CHAPITRE Y
I>£ la transformation des coordonn^esk
157. !Nous avons vu qjiie réquatîon de la Ugae droite est phis sîn^te quand cette ligne passe par l'originç ; nous avons vu aussi que la plupart ides formules relatives à la ligne droite se simplifient qiiand les çoordonnée;$ «ont rectangulaires.^^ Qr nous pouvons bien prévoir qu'il y aura quelque chose d'analogue pour les équi^tions des lignes, courbes , suivant la manière dont Torigine sera, placée et suivant l'angle que les axes feront entr'eux. U pourrait donc être avantageux, lorsqu'on aurait l'équation d'une lign^.^ de savoir trouver la forme que prendrait cette équation en rapportant la ligne à d'autres axes ; c'est cette opération qu'ion appelle ta truns/brmatiûn ^des coordonnées^
Noua allons parcourir les cas suivans: i\ changement • d'origine et non de direction, 2^ changement de direction et non d^originëi 3^ changemenjt d'origine et de direction*
{Changement cC origine et m?n de direction^ *
468. Soient AX^AY^ % 62, tes anciens axes, ^JT, ^1^, les nouveaun parallèles aux premiers. Les coordonnées de la nouvelle origine A*^^ rela-* tivement aux anciens axes, doivent être connues, et nous les désignerons par f et g. Cela posé les anciennes coordonnées du point M étant x , jif ^^ et les nouvelles âf^^yt^ on voit par la figure que l'on a
rp=/+a/, y — g + t^-
Si Ton met donc ces valemrs à la place de a? et de y dans l'équation donnée d'une ligne, on aura Téquation de la même ligne rapportée aux nouveaux axes. Mais il faudra prendre feXg avëo les signes convenables , suivant la manière dont la nouvelle origine sera placée relativement à l'ancienne. '
Far exemple , l'équation de la droite CN ^ fig. 43, étant ^ = oop + & 9 si on vent qu'elle passe par l'origine, il suffira de transporter Taxe des y
TIANSFO&MATION DES COOBDONNÉSf* 10?
parallèlement à lui-âième jusqu'en' C, sans changer Taxe de^ x^ on aurft donc/'ss-— ^C et ^^=zéro. Mais pour saroir ce que vaut il C, il n'y â qu'à faire y = zéro dans l'équation de la droite y^=zax + b; on a alors o=zax + b^ d'où a? = — L = — -^C. Donc /*= — L, jr = z^r^; . • • .
donc x = — ^ + si^iy=^t/> d<>nc l'équation y =5 oa; + * , devient . . . •^ =: a (— ^ + aî*)+6| ou ^ === axf ; et c'est en efFet c6 qu elle doit être
puisque la droite passe par l'origine et que les angles m et n n'ont point changé. En partant de cette nouvelle équation et faisant le chemin inverse on retournerait à la première équation.
Par exemple encore, puisque nous avons eu y*=r* — a;^ pour J'équation du cercle , quand les coordonnées sont rectangulaires et que ^rpi^gine est au centre (^^ llâ)> «1 nous voulons, en laissant les axes à angle droite transp(Mler l'origme à l'extrémité du diamètre , en ^1 fig. 40 , nous aurons /*= — /• et ^ == zérOy ce qui donnera a? = ^— r + a/ ety = ^; mettant ces valeurs dans l'équation de la courbe, elle deviendra ^*=:2ra/— a?'*. £t de celle-ci , qu'on appelle t équation au sommet^ on retournerait à l'autre 9 qu'on appelle t équation au centre.
Chxmgement de direction et non d origine (n^ 157).
169. Ce cas se partage en plusieurs autres : l^ passage de coordonnées rectangulaires à des coordonnées obliques; 2^. de coordonnées rectangu* laires à d'autres coordonnées rectangulaires ; 3\ de coordonnées obliques à des coordonnées rectangulaires ; 4\ de coordonnées obliques à d^autres coordonnées obliques.
160. Passage de coordonnées rectangulaires à des coordonnées obliques {ou quelconques).
Les axes AX^ AY , fig. 63 , deviennent AX , AT , et Ton suppose connus les angles XAX ^ XAT ^ que nous désignerons, pour abréger et pour les reconnaître sans figure, le premier par C**') '-^ 1^ second par (x/); ces lettres assemblées n'indiquant donc point une multiplication. Les anciennes coordonnées du point M étant AP^ MP ^ ou x^y^ les nouvelles seront AP ^ MF^ ou x\ /; et Ton aura
x — AL + FN, y — MN+FL.
Or les triangles ALFj^ MNF , donnent , en faisant le rayon des tables
égal à l'unité :
lot TBAKSrORMATXON
i\x^ r.Msixx^^xAL^ i:x*::sin(xx'^:P%^ i:/::cûs(x/)iFNj i :y' ::sin(xy') :MN;
tirant de là les valeurs des quatrièmea termes et les substituant dans ks
équations précédentes, on a:
s = x'cos (xx'y + y'cos (arvO > y =: x'sin (xx') -^ysin (xy')^ Par exemple , sî le point M appartient à une ligne droite , dont Téquation soit j^ = aa: + 6 , et que Ton y substitue les valeurs ci-dessus de x et de y, on trouvera , après les réductions , tme équation dàe cette forme . • . y = ix' + b' ; ensorte que dans la lîgne droite , la même forme d'équation convient aux coordonnées rectangulaires • et aux coordonnées obliques ; et c'est 'èe que nous avions déjà pu remarquer.
• n tf en serait pas de même de toutes les autres lignes, du cercle par exem^ pie ; supposons que le point M appartienne à cette courbe , dont Téquation au centre est >* = r*— • a:* ,. lorsque les coordonnées sont rectangulaires ; substituons-y les valeurs de a: et de ;f ci-dessus ^ elle deviendra :
y'^ = r » jr'*^ 2 { sîn {xx') sin (x/) + cas (xx') cas (x/) ] x'/. Mais on sait par la trigonométrie (n^ 91) que l'on a, lorsque le rajon
des tables R égale i y sin a sin k + cas a cos & =5 , .
~ I cos Ca+ô) +1 cos [or^b) + 1 cos (a+b) + 1 cos (or^b) =: cos (a— 6} ; d*où il résulte que le coéfiBcient de x'y'' vaut
2 cos ( x/ — xx') = 2 cos (x'/) =2 2 cos y y cette lettre désignant toujours Tangle des deux axes. On a donc pour Vé^ quation du cercle au centre et aux coordonnées obliques ;
y'* = r* ~ x'* — 2xy. cos y.
Pour que cette forme fût la même que celle de l'équation y^:=r^ — x*^ il faudrait que l'on pût avoir , dans tel ou tel cas , cos y = zéro ; mais le cosinus d'un angle ne peut être nul que quand cet angle est droit ; donc dans le cas des coordonnées obliques Téquation contlenl toujours un terme en x.y (*).
{*) Si l'on avait voulu supposer immédiatement «
sin ixod) sin (ocif) \ cos {scaf) cos (o^f/) ^o ^ on aurait eu, en divisant par le second terme ^
sin {xcd) sin (xi/) , . — ^% cosixa/) cos(xi/) DU encore^ parce que le rayon des tables est 1 (n*. SS) i
^ D£8 COORPONHilS. i09
Dans tout ceci nous anticipons un peu sur la théorie du cercle , mais il était assez nécessaire de faire quelques applications' de la transformation des coordonnées ; et d'ailleurs il est d'usage que l'on prenne dans ces ma* tières le cercle pour exemple , en raison de ce qu'on le connaît déjà par la géométrie; c'est aussi pourquoi nous en avons parlé dès le n'. 113.
161, Passage de coordonnées rectangulaires à d autres coordonnées . rectangulaires (n^. 169).
Il n'est pas nécessaire de faire ici une nouvelle figure et un nouveau calcul, il suffit d'observer que les formules du numéro précédent peuvent facilement être modifiées pour le cas actuel. Lorsque l'angle (a:'/) est droite on a (xy)= 100^+(^^'); or le complément de cet angle est — ixx') ; donc alors sin (xy) = cos (xx) et cos (xy') = — sin (xx') ; substituant çça valeurs dans les formules précédentes , elles deviennent :
X = x' cos {xx) — y sin (arx') ^ y z=i X sin (xx') + y cos (xx'\
Si on tes applique à la ligne droite et au cercle , les équationa • • . • yz=ax + b^ y^ zs^r^ -^cc* ^ deviendront y =a /a/ «^ 6', y* = /•* — a/^f ensorte qu'elles n'auront pas changé de forme.
162. Passage de coordonnées obliquas à des coordonnées rect<mgu^ Jaires(n\ 159).
Il faudra faire le chemin inverse du n^ 160, et supposant que les pre-^ miers axes sont AX\ A}", fig. 63, et les seconds ^éX^ ^Y^ que les premières coordonnées sont x' , y , et les secondes x^^ y^on traitera par l'élinoination les équations du n®. cité , pour en tirer les valeurs de x' , y , exprimées en ap, y ; et si l'on se souvient que (n'. 88. (8)),
sin (jxy*) cos ipcûcf) — cos (jxy') sin {pcx") = sin {jxy' — xx') , puis si l'oil remarque , dans la figuye , que sin (jxy* — a^a/) = sin (jx'y') , ou ama :
^ X sin (^Xy") — jf cos (xy'y
sm (ary)
mmmtmm^mmr^mm
