PROBLEMES PARTICULIERS
dépend point de la grandeur de TabscUse « , que Ton peut prendre à volonté', cocrirae nous l'avons déjà dit.
154. Détenniner comment s'entrecoupent les trois perpendiculaires aboissées des trois sommets dun triangle quelconque sur les c^és opposés.
Si. le triangle est rectangle, il ^t clair que les peVpendiculaires en question s'entrecoupent au sommet même de l'angle droit.
Si le triangle est acutangle om obtusangle comme >4«C, fig. 60, pour avoir quelque chose d'uniforme , prenons le plus grand côté A» pour Taxe des ;r et ^ pour l'origine , et supposons que les coordonnées sont rectangulaires. Désignons le plus grand côté A» par « , et les coordonnées du point. C par » , ^', l'équation de la droite AC sera de la forme yz=iax;
g mais conmie elle passe par C^ on aura fi z=:a»^ d'où a = t; donc l'équa-
tion de la droite A C deviendra y=: ^x. Et par conséquent l'équation de la
perpendiculaire « E , assujettie à passer par le point « ( « ^ zéro ) , sera • . • <n^^ 144 1460;
Sur quoi il faut observer que les quantités « , «»' , ^ sont connues quand le triangle est donné ; mais qu'elles restent indéterminées quand le triangle est quelconque, comme nous l'avons supposée
Maintenant l'équation de la droite «C, assujettie à passer par deux points « et C ( «» zéro ) ( «% iï ) , sera (n*. 134) :
et celle de la perpendiculaire assujettie à passer par le point A Czéro^ zéro y sera (n***. 144. 145; :
y zzz ■ X • . • . (5).
Or les deux perpendiculaires que nous venons de considérer ont dans leur point de concours les mêmes coordonnées ; ainsi d^ns leurs deux équa«^ tîons (4) et (6), y a la même valeur et x aussi (n^. 142. 143). Les second» membres de ces équations sont donc égaux et donnent :
XELATIFS A LA LIGNE DROITE. iOS
d'où l'on tire bien- YÎtex =ét II en résulte que la perpendiculaire abaissée du point G sur A»^ tt qui est ici l'ordonnée y , aboutit au même point que celle qui est abaissée du point C sur la même ligne A « ; c'est-à-dire qu'elles se confondent
Ainsi les trois perpendiculaires abaissées des trois sommets d'un triangle quelconque sur les côtés opposés , se coupent dans un seul et même points D'où résulte pour les mener cette construction jfbrt simple i
Comme l'angle inscrit appujé sur le diamètre est droit , il faut sur le plus grand côté ^ » , ptîs pour diamètre , décrire une d|emi-circonférence , et par les points E eiF où elle rencontrera les côtés du triangle ou leurs pro<^ longemens , mener les droites »E et AF, puis par leur point de concours G et par le sommet C du triangle mener CG« ; ces lignes seront les perpendiculaires.
15Ô. Avant d'aller plus loin faisons une observation assez importante. On^ a vu dans ce chapitre , et dans les chapitres 1 et 3 de la première partie ^ deux méthodes bien différentes pour mettre en équation les problèmes de géométrie : ^ l'une, dit Lacroix, consiste à déterminer les équations dea> lignes qui contiennent les points cherchés , en partant des propriétés de ces lignes ; " c'est celle du chapitre actuel ; « et l'autre à déduire hnmédia*tement de la considération des tiûangles semblables et des triangles rectan^ g}e» que présente la figure résultante du problème supposé résolu , en s'aiw dant même de quelque construction préparatoire, les relations des droites» qui détenninent la position de ces points ; " c'est celle des chapitres f et S.
^ La première de ces méthodes , quelquefois plus élégante que la seconde ^ est toujours plus générale ; mais la seconde est souvent plus simple ; et cela doit être, puisque par celle-ci on prend les choses de moins haut, et qu'on part de propriétés Çlus voisines de celles qu'on cherche h découvrir. "
Voyez , par exemple, le problème du n^. 153 , il n'est pas seulement be* soin de le mettre en équation. Si on le suppose résolu , on a dans la fig. 49 CD = AD y ensorte que le triangle ^CD est isoscèle; les angles DGA^ DAC sont donc .égaux : mais DCA = CAX^ à cause des parallèles , done DAC^=^ QAX\ donc la ligne AC pBrtage l'angle BAX en deux parties égales.
156. Pour comparer les deux méthodes dans une question un peu plu» /difficile que celle-ci, reprenons celle du n^ 22 et essayons de la résoudre par le« équations des lignes;
104 PROBLèMES PARXrclTLTERS
Étant donnés les trois côtés du triangle JPBD^ fig, 51 , trouver sa sur^^ face.
Rapportons ce triangle aux deux axe» rectangulaires , j4X , ^F, dont un pourrait être dirigé suivant un des côtés, mais que nous placerons comme dans la figure pour rendre le calcul plus généraK Afin d'avoir la hauteur du triangle , abaissons du point A , qui est lorigine , la perpendiculaire j4F ou i sur la base BD ou a , nous aurons pour la surface | a > ; il ne reste donc qu'à trouver i.
La perpendiculaire tombant sur BD , il faut pour avoir sa longueur établir d'abord l'équation de la droite BD. Or celle-ci passe par deux points B €t D («S ^ ) i^" 3 ^ ) i son équation sera donc (n^ 134) :
