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tanç (^a/) tang {x}/) ^ i =z o.
Or en considérant les nouveaux axes comme d«ux lignes droites rapportéev<^ aux axes rectangulaires ^X, AJT, on peut faire Umg {xaf) = tang m^na Cn*>'. 121. 122 ) , et tanfi (xi/) = tang m'zzzaf; ce qui doune ouf + 1 =0 , ou ^ = — 1 , et prouve (n*. ISI ) que les droites AX , AV sont perpendiculaires enti'clles quand on fait nul le coefficient de af^ ; ensorte que ce leimç se trouve toHJours dan^ l'équation avçc des coordonnées obUqjies*.
110 TkANSfOUttlAtlOM
jr cas icxaf) ^xsin (xx^
Gh&ngeftnt eù&n y ûg. 6â^ Xen J', F en T^ et iréciproquemfeM \ et fai« %àxA auMâ le même changement dan^ led petites lettres, on obtiendra :
X* sin ( jfx* ) — ycos (ym' )
^ — ^ li t I I 1 I r ■
y cas (xx*) — ai «« (xx*)
sin (xy) H est évident que dans ce cas Téquation de la ligne droite tte changerait |>as de forme , et que celle du cercle en changerait ; car c*est ici l'inverse du n^ 160^ 163. Passage de coordonnées obliques à âautres coordonnées obliques
Supposons que nous avons led axes obliques AX^ AY^ fig. 65 > passons â*abord, par le n\ 162 » aux axes rectangulaires AX ou AX ^ AT ^ et de ceux4ft nous irons ^ par ien^ 160, aux nouveaux axes obliques AX^^ AT".
Puisque Taxe AX est le même que Pue AX^ ce que nous avons fait pour plus de simplicité, nous aurons l'angle (a:x') s=;z^ro, et les formules du n*. 162 donneront :
x' svn(^yx')^^y' cosiyx*) "*" sin (ary) ^
MÛ8 ici x' et y ottt de* valeurs en x" , y'\ que Ton pottrl*ft tfoUvei" pat les formules du n^ 160, en y mettant «', /, à la place de x» jf , et«") /', à la place de x', / $ un aura ainsi :
x' = x" cos ( «V) +/ tfO* ( x'y" ) ,
y = x" sin ( X V ) + y 5m ( x'y ' ) ;
substituant enfin ees valeurs de x',y, dans celles de x, jr, qui précédent «
celles-là deviendront , après toutes les réductions » et au moyen du principe de
trigonométrie cité n°. i62 ;
xf' sin (yx" ) +/ sin jyf )
""* sin (xjf)
x" «n ( xx" ) + y sin ( xy ' )
.**« (asy)
«MMW
DXS COOKDONNÊSS. 111
On remarquera que les x% y , ont disparu de ces formules, ces quantités ne nous ajant servi que comme intermédiaires pour arriver aux expression» dex, jr,cn a?",y'.
On pourrait appliquer ces formules aux équations de la ligne droite et d^ cercle ; mais nous avons suffisamment vu , en traitant de la première de ces lignes que son équation la plus générale est yzszax^+'by soit pour un sys* tème de coordonnées rectangulaiies ^ soit pour un système de coordonnées obliques quelconque. Et quant au cercle , l'équation du n®. 160 ae peut qu'être générale pour les coordonnées obliques, quand l'origine est au centre; ainsi les formules actuelles ne la changeraient pas : c'est ce que Fon pourra vériâer si l'on veut ; mais le calcul est un peu long (*).
164. Du reste , quand on voudra transformer les coordonnées dans tel ou tel cas particulier, relatif aux n^^ 160, 161, 162, 163, il faudra comparer ce cas avec celle de nos figures^ qui lui conviendra , pour voir si les axés sont situés les uns à régar4 des autres comme ils doivent l'être^ et prendrai
' C*^ On trouvera unç ^uatioa de cette fbrme ;
4x"* + ^/» + Ce Y = r» , et si Ton cherche, à part les valeurs de ^ , de £ , et de C^ par les formules, tri» gonométriques , on trouvera -<^ = 1 , 5=1, C=:cos (^j/'); d^où il résulte ^f cette équation est bien la même que eelte du n^. 160*
Voici le calcul pour jé coefficient de af\ En désignant pour plus de simplieité (spaf') par a, (ya/'>par ô, on aura (^)s#+^; cela posé Iç coefficient ^ question sera ;
sin^ a 4" sin^ b'+'2 sina sinb fos (<i4-^X
sin^ia^b) le numérateur deviendra suceessîTement ( n^\ 98, 84) ;
sm^a'^sin^b^2sina sinb Ççosa CQsb/^^sina sinb);
âm^a'i^sin^b+2sina$inb cas a cosb-^sw? a sm^ b--- sin^ asin^ b }
sm^cir\^miNh^2sin a sinb eosa eosb-^in^a (1— ^«^*é)^— JW**-6 (i'^^çs^-çO^K
Faisant les multiplications et réduisant ^ on aura
isinasinb casa çosb-^sin^a ço^b+sin^b cos^a.
f^uant au dénominateur il deviendra d'abord (.sin a cas b+ cas a sinà)^^ |w.i
sin^a cos^b+2sma sinb cas et çosb+sin^b cos^a; •nsorte qu'A sera égal au numérateur ; et que le coefficient jé vaudra 1. Le même calcul servira pour B, en faisant (a^)=ia, (y^) = ^ ft . , « « ^ «
{àpif) s=s4i -f à, fit cela mettra sur U voie your fwe la r^duetim 4« (^
