CHAPITRE

CHAPITREVL

De la ligne circulaire : équations , construction des éguations ^ propriétés

de cette courbe.

166. JNIous avons déjà parlé plusieurs fois du cercle, parce que cette com*be très-simple et très-connue était très-propre à servir d'exemple pour le développement de certaines théories qui devaient nous occuper; nous allons maintenant en traiter spécialement.

Il résulte de la manière de décrire le cercle que tous les points de la circonférence sont à une même distance du centre ; cherchons d'après cela son équation la plus générale. Supposons que le cercle de la iig. 56 soit placé d'une manière quelconque relativement aux deux axes AX^ AY^ qui font entr'eux un angle à volonté y ; il faudra exprimer que pour chaque point Jl/ de la courbe, la distance CM e^ toujours la même. Or si on mène Tordonnée MF et qu'on fasse passer par le centre une sécante indéfinie parallèle à l'axe des qr, on aura, en général, par Tintersection de ces lignes, un triangle CJ//, qui donnera pour chaque point Af(n^. 100. 137):

Cii/*=:c/+/ii/*+2C/x/*rx

cos y

Qv si l'on désigne par h la constante C/>, qui est égale à l'abscisse du centre 9 et par k la constante IP ^ qui est égale à Tordonnée de ce même point, on aura, dans la disposition de la figure, C/=jp — A, lM^=^y — ft,

et représentant toujours ^—^ par ^ , et le rayon du cercle par r, l'équation précédente deviendra :

r»==(x— /i)» + Cy— *)*+2tfCx — /i)Cy— *)...(0.

Si Tordonnée MP tombait à gauche du centre, on aurait Cl=-h — x; mais l'angle ojpposé à CM étant alors y même, cela n'introduirait aucun changement dans^ l'équation (n^ 137).

.Voilà donc l'équation la plus générale du cercle ; en la développant et l'ordonnant on peut lui donner cette forme :

ét4 tiGNE cibcdiaire:

On obtiendmit la même équation en partant de toute autre propriété caractéristique du cercle , par exemple de celle-ci , que la perpendiculaire abaissée sur le diamètre est moyenne proportionnelle entre les deux aegmeps, etc. Et réciproquement on pourrait de cette équation tirer toutes les propriétés de la courbe ( n^. 116). Mais comme ces calculs seraient un peu longs arec un équation aussi chargée, nous allons la simplifier par la transformation des coordonnées ; et nous nous exercerons d'ailleurs beaucoup sur cette courbe connue , pour que Taccord de toutes les méthodes et de tous les résultats nous fasse mieul sentir les avantages de l'algèbre » et nous donne plus de confiance dans cet admirable instrument.

167. Pour transformer les coordonnées, au lieu d'employer les formules générales , nous aurons plus TÎte fait de substituer ici aux lettres h^ky e , les valeurs particulières qu'elles doivent avoir dans tel ou tel système. Ainsi lorsque Torigine est au centre, il faut faire h=:zéro etk:=:zero,' Téquai^ tion devient ainsi :

y*+2eay4-a;* — r* = o ... (3);

ce qui s*accorde avec le n^ 160, parce qu'on avait fait là J?= 1, et qu'alors e = cas y. •

Si on veut l'équation au sommet , c'est-à-dh:e celle qui a fieu quaiul l'on* gîne est sur la courbe, et que l'axe des x passe par le centre, on fera . . . hzszr et k=izérOf et l'on aura, comme au n^ 165 :

y» + 2tfa:y+a?*-.2rey— 2ra: = o .... (4).

S'il faut obtenir l'équation générale pour le cas des coordonnées rectangulaires , on fera seulement e =^ zéro , et l'on trouvera par Cl> et par (2) r

y» + a:»-^2A^— 2ftx+A* + t* — r*=o J -'^ ^^^^

Cest la même équation sous deux formes différentes , et U est évident que de l'une on peut tirer l'autre. Il faut se souvenir que dans cette équation , tout comme dans les précédentes y h et k désignent les coordonnées du centre.

Maintenant , si Ton veut Téquation au centre pour le cas des coordon«> nées rectaugulaiies > on fera dons (6> A et A: nuls , et Ton aura comme au n^ 116 ;

ÉQUATIONS, PROPRIJITÉS, etc« iU

On aurait pu aussi la tirer dé (3),

Si on veut enfin l'équation au sommet, toujours pour le cas des coordonnées rectangulaires , on fera dans (5) /i = r et k = zéro , et Ton obtiendia, comme au n^. 158 :

y* 4- a:» = 2rx . . • . (7).

On aurait pu aussi la tirer de (4).

Arrêtons-nous actuellement à ces deux dernières équations , qui sont les plus simples de toutes.

168. Nous venons de les tirer de Téquation générale , obtenue elle-même de la propriété de la circonférence d'avoir tous ses points à une même distance du centre. Cette propriété nous avait déjà donné immédiatement l'équation au centre ( n*. 115), et de celle-là nous avions conclu Téquation au sommet ( n**. 158 )• Voyons maintenant comment d'autres propriétés caract-éristiques de la courbe pourraient conduire aux mêmes résultats (n*. 116 ).

Supposons que nous ne connaissons le cercle que par cette propriété, c'est qu'il y a dans son intérieur un point par lequel menant une droite quelconque A'B^ fig. 40, elle aboutira de part et d'autre à la courbe, et en abaissant de tout autre point M de cette même courbe ime perpendiculaire MP sur AB , elle sera mojrenne proportionnelle entre j^P et PB. Prenons ÀB pour axe des x , et par le milieu C de cette ligne , sans savoir ii c'est le point dont nous avons parlé , menons à angle droit Taxe des y ^ et nommons r la constante A*C=:BC^ noua aurons r + x :y ::y: r-^x; d'où nous tirero ns y^:=:r* — x* , ou ;^* + x* = /•*. Mais d'un autre côté jp* + 3î* = CA/* ; donc CM=zr; c'est-à-dire que tous les points de la courbe sont à une même distance du point C milieu- de ÀB.

Si l'on avait fait passer Taxe des y au point A , en nommant toujours r la moitié de la ligne AB^ on aurait eu AP^=^x eX, PB^lr — a:; ce qui aurait donné xiy\:y:2r'^x^ et par conséquent j^ = 2rx — x*, ou. . - . yî + X* — '2rx = o. Mai s d'un autre côté on a / + (x — r)*= CM^ , ou J^* + a* — 2rr + r* = CM , et, parce que les trois premiers termes se détruisent, CM:=zr. On retrouve ainsi les équations au ceritre et au sommet.

Suppposons encore que nous ne connaissons le cercle que par cette autre propriété, qu'après avoir mené une droite -4^5^ fig, 67, comme dans la construction précédente , si de tout autre point Af dç la courba on joint AM^

H6 ttGNE CZftCULATBi:

et JBM^ le triangle A MB est rectangle en M^ voici comment nous trouverons réquation.

Nous prendrons -4 j? pour Taxe des x . et par le point C, milieu de AB j «ans savoir si c^est là le point par lequel on a dii mener cette ligne , noua ferons passe r à a ngle dro it Taxe des y , et f aisant toujours AC=zBC:=2r ^

nous aurons ^iI/* + 5¥' = 4/-*. Or I?¥*=/ + (r + ^)% et

^iW*=/4-(r — x)*; développant les carrés, substituant, et réduisant , nous obtiendrons encore j;- + a:* = r* ; et joignant CM^ nous prouverons, comme ci-devant, que CM=zr.

Si Torigine était en -4 , on aurait ^M^ =:^* + a:* j BM^:=^y^+(2r — x)*, d*où Ton tiierait j^* 4- ^* = 2rx ; et Ton prouverait , comme on Ta déjà faut , CM—r.

Si Ton ne connaissait le cercle que par ceci , qu'après avoir fait ta dernière construction, on eût -^Jf moyenne proportionnelle entre AB çx.Ax^ et BM moyenne entre AB et Bx\ en mettant rorig ine en C on aurait . . • 2r ; AMw AM : r+x, d'où I5¥* = 2r* rh 2rx. Or A M * =zf- + Çr+xy- ; développant le carré, égalant ces valeurs et réduisant, on trouverait . . . j* + a:* = ^* j et l'on prouverait CM=zn On am*ait le même résultat par deux valeurs de BM *

Si Torigme était en il ^ on retrouverait , par des calculs semblable» , l'éqna^ tion au sonmieL

169- Supposons maintenant qu^on nous donne l'équation j^*+x^ = i^, et que nous ne sachions point à quelle ligne elle appartient ; il s'i^it de recon* naître cette ligne, et de trouver ses propriétés (n^ 116 ); dn moins dans le cas où l'angle des coordonnées .est droit ; cette condition étant une dies données du problème actuel (*).

Puisque les coordonnées font un angle droit , l'équation nous apprend qne la quantité constante r est l'hypoténuse de chaque triangle rectangle formé par une ordoimée et l'abscisse ct>rre^ondante ; mais ces bjrpoténuses sont les distances de Torigine aux diSërens points de la courbe; dbnc tous ces points sont à une même, distance de Toiigine. Ainsi la courbe est un cercle dont Torigine dies abscisses est Ife centre

Si on écrit l'éq^tion de celte manière jrrdb V^ — **> ^^ verra» que

(*) Si^ Fangle des coordonnées n'était pas droit , la m£me équation appartiens à une ellipse i €ourbe que nous ne devons pas e:&aminer pour le momeuL

ÉQUATIONS, PR0FRIÉTÉ9, elC. 117

pour chaque Tàleor de a; il y aura deux râleurs de y égales Tune en + et l'autre en -~ ; ensortc que la courbe est toute pareille en dessus et en dessous de Taxe des x.

On vcx?ra aussi que pour toutes les valeurs de x égales de deux en deux en + et en -~ 9 ou pour toutes les abscisses égales de deux en deux à droite et à gauche du centre, les ordonnées en dessus de Taxe des x eut la même longueur , et par conséquent aussi en dessous ; car l'équation ne contenant que le carré de x , on aura le même résultat en donnant d'à* bord à 9 une certaine valeur en + puis la même valeur en — . Ce qui prouve que la courbe est aussi toute pareille à droite et à gauche de Taxe des y.

Il résulte de ces deux observations que si on plie la figure par Taxe des X et en même tems par Taxe des y , les quatre portions comprises entre les axes se superposeront exactement.

On peut encore reconnaître cela par la comparaison des deux formes suivantes que l'on peut donner à Téquation :

Et ces deux formes prouvent aussi que les valeurs que Ton- a pour y avec certaines valeurs de x^ sont égales à celles que Ton a pour x quand on donne à y les valeurs qWon avait d'abord données à x. Si par exemple CF= CH^ fig- 40, on a FG^ HK.

Lorsque x égale zéro ^ y =dt^^ c'^^ •à - dire que la courbe rencontre Faxe des y en dessus et en dessous de Torigine à une distance égale au rayon; et lorsque x=:i±:rj onaj = o, ensorte que la courbe rencontre

taxe des x à droite et à .gauche de Forigine à une distance qui est aussi égale au rayon ( n^ 117). Entre ces limites , à mesure que x augmente en -f- ou en —, à droite ou à gauche , r*— ^^cKminue , et par conséquent y; mais lorsque ±^ ^ dz^y o^ ^ \/r*.^a:* imagitiaire; ce <Juî prouve ^e la courbe ne se retrotive plus au delà des points A tt JS; ella ne se retrouve pas non plus^ au detà âes< points /> et £ , comme on le voit en fàî-

^*^* dtiy >:!:'* ^^^ 1^ valeur de x.

, D*ai)leui'S les* ordonnées étant égales pom* une même abscisse , en dessus et en dessous de Taxe des x, cet axe coupe en, deux parties égales toutes les cordes qui lui sont perpendiculaires. Et comme Téquation ne change j^int dans le passage de coordomiées rectangulaires à d'autres coordon-

118 LIGNE cibcgiairb:

nées rectangulaires , chaque corde est toujours perpendiculaire à un axe ; donc tout rayon ou tout diamètre perpendiculaire à une corde la coupe en deux parties égales.

On voit aussi que deux cordes égales sont également éloignées du centre , puisqu'elles répondent à des abscisses égales ; et que de deux cordes inégales la plus courte est la plus éloignée.

De tout ce qui précède il résulte aussi que cette courbe , qui est fermée dans tous les sens , est toujours partagée par un diamètre quelconque en deux parties égales ; car , comme nous venons de le dire , chaque diamètre est un axe.

En reprenant Téquation et Pécrirant mnsî yi^^ (r + x^ (r—'X^j on troure r-j^xzyziyzr — x; ensorte que la perpendiculaire y abaissée d'un point de la courbe sur le diamètre est moyenne proportionnelle entre les deux segmens de cette ligne (n®. H5).

Enfin si Ton mène JlM et MB, fig. 67, on aura^^* = y^ + (r + a:)*, mF =^4- (r — x)*, et par conséquent ^lif + MB^ = 2^ + 2r* + 2x* = 2r* — 2x*+2r* + 2a:* = 4r* = (2r)* = jéB* ; ce qui prouve que tout angle inscrit A MB ap puyé sur le diamètre est droit.

Et puisque AM^ =y^ + (r+x)«=j^» + r* + 2/-ar + x», si l'on met à la place de j* sa valeur r* — x* , donnée par l'éq uation , on trouve .... jiJH ~ 2r (r+x) = ABxAx. On trouverait de même BM * = AB X Bx. Cestà-dire que chacune des cordes A M , MB , est moyenne proportionnelle entre le diamètre et le segment correspondant.

Cela suffit pour faire voir que de l'équation iatu centre on pourrait conclure toutes les propriétés du cercle.

170. Si Ton nous demande quelle est la courbe à laquelle appartient V<équation jp^+>* = 2rx, en supposant toiy ours les coordonnées rectangu* laires, nous observerons d'abord que la somme des carrés de jr et de x n'est pas constante, puisqu'elle vaut 2rx\ cela posé, pour rapprocher les termes tfn x nous écrirons j* •+• x* — 2rx = o » et afin de completter le

carré commencé dans les deux derniers termes , nous mettrons

j^ + x* — 2rx + r* = r* ouy*H-(x — r)* =/f;.de plus comme x—r est une. variable différente de x , mais comptée sur le même ax^ , nous pourrons L'appeler x', alors l'équation deviendra jr*+«'*==^* \

I^ous reconnaîtrons ainsi plusieurs choses; et d'abord que nous avons transformé les coordonnées en portant l'origine le long de l'axe des x, à^

icuAtiô»5, PBOPKiÉTÉs, etc. 119

une distance ëga?c à la constante r, puisque chaque nouvelle abscisse at' est de cette quantité pfcis courte qu'elle n'était (n*. 15» )• '

Nous reconnaîtrons ensuite que nôtre courbe est un cercle dont le rayon est r, et dont le centre «t la nouvelle "orJgïiie ; ênwrte que Tancienne, ou celle (Je l'équation proposée , est à Fextréinité du diamètre , savoir en A ,

Enfin nous verrons que sî la sontme des carr és de s coordonnées , représentée par 2rx, est variable , c'est qu'en eflTet Aht ^ qui vaut j^* •+• x* ou 2rx^ est variable , puisque la corde A M l'est»

£n donnant à l'équation ces deux formes :

on verra , par la pi-emière , que la courbe est toute pareille des deux e&tés de l'axe des a: ; on verra , par la seconde , que pour une même va leur de^ on a deux valeurs de x inégales, et dont la différence est 2 \/r* — y^ = 2 Cr ; ou , ce qui revient au même , qu'il y a toujours en dessus de l'axe des x deux ordonnées égales placées à égale distance à droite et à gauche du centre , et de même en dessous de cet axe. On verra aussi que chaque abscisse est de r plus grande que dans TéquatÂon aMi gentrow -

En faisant dans la première forme a: = o , on aura y = o; lorsqu'on fera a: = + r, on aura j^ = ±: r; lorsqu'on fera a: = 4: 2/* , on aura jr = o ; quand on supposera a? > 2r , l'ordonnée y sera imaginaire ou impossible ^ et il en sera de même .pour toute valeur de a? en — ; ensorte que la courbe est toute d'un c6té de Taxe des y , quoique partagée en deux parties égales par l'axe dés x ; et elle ne se retrouve phis au delà du point B^

Toutes les valeurs de x étant donc comprises entre o et 2r , si on veut savoir comment marcheront les y entre ces limites , on prendra l'équatiba sous cette forme j?* + (a? — ry = i^^ et l'on en tirera :

On verra alors , par (jf) , que pendant l'accroissement de x depuis o jusqu'à r la fonction (r — a:)* diminuera, ensorte que r* — (r — x)* augmen^ tera , et par conséquent y , qui vaudra r quand x aiu-a aussi atteint la longueur de r. L'abscisse x surpassant ensuite r et continuant <f augmenter , on verra par (S) , que (x — r)* ira en augmentant , ensorte que r*— (x — r)* ira en dhninuant^ et par conséquent y^ qui sera nul quand x aura atteint la longueur 2r, '

120 LIONS cibcviaibb; lÊ^aATiONS) ?B09BiéTéS| etc.

Maintenant si l'on fait attention à ceci 9 que Téquation au loentre ne diange point lorsqu'on passe de coordonnées rectangulaires à 4 autres coordonnées rectangulaires , e6 que de l'équation au centre , en transportant l'origine à la circonférence , on tire toujours la même équation au sommet , si , dis-je, on se souvient de cela, et qu'on le combine arçc ce que nous avons dit de l'équation j? = r ± \/r- — y^ ^ on trouvera facilement toutes les propriétés des cordes et du diamèti'c dpnt nous avons parlé au n%'précé)dent.

Quant aux autres propriétés du cercle, on les. conclura de l'équation &h sommet, tout aussi facilement que de l'équation au centre.

CHAPtFRE