CHAPITRE VIL

J^rcffridés dits sécantes t des tangentes, des normales, et des cordes

suppUmentcûres,

171* X ouR «iiirre maintenant d'une autre manière la rencontre du cercle avec la ligne droite , essayons de combiner les équations de ces lignes , en prenantpour la courbe son équation au centre y puisque c'est la plus simple*

Supposons une droite GM^ fig. 59 > menée dans le plan dun cercle , par un point GCt^^ B^^et de manière à rencontrer la circonférence ; voyons comment elle la rencontrera.

L'équation du cercle rapporté aux axes XX\ YY' ^ qui se coupent à angles droits dans^ son centre , est

celle de la droite assujettie à passer par le point G est (n^ 139)

^ais pour chaque valeur de x les valeurs de y de la droite et du cerclé diffèrent , sauf dans leurs points communs ; ainsi supposer ces valeurs les mêmes, c'est chercher les points où les lignes se rencontrent (n^'. 142« 143 >« La seconde équation donne :

yz=zax — (a« — iô) .... 0); d'où Pon tiJre : ^

^a = a^x^ — 2a (a« — B") x+(^am — fl)*.

Substituant cette valeur de y* dans l'équation a;*+y*— r*==o, on trouve tout de suite :

(*) Il faut observer qu^en supposant iS en plus, « peut être en plus ou en moins ^ . parce qu'il peut être à droite ou à gauche du centre. La quantité a peut aussi être en plus ou en moins , suivant la position de la droite relativement aux axes. Nous allons faire le calcul comme si « et ^ étaient en plus , de même que 6 ; il sera facile de modifier les résultats obtenus , suivant les différens cas particuliers lui pourront se présQUten

122 LIGNE CIBCULAXBS:

(l+a*)af*~2a(a« — «)a?+(a» — ^)* — r»=o ••. (2).

Ces équations étant Tune du second degré en x et l'autre du premier degré en y , nous apprennent qull y a en général deux abscisses dont cba* cune répond à une ordonnée commune à la droite et à la courbe , ou qu'une dîoite peut rencontrer une circonférence en deu:i points , mais non en trois* Or toute droite qui rencontre ainsi la circonférence en deux points s'appelle une sécante.

Si on résolvait l'équation (2) pour en tirer deux râleurs de x exprimées

en « , iB , r , et a , et qu'on mît successivement ces valeurs à la place de xt

dans l'équation (1), on obtiendrait les deux valeurs de y correspondîtes:

on aurait ûnsi les coordonnées des points communs M^M\

sin ift ^^ ^ , .m»

172. Remarquons que a = (n^*. 121. 122), m étant toujours 1 an*

cosm

gle que la droite fait avec l'axe des x. Si cet angle augmente son sinus atrg*

mente et son cosinus diminue , du moins jusqu'à ce que m soit droit ; ainsi

a augmente aussi. Le contraire a lieu si m diminue. £t il est évident que si

le point G est au dehors du cercle, la droite en tournant sur ce point peut

cesser de rencontrer la courbe; alors les valeurs de x seraient imagmaires.

Mais en écartant cette supposition, il nous reste à voir si les deux points

d'intersection de la droite et du cercle ne pourraient pas, dans quelques cas,

être réduits à un , ou si les deux valeurs de x ne pourraient pas se réduire à une, y oyons d'abord si l'équation (2) ne peut jamais être abaissée a u pre-

mler degré, il faudrait pour cela qu'on çût 1 + a* = o ou a = \/ — 1 ,

ce qui est impossible.

Voyons ensuite ^ l'équation restant du «econd degré les deiix valeurs de

X ne peuvent jamais devenir égales. Il est évident qu'il suffirait pour cela

que cette, équation fôt un carré parfait , ou que son dernier terme fût égal

au carré de la moitié du coefficient du second ; du moins lorsqu'on l'auaraït

écrite ainsi ;

^ 2a(a« — fi) , (tf«~i8)» — r* 1 + a» l+a»

Qn aurait donc alors , en mettant ^ au lieu de a pour disUngner uueux U valeur de cette lettre qui peut convenir à la tangente :

SéCANTBS, TANGENTES, etc^ 123

Wi

ce qui peut dépendre de la valeur de ^, ou de la grandeur de Tangle m; car T^y fy et r 8ont des quantités qu'on se représente données.

Il faut donc tirer de cette équation de condition la valeur de ^4 , et tridter cette letti-e comme l'inconnue qu'on doit maintenant trouver. En faisant idisparaître les diviseurs , développant les carrés , effectuant les multiplica* lions , réduisant , etc. , on obtient :

d'où l'on tire enfin : ._____«„

Quand A aura cette valeur l'équation (2) sera un carré parfait, qui ne donnera qu'une seule et même valeur pour œ; ensorte que la droite et le cercle n'auront qu'un point commun : car s'il n'y a qu'une valeur pour x il n'y en a qu'une pour y, puisque Téquation (1) est du premier degré.

Or 1®. si le point G était dans le cercle, comme on aurait «*+i8* < ^, la valeur de A serait imaginaire ; c'est-à-dire qu'alors il y aurait nécessairement deux valeurs de :r , ou deux points d'intersection.

(*) On trouverait aussi ce résultat en observant que le coefficient du second terme de Téquation précédente pris en plus est la somme des deux valeurs de x, qui étant ici supposées égales en valent chacune la moitié, et que le dernier terme étant le produit de ces mêmes valeurs ^ chacune en vaut dans ce cas la racine carrée (Algéb. d'Emile n^'. 404. 408).

(**) Si on voulait que Torigine fût au sommet, il faudrait mettre dans cette formule «*— r à la place de « , et Ton aurait pour ce cas :

i*> ""■"* ——>—■■ Il ■ I .■■ ■--I. I I. ■

ou, ce qui revient au m&iie:

*(r— *) ±rv^i»*— (2A* — «*)

124 iiGNE. cir^colaibe:

2^ Si le point ét£ut sur la circonférence , fig. 62 , comme on am-ail

»♦ + j8* = r*, la valeur de -4 deviendrait -; j-, quantité toujours possible,^

«t. qui &e réduit encore à

cri mettant «• + 5* à la place de r* dans le dénominateur. On pourrait done alors mener la droite sous un angle tel qu'elle n'eût qu*un point de commun avec la circonférence; ce serait une tangente ^^ mais une tangente uniquç puisqu'il n'y aurait qu'une valeur pour A.

Dans ce cas , si le pjoint G se trouve sur Tare àKx prenûer angle (les coor-^ données , comme dans la figure , » étant en + ainsi que ' fi on aura A en ~ ; c'est qu'alors l'angle m sera obtus et son cosinus sera en — ^^

Si le point se trouve sur le second arc , » sera en — et i^ en + et par eoiK séquent il en +; c'est que le sinus de m et son cosinus seront tous deui^

cn+.

Si le point est placé sur le troisième arc , « et ^ seront tous deux en —

et par conséquent A sera çtx -^ ; et en effet le sinus de m sera alors ea

•^— et le cosinus en +.

. Si le point est sur le quatrième arc, « sera en + et 5^ en — et par conséquent -4 en +; c'est qu'alors le sinus et le* cosinus seront tous deujç en — . *"

Si le point est sur Taxe des y y d*un côté ou de Tautre de Taxe dfes x ,. «-sera- nul ttA aussi ; ce qui prouve que sin m strei z&o^ et que la droite sera paratièle à l'axe des; x ou perpendiculaire à celui des y. Mais comme* l'équation du cercle ne change pas en faisant tourner les axes autour du centre , chaque point de la circonférence peut être considéré comme pris sur Taxe des y ; donc la tagente est toujours perpendiculaire au rayon.

£nfin si le point, est sur. l'axe des a? , on a «* =? Hh r et fl^ =: o ; alors . '., ^ = I, ou fii^ = I , d'où il résulte cas m = o ; ce qui prouve encore que la tangente fait im angle droit avec Taxe dés a? quand le point die contact est sur cet axe ; mais on peut toujours le considérer comme placé ainsi ;: donc nous retrouvons^ le résultat précédent.

3^. Si le point G est hors de la circonférence , fig. 59^, on aura toujôur»,; comme cela est évident ^ «* + fi? > ''^ > .ensorte qu'il existera dans l'équar» toon (4) deux valeurs dé -4 possibles , qui laisseront l'équation (2) un carré parfait > et à chacune de ces valeiirs de A répondra une valeur de x en (2}j^

i£oANTE0» TANGEKTE0I eto. 1^5

et une valeur de y correspondante en (1). On voit par là que d'ua point extérieur au cercle , on peut mener dçux tangentes GN^ ON à cette

courbe (*).

i73. Maintenant pour reconnaître mieyx Içs propriétés de ces tangentes,, plaçons-les dans quelque circonstance plus particulière et plus favorable: Faisons tourner les deux igces sur le centre , jusqu'à ce que celui des x pASse. en G, fig. 61 , ce que Ton peut toujours çoncevojc, et qui ne changera rie.ft aux deux tangentçs j alors ô étant nul , l'équation (1) deviendra :

y=pa(:v-^ -»> ..... (6); l'équation (2);

réqu^tion (3) ;

3^ — — ^ 4P + ss 9 . . . . ct; ,

«MIP

O Si Ton n'eût pas eu pour bul de trouver la valeur de A (|ui convient à hk

tangente , et qu'on eût simplement voulu prouver l'existence de cette ligne ^

de la sécante^ on aurait pu le faire d'une manière plus simple. Cai* dans l'équar

tion générale du cercle Taxe des x peut être place relativement à 1$. courbe d'une:

manière quelconque, et représenter par conséquent la droite qui, doit Iç rencon*

trer. Or dans les points où cet axe rencontre la courbe l'ordonnée est nulle \ en

faisant donc ^ = o dans l'équation générale , et même dans l'équation (5) du^

n*. 126, dont les coordonnées sont rectangulaires^ on verra, par le degré de

l'équation restante en ^, combien d'abscisses répondent à y = o, on combien il

peut y avoir de points d'intersection. On peut même supposer que Taxe àt^ y

passe par le centre, quoique l'origine n'y soit pas ^ et i'on aur^ encore Ar^o^

On trouvera ainsi :.

Or cette équation n'étant que du second degré ne permeb ni tme seule interèec^ tion proprement dite , ni plus de deux , et co/nme elte est trè^ -simple., oa U Tésput facilement, et l'on obtient :

ensorte que si Tordonnée k du centre est plus grande que le rayon , il v!y a po^l d'intersection; si elle est plus petite que ïe rayon, il y en a deux \ et si elle est 4gale au rayon , il n'y a qu'un, pjoint de commun à la droite et au cercle. Mais'U ne faut pas oublier que ces valeurs sont relatives a.ux coordonnées re^t^.gUr' feires.

126 kiOKI Oi%<IViAtIs:

et enfin Téquation (À):

N. B. Ce deifiiier résultat se tire encore plu8 vtte de (8) cpie de la réduc!^

tîon de (4)i

Cela posé lorsque le point G est extérieur, à étant phis grarid que r, il y a , comme on le voit en (9) % deux valeurs de A possibles et égales ^ maïs l^e en + et l'autre en moins ; c*est-à-dire qu*on peut mener par G deux droites GN^ GN ^ Tune d'un côté de Taxe des x qui passe en G, Fautre de l'autre , sous un même angle ^ et qui seront toutes deux tangentes.

Ces deux valeurs de A ^ mises dans (7) » donneront la même équation ^ parce que (7) ne contient que le carré de cette lettre ; ainsi on aura pour les deux tangentes la même valeur de x ; cette dernière valeur étant subfr^ tituée dans (6)^ d*abord avec Tunè des valeurs de il, et ensuite avec Tautre^ on obtiendra deux valeurs de y égales, Tune en + et Tautre en -*-. Les triangles QGN^ QGN* , formés par Taxe , par les deux tangentes , et par les deux ordonnées , auront donc leurs angles égaux , un côté commun , et un autre côté égal ; ils seront ainsi égaux , et par conséquent les deux tan-^ gentes seront égales.

174. Avant de quitter la tangente, occupons-nous de son équation. Celle de toutes les droites qui passent par le point G est ( n^. 171 ) :

y — fi^a(x — «);

et si Ton y met la valeur de a ou de ^ donnée par la formule (4>, on aura l'équation la plus générale de la tangente pour le cas où l'origine est ait centre. On pourx*a lui donner cette forme :

(«*— ?^)(y— ^) — (a?— «)««=air(a?— *)\/»* + i8' — r* ... (10).

Si le point G par où passe la tangente est extérieur , mais placé sur l'axa des «?! £lg« 61 1 on aura As=:o, et l'équation précédente deviendra: '

ou , en divisant par le radical :

c*est l'équation de la tangente qui passe par un point extérieur donné wat Taxe dea Xé

fiCANXES, TANGENTES, eta 127

Enfia si le point G est sur la circonférence , iGg. 62 , et que ses oooro^ données soient toujours désignées par » et ^ , on auia «^ + ^ == z*^ 9 et réquatipa (10) deviendra — «^ + 5* — «Ax + «*ô = o , d où Ton tirera \

ey+mxr=r* . • • . (12) ;

c'est donc l'équation de la tangente menée par un point donné sw la cir« conférence.

Si on eût voulu obtenir (li) immédiatement , on aurait mis la valeur de A de la formule (9) dans Téquation y = a; ( ^ — « )• Et si on eût voulu trouver immédiatement (12; , on aurait mis la valeur de A donnée par li^ formule (5) dans Téquation y -^ B :=z a Çoc —» »). Dans ce cas , on aurait

d'abord eu y-^*==— -j (^-^«); d'oi Ton tire facilement. *».•.*%

Dans ces formules les données sont, outre le rayon du eerde, les eooiv

données 'du point par où passe la tangente. On pourrait y en introduirQ

d'autres: Par exemple, si dans le cas de la formule (11) on ne connoissait

pas « et qu'on connût A y on tirerait de (9) 1^ valeur de » en.Af on la suhs*

tîtuerait en (11)> et l'on aurait, pom* équation de la même tangente;

Si dans le cas de (12) on ne connaissait pas « et qu'on connût t et^, oq tirerait de (5) la valeur de « , et on la substituerait dans ( 12). Ou bien s) Ton ne connaissait pas fi et qu'on connût « et ^ , on tirerait de (5) la va» leur de i0 et on la mettrait dans (12). On auiait ainsi , pour équations de la même tangente ;

0l/-^Afix=:r^^ i4«;r— .«y = ^r* ,f (I4)t

Mais n^Qublions pas que dans toutes ces formules la grandeur de » oompt# du centre , car c'est l'équation au centre que nous avons employée pour les calculer. Si on plaçait Torigine ailleurs , on aurait encore des équations différentes.

176. Du reste l'équation d'une droite ne représente que le caractère de cette ligne et sa position relativement à deux axes sur un plan , et ne lui asiùgne auoune longueur déterminée ; c'est ainsi que nous venons ûç cdm •idérer la tangente. Mais en traitant des courbes on cherche ordinairetnent la grandeur de la ligne «T, fig. 62, que Ton appelle h soustangcnt^ » c'Mt

la dittaiMie qu*il y a depuis le pied de lordonnée du poîdt de ^sontact Jttsw i^u*au point où la tangente rencontre l'axe dea x , lorsque celui-ci passe patf le centre. Noù» allons donc chercher maintenant, non Téquation de «7", carcette équation ne serait autre chose que celle de Taxe XX , mais la valeur de cette ligne »T considérée comme finie.

Il est évident d^aiileurs que lorsque le point O^ paf où doit passeï^ Is tangente, est donné sur la circonférence, si Ton détermine la position du f)oint 7, la droite qui joindra Ces deux points sefa la tangente demandée.

Or la soustangente «T, comme on lé voit par la figure, vaut AT — «; fet AT n'est autre chose que Tabséisse du point T, ou celle qui répond dans Téquation de la tangente à l'ordonnée nulle ; mais en faisant dans (12) y ssoj

ôii trouve X ou AT = — ; retranchant « et réduisant on obtient :

Cette ligne est donc ime troisième proportionnelle à « et à /) , ou une qua« trième proportionnelle à«,r + «, etr— ^«.

Ajant la valeur de la soustangente »T, il sera facile de calculer celle de la ligne TG , qu'on appelle encore la tangente , en la considérant alors comme limitée; car

donc Tangente = — ou • : 6 : : r : ^on^.

Du reste ces valeurs sont relatives à l'équation au centre , et Voil ne doit pas perdre de vue que « et fl sont ici les coordonnées du point de contact.

176. Quant à la sécante , son équation générale n'est autre chose; que celle de toutes les droites qui passent par le point G ; il ne reste qu'à la particular riser suivant les conditions auxquelles on veut l'assujettir.

Si par exemple , le point Q étant sur la circonférence , on voulait que la sécante fût perpendiculaire à la tangente , toutes deux passant par ce point C, on aurait d'abord pour l'équation généralç de cette sécante (n^. iM^

SiCAMTBS) TANOBMTBS^ etC. Uf

MaÎ6 ici ^ = — ^ (formule 5), donc — -*-=: + -^ : d'où il résulte que Té-

quation dans ce cas est .

laquelle peut se réduire à ces deux formes :

Cest réquatîon de la normale ; on appelle ainsi , dans lUie courbe quelconW que , la perpendiculaire ^menée sur la tangente au point de contact

La dernière fornie de cette équation nous dit que dans le cercle la normale passe au eentre; car ici l'origine des coordonnées est le centre. Or nous avions déjà vu que la tangente était perpendiculaire au rayon qui aboutit au point de contact ( n^ 172. 2*» ).

177. Si on eut voulu assujettir la sécante à passer par le point de contact et pai-le centre > on aurait pris pour son équation Téquation (/>) du tP. 136, où l'on aurait fait «^ =s o, ^8^ =5 o, comme coordonnées du centre

ou de l'origine , et Ton aurait eu y s= — x. Or si Ton désigne — par A\

comme on a d'ailleurs il =: — ~ , on trouvera :

ce qui nous dit que la droite qui passe par le point de contact et par le

centre est perpendiculaire à la tangente (n®. loi). Et Ton voit comment

le même théorème peut se retrouver de différentes manières*

178. Tout comme on appelle , dans une courbe quelconque , soustangente

la distance du pied jde l'ordonnée du point de contact au point où la tan*^

gente rencontre l'ajce des x , on ^pelle sousnormale la distance du pied

de la même ordonnée au point où la normale rencontre le même axe. On

voit, fig.'629 que dans le cercle la sousnormale est égale à « , quand on

compte le« abscisses depuÎB le ^centre , et que la normale «st totijours égale

à r , en la supposant terminée d'un côté au point de contact et de lautre à

Ta^^e des x^

i^ LIGNE CIICVLAIBE:

i79. Pour dire encore quelque chosç de la sécante > cherchons ta dSstaiice du point G^> fig- 60 y au point Af , et désignons cette distance par } (*). Le^ coordonnées yariables du point M étant a? et y , il est facile de Yoir qu'on aura:

|» = (ar — 0* + Cy — i»)^ ... iA).

Or cette équation doit s'aecorder avec celles de la droite et du cercle ;; c'est-à-dire avec ces deux-ci ;

iBy .... y^^=za (a?~»), y» + a?* = r» :\\. (€).

Mettant dans (^A) la râleur de y -*« prise dana (5), on trouvera • • . • ^ )* = (a: — «)*(!+ a*) ; de là on tirera la valeur de ic — », qu'on «ubsr tituera dans iS) , et Ton aura ainsi :

et par conséquent

Substituant encore les carréa de cea valeura dans <0 et réduisant^ on obtiendra :

yi + a?-

Cette équation en fournît deux différentes dti second degré ^ suivant qu'bn doime au radic^J le signe + ou le signe *-^ ; ^isorte qu'avec une même* valeur de a, seule quantité qui puisse varier ici, il semble qu'on doit avoirquatre^ valeurs de ^ , ou quatre distances à la courbe. Mais nous savon» qu*une droite qui fait un certain angle donné avec faxe des x^ ne peut rencontrer le cercle en pltis de deux points , et que par conséquent il na peut y avoir plus de deux distances dun certain point pris sur cette droite^ jiisqu'à kl courbe. Pour résoudre cette difficulté , observons que les quatre valeurs de ^ fournies par deux équations de cette forme ;:

O Nous allons, supposer que ^^B^tlA, soni an plus» comme dans la figure ( il sera facile de modifier les résultats d'après les signes que prendront ces quan» tités dans les différens cas particuliers ({ui pourront se présenter*.

feiCANTSS, TANf^ENTEB) etC.

Sont de deux en deux égales et de signe contraire. Il faut donc conclure de là et de ce qui précède , que les valeurs de i de l'une ou de l'autre de ces équations dans le cas actuel sont insignifiantes (n^ 63;, et quune des équations est inutile.

Contentons-nous donc de Téquation (E) avec le signe + au second terme ; elle est du second degré parce qu'en général la drofte qui passe en G et qui rencontre la courbe la rencontre en deux points M y M' ; ensorte que les deux valeurs de * sont celles de G^et de GM\ Si on calculait ces deux valeurs de ï , et qu'on les substituât dans les équations {D) , on aurait deux valeurs de X et deux valeurs de y , qui seraient celles des coordonnées des points il/, M\ Ces valeurs devraient être les mêmes que celles qu'on pourrait trouver par les équations (1) çi (2) du n^ 171.

Du reste, on l'emarquera qu'ici, tout comme là, la grandeur de ces quantités est dépendante de celle de a; c'est-à-dire que pour le même cercle et pour- le même point G, les grandeurs de >, de a? , et de y , seront plus ou moins considérables , smvaiit l'angle que la droite fera avec Paxe des x.

180. Mais, voici utte observation intéressante ; le dernier tenue de Téqualion (jE) , qui est «• + «» — r*, ne contenant point a, est indépendant de cette quantité ; or ce dernier terme , par la théorie des équations ( Algèbre d'Emile n"". 408 ) , est égal au produit des deux valeurs de > ou à GM>cjGM'i ce pToduit sera donc le même quel que soit l'angle de la sécante avec l'axe des X. Ainsi pour une autre êécâiite passant en G, et dopt les points d'intersection avec le cercle seront désignés par Z et X', on aura encore OXxGfr=:«* + ^^r». De tout cela il résulte que :

OM X GM' =:z OL X GL' ou que GM i GL :: GL : GM\

Or remarquons que malgré la figure 60, où Je point. G est intérieur, ftous avons fait notre calcul d'une manière générale et pour une position quelconque du point G ; nous venons donc de trouver ce résultat : Si deux 5^ecarUes se rencontrent, (tune manière quelconque , les quatre parties comprises entre le point éC intersection et la circor^érmce sont réciproquement proportionnelles. C'est le Théorème XXI du Liv. V de la Géométrie ; et il comprend le cas des deux sécantes, des deux cordes, de la tangente et de lasécaûte^i <1«» deux tangentes égales, de la moyenne proportionnelle aux

' deux segmens du diamètre , etc. Nous retombons encore ici sur un ou deujç résultats que nous avions déjà obtenus (n°^ 169. 172 )•

Du reste quand le point G est extérieur , «* + ô* > r* , et le dernier terme de l'équation {E) est en + ; ainsi les deux valeurs de > ont le même «ignc. Quand le point G est intérieur , »* + ô* < r* » et le dernier terme est en — ; ainsi les deux valeurs de > ont des signes différens. Quand le point G est sur la circonférence , »* + fl* = r* , et le dernier terme est nul ; \ tunsî ime des valeurs de J est nulle aussi puisque leur produit Test Alors

on peut diviser Téquatîon par i et elle s'abaisse au premier degré. Enfin ri ïe point G était le centre même ou l'origine, on aurait « = o, û == o, et l'équation (£) deviendrait >* •— r^ es o j ce qui donnerait > = dk ''^ comme cela doit être.

181. Encore une ou deux observations: si Téquatîon (JE) était un carré parfait t ou si le dernier terme était égal au carré de la moitié du coefficient du second , les deux valeurs de > seraient égales , et par conséquent la sécante deviendrait tangente. Or si on suppose cela et qu'on égale le dernier terme au carré de la moitié du coefficient du second en mettant A à la place de a, on aura une équation en «, ^, r, et -4, et l'on en pourra tirer la valeur de A déjà trouvée au n*. 172 : on obtiendra donc les égalités (3) et (4) de ce numéro-là.

Il y aurait encore un autre calcul à faire , maïs plus long , qui conduirait aussi aux mêmes résultats ; ce serait de calculer généralement les deux va^ leurs de î tirées de l'équation C^) , de les retrancher l'une de l'autre , et d'égaler la différence à zéro. En effet supposer que la distance entre lea points d'intersection est nulle , c'est supposer qu'il n'y en a plus qu'un de* commun entre la droite et le cercle.

Ayant trouvé, par les moyens que nom venons d^îndiquer, la formule (4) du n*. 472, il est clair qu'on en pourrait conclure, comme on Ta fait là, la formule (9) du w^0» numéro^'^^pondant au cas où le point G est sur l'axQ

des X. On en pourrait de même conclure la formule (5) , -4 = -^ -|- , re^

lative au cas où le point G est sur la circonférence. Cette valeur peut aussi se tirer immédiatement de l'équation {E)^ en observant que dans ce caa le dernier terme étant nul , ainsi qu'une des valeurs de i , comme nous Tan Yons dit il jr a un moment, l'autre valeur de S est égale au coefficient du eecond terme pris avec un signe contraire , puisque ce coefficient , en chan^

SiCANTBS, TÀNGBNTBS, etoJ 133

«eant son signe , vaut la somme des deux. Or i étant nul dans ie cas de la tangente, on égale à zéro le çoéflBcient en question et l'on obtient , • . ,

182. On peut encore, en combinant les équations de deux sécantes par-» .ticuUères avec celle du cercle , retrouver la propriété de l'angle iascrit aph pujé sur le diamètre (n*. 169).

L'équation générale de la ligne ^M^ flg. 57, qui passe par le point 4 (— r, »e>o),est

et ceiïe de la ligne BMf assujettie à passer en -ô, ( + r, ^6)> »t

Si ces lignes étaient perpendiculaires à l'axe des x , elles ne se rencontr^K raient pas , et n'auraient point de coordonnées communes* Mais si on in^ cline plus ou moins lune d'elles seulement , ou si l'on veut toutes les deux» elles auront un point commun , placé à une distance plus ou moins grande } et dans ce point elles auront les mêmes coordonnées ou le même x et Iq même y. D'ailleurs quand le rayon du cercle sera donnée les valeurs de ces quantités ne dépendront plus que des angles que les deux droites feront avec l'axe des x. Alors si on veut calculer ces valeurs , qui devront donc être exprimées en a et a% il faudra les tirer des deux équations précé^ dentés , par quelque procédé d'élimination ; on trouvera ;

(a' + a)r 2aa'.r

Cela posé si Ton veut de plus que le point de rencontre des deux lignes soit placé sur la circonférence , il faudra que les trois lignes aient dans ce point jes mêmes coordonnées , ou que Téquation du cercle soit satisfaite par leç valeurs de ar et de y que nous venons de calculer ; mettant donc les carrée de ces valeurs dans Féquation y* + a?* = r* , on obtiendra aprèç le« ré» ductions ;

et cette équation servira à trouver un des a , quand on aura pris Tautre 4 volonté. On peut remarquer que le rayon a de nouveau disparu , tpujowi par la raison que nous avons indiquée*

1S4 iioirs étaevLÂxks t

Mai^ I satls ancun calcul , ce résultat nous dit pluaiears choaen ) ear <m peut y satisfaire de deux manières ; c'est-à*dire en faisant ou aa' == zére^ ou oa' + l ==:o. Or, !*• quand aa' = zérOj on a encore ou a = o, on a* = o> ou Tune et l'autre de ces quantités nulles; ce qui signifie que i'untf ou Tautre des deux droites , que l'on appelle dans ce cas cordes supplémentaires f iou toutes les deux ensemble » peuvent être couchées sur Taxe des a? ; et il est bien clair en effet que les trois lignes auront alors ou un ou deux points communs. T. Quand aa' + i = o , les deux droites sont per* pendiculaires l'une à l'autre (n®. 151. Voyez aussi le 150) ; ensorte que l'angle inscrit appuyé sur le diamètre est droite

183. Si l'on n'eût pas désiré de connaître la valeur des coordonnées communes , et qu'on eût voulu seulement trouver le rapport que les deux angles doivent avoir entr'eux pour que les droites se rencontrent sur la drèonférence y on aurait pu faire un calcul plus simple et plus prompt» En multipliant entr'elles les équations des deux droites » on aurait tout dû euite :

et comparant ce produit avec l'équation du cercle écrite ainsi t

la seule inspection de ces formules donnerait oa^ ss — ^ i.

Mais on n'aurait pas ainsi les valeurs de :r et de y ; ' et le résultat • : ; ud == o aurait disparu. Ce résultat , rigoureusement pariant , n'apprend rien, msûs il peut servir d'exemple aux commencans de cette grande vérité , que le calcul algébrique peut indiquer ^ jusque dans les plus petits détails 9 tous les cas particuliers renfermés dans une question générale* Du reste c'est l'habitude du calcul et l'attention qui peuvent faii*e reconnaître dans chaque cas les procédés les plus prompts pour arriver à ce que l'on cKerche*

^ On voit) par cet exemple , dit Biot » que lorsqu^on doit combiner ensemble plusieurs équations , pour en éliminer certaines quantités y il est quelquefois possible d'aJ[>réger l'opération pat des procédés plus ou moins ingénieux ; mais en profitant de ces artifices pour rendre les calculs plus élégans et plus simples ^ il ne faut jamais voir dans les changemens qu'ils opèrent ^ Que le résultat et TelTet de l'èliminatign. £t comme les divers nrocédéa

BiCANTXS^ TAKGfNTES;^ etc.

que ron peut emi^oyer pour éliminer, introduisent quelquefois des fiicteur» étrangers à la question» ou en font disparaître , il faudra s'assurer que l'on a réellement trouvé le nombre de facteurs conyenable ; ce qui ser^

toujours indiqué par le nombre et le degré des équations entre lesquelloi on a dû éliminer^ '^