux angles sont égaux, leujrs

deux tangentes sont égales ; on a donc

équation de laquelle on tire celle-ci ;

ft* + L/c— l=o....(t) laquelle étant résolue donne :

S= ±\li + ~>

Ensorte que l'équation demandée est

Elle est double , parce que la droite donnée fait avec Fàxe des x y deux angles ^ et qu'il y a par conséquent deux droites qui partagent ces angles^ chacun en deux parties égales.

Du reste on voit par Téquatîon (1) que le produit dès deux valeurs de h égale — 1 (Algéb. n^. -iOft); désignant donc ces valeurs par A et ft', on a fct' = — 1 , ou Àif + 1 s= G ; d' où il résulte que la droite qui passe au milieu de l'angle de la gauche est perpendiculaire à celle qui passe au milieu de l'angle de la droite (n"". 151 ). Et il est facile de voir que cela doit être ainsi.

PROBL. PABTIC« R£LATIf8 A LA LIGNE i DR OlT£. 101

^153. Etant donne' T angle que font entr'elles deux droites JJS, JX^ ( fig. 49 ) déterminer dans Tintérieur de cet angle un point C tel que si de ce point on mène une parallèle à Fune de ces lignes , à AX par exemple^ on ait CD^=zAD.

Prenons une des lignes , AX par exemple , pour axe des abscisses , et le sommet A de l'angle poui- l'origine , supposons de plus que les axes se rencontrent à smgle droit; celui des deux c^poites étant connu, si l'on divise sa tangente par le rayon, et qu'on appelle le quotient a, on aura (n^^ 121. .122 ) y = ox pour Téquation de la droite AB ^ a étant donc connu. Maintenant si le point C était trouvé, et que Ton menât par ce point la droite ^ C , il est clair que tous les points de cette droite auraient la même pro^ priété que le point C ; c'est donc cette droite qu'il faut mener. Désignonsla par cette équation y = kx ; il faudra trouver A: inconnu, exprimé en a connu.

Représentons les coordonnées du point C , par « , i5 , et celles du point Z) par «', ^> nous aurons, par les équations de AB et de -4C,

fizzzacty ^=A:«...(2),

Or à est connu, et l'on peut supposer que « l'est aussi, parce quil résulte de ce que nous avons dit qu'on peut le prendi-e à volonté ; on a donc

D'ailleurs la grandeur de AD est \/ « * + ** , et celle de CD est « — . » , et ces deux quantités sont égales , ce qui donne :

Effaçant les termes qui se détruisent , et substituant les valeurs de /3^ et de »% tirées de Téquation (2) et de l'équation (3) , on trouve :

•-fta = «» + 2— ÂE ou A?+-*— 4 = 0.

Cette équation étant la même que l'équation (1) du n*. précédent , prouve que la droite AC partage l'angle BAX en deux parties égales; iUest donc facile de la mener et de tiouver ainsi le lieu de tous les points C, qui ont la propriété indiquée.

Une droite perpendiculaire k AC^ serait dans l'angle BAX^ le lien de tous les points ajant la même propriété {x^. 152).

On peut remarquer que « a disparu de l'équation ; c'est qu'en effet la

valeur de ft, ou, ce qui revient au même; la valeur de l'angle CAX^ ne