CHAPITRE VIIL

Dés positions respectives de deux eerchik

184. IvECHEBCHONS maintenant dans quelles circonstances peuvent ètrd j[)tecés deux cercles l'un à Tégard de l'autre.

Pour qu'il y ait quelque liaison entr'eux , il est évident qu'on doit lea rapporter aux mêmes axes ; nous mènerons donc une droite par les deux centres et nous la prendrons pour Taxe des x ; puis , pour simplifier la discussion des formules, nous supposerons toujours le plus grand des deux cercles , s'ils ne sont pas égaux , placé à la gauche de l'autre , son rayon sera r et son centre sera lorigine des abscisses, que nous prendrons ea + en allant vers la droite. Alors la distance des centres, désignée par d^ marchera dans le même sens et ne sera jamais eii — . L*équation de ce cercle

sera;

Le second cercle , égal à l'autre ou plus petit que lui , et dont nous dé-^ signerons le rayon par / » aura pour équation , comme il est facile de le voir , iîg. 63 et 64 :

ÎD'ailleûrs , ou ces cercles ne se rencontreront pas , ou ils se rencontreront^ et dans ce dernier cas ils auront pour le même x le même y dans chacun de leurs points communs ; cherchant donc , par l'élimination , les valeurs de ces coordomiées communes ( n^^ 142. 143 ) , nous otTtiendrons pour x :

X rsïï I II II I ■ t

et , suivant k fnanière dont nous aurons fait le calcul , nous trotUvçrons pomf y ou Tune ou l'autre de ces formules :

^OSlTlOtrS SB8PECTITE8 DE ÛtVn CERCLES. 197

îf = ± ^ V ^'^* — («^ + '^ -^ '^")' ••• (^>.

^^ Àr^r"- — (r« + r*» -« d*)» ... (C).

Du reste dès qu*on en aura trouvé une on pourra en conclure les âutre^i si l'on remarque Tanalogîe qu'elles ont avec celles du n^. 22, C'est même plus qu'une analogie , c'est une identité ; car quand deux cercles se cou« pent ^ comme dans la figure 64 , on peut former un triangle ^MC avec dX^f r', dont la base est d et la hauteur y; et dans le n^. 22 nous avions aussi un triangle formé par les trois côtés a , & , d^ fig. 5 , dont la base était a et la hauteur x. Les valeurs de a; de ce numéro-là sont donc celles de y de celui-ci.

Examinons maintenant les résultats de ces formules.

185. Si les cercles ont le même centre, d sera nul, et chacune des quatre formules donnera également r == /^ ; c'est-à-dirfe que dans ce cas les cer* des doivent avoir des rayons égaux pour se rencontrer, et nous avons supposé cette rencontre en calculant nos formules. Mais comment se rencontrent-ils ? Si l'on fait £? = G et r = r' ; on trouve X:::±^ et y =r §. Ces valeurs indéterminées peuvent donc être prises à volonté ; du moins entre les limites où le cercle existe , et dans les rapports que cette courbe admet En d'autres termes , si l'on calcule les valeurs de tant de coordonnées corre^ondântes que Ton voudra pour un des cercles , elles conviendront toutes à l'autre ; et par conséquent les deux cercles dans ce cas n'en font qu'un (Géom. Liv. V. n^ 63 )•

Si les cercles , ayant le même centre , n*ont pas le même rayon , le résultat r =s r' , qui résulte de la supposition que d «= o*, prouve qu'on ne peut pas supposer en même tems que deux cercles ont le même centre , que leurs rajons sont inégaux , et qu'ils se rencontrent. En faisant donc les deux premières suppositions , oh rejette la troisième ; ainsi dans ce cas les cercles ne se rencontrent pas , et il est évident qu'ils sont caneerUrir ques (Géom. Liv, V. n*. 65).

186. Si les^ cercles n'ont pas le même centre, d n'est pas nul, et quoique l'abscisse x soit toujours possible , comme l'indique la formule , l'ordonnée y ne Tçst pas toujours, Il est clair que si cette ordonnée est imaginaire les

1311 ■ '" »09ïTro*ii «Êâ^ECTtrï*

eerclça né se rencontreront pas ; cela aura tiea^ comme on le voit dai» ÇJ) , (jff) , (C)y lorsqu'on aura

cherchons ce que cela dgiùfie. La frenatère mégalité donfte saocesÙTenaLent :

La seconde conduit au même résultat;, et la troisième fournit cçlui-ci^ ea la traitant comme la première ;

Ainsi les cercles ne se rencontrent point quand la distance des centres est plus grande que la soxxune des ra/ons ^ ni quand elle est plus petite €j^c leur différence.

Dans le pi'emier cas j les cercles sont placés hors l'un de l'autre^ à une distance déterminée par la valeur de d relativement à celle des^ rayons , qui du reste peuvent être égaux. Dans le second cas , les cercles sont au de« dans Tun de Vautre, et leurs, rayons ne peuvent être égaux > car alors la 4istançe des centres , qui est plus petite que leur différence, serait moindre que rien ( Géom. Liv. V. n^*. 56» 64 ). .

187. Si y est possible, tout comme :r, les cercles se rencontreront ; cela arrivera certainement , comme on le voit dana Ç^) , (B) , (C) , quand on ftura

soyons aussi ce que cela signifie. On tire de ces înégalitéa

ce qui prouve , en le combinant avec (E) , que les cercles se coupent , fig, 6Ày, quand la distance des centres est en même tems plus petite que la somme des. rayons et plus grande que leur différence. Je . dis qu'ils se coupent plutôt que de dire qu'ils se rencontrent , parce que les formules font voir qu'ils, n'ont qu'une abscisse commune /a? n'ayant qu'une valeut quand on fixe d, r, et /•% mais qu'à cette abscisse répondent deux . ordonnées égales et dirigées en sens contraire. Ils se coupent donc , mais ils ne peuvent jamaia se couper en plus de deux points , puisqu'il n'y a jamais que deux valeui^ de y communes ; ensorte que s'ils avoient trois points communs ils se conr^

^ ^ es BBUX CEtiClJtë, . l^

foadraîent. Du rate les rajoi» peuvent <iana ce cas être égaux ou inégawi (Géora. Liv. V. n*^. 53. 64. 62. 63)*

. Les deux valeurs ' de y , égales et en sens contraire , prouvent en outrç <]ue la droite qtfi joint les centres , et qui est perpendiculaire à la. double^ t>rdonnée , partage en deux parties égales cette double ordonnée , c'est-à-* dire la corde qui joint les deux points d'intei^ection ( Géom. Liv. V. n*. 66 ). Si les deux ra/ons sont égaux , les équations des deux cercles sont. . . « y* =5 r* — a?* et t/* = r* — ;^ (d — *• a?)*, d'où on tire x =^^di ainsi. . . . AP — CP (Géom. n^ 65. bU).

188. Si on avait dans (^), (5), (C), d'-^r^—i'^^adr , d*+/^»— r»=2d/ ^ r*+/^*— ^=2r/ , on tii'erait de ces égalités :

substituant ces valeurs dans les formules, 'pour avoir celles de a? et de y, on trouverait pour les deux cas, toutes réductions faites^ a?=r et y = o. Ces valeurs simples et non doubles de :r et de y , prouvent qu'alors les cercles se touchent , sans se couper ; on voit que cela a lieu quand la distance des centres est égale à la somme ou à la différence des rayons ; et il est bien évident que dans le premier cas les cercles se touchent extérieurement , et dans le second intérieurement. D'ailleurs le point de contact est sur Taxe des Xy ou sur la ligne qui joint les centres, puisque y:=o (Géométrie n^. 67.58).

Si dans le second cas les rayons étaient égaux , leur différence serait nulle , et la distance des centres aussi ; alors les cercles se confondraient entièrement (n\ 185) (Géom. n^ 61).

189. Pour que tout ceci soit aussi clair que possible, faisons encore une observation sur quelques-unes des formules précédentes.

En extrayant les racines pour trouver (£) ', ÇG) , ( /) , nous n'avons pas mis le double signe, parce que si les rayons sont égaux / — r=r — r' , et si les rayons sont inégaux , r étant plus grand que /*' ( n^ 18-4 ) , on aurait r' — r négatif; or d, qui est décidément en + (n^ 184) , ne doit pas être comparé avec des quantités en — , si ce n'est en faisant abstraction du signe ; mais alors le résultat serait encore le même.

Ces formules étant ainsi décidées, et devant servir de règle pour les autres, nous allons légitimer successivement celles-là. £t d abord nous n'avons pas écrit pour (F) d < r Hh r', parce que la seconde valeur

140 roSlTlONfl ttSiPECTITEl DE PtVX CIECLKI. .

aurait été la mêxDe que (£) , et que cette - ci décidant la Don -^ interBeetion se trouvait rejetée pour Tintersection.

Nous n'avons pas non plus écrit pour (D> d> r±zr^j parce que Fiaterseçtion étant décidée possible par (G) , dans certains cas où d ^ r --^ f^^ elle ne pouvait pas être toujours impossible avec cette valeur. D'ailleurs cette intersection étant supposée impossible avec d > r — r' , et Tétant dé^ cidément par (£) avec d <^r-^r^^ elle n'aurait plus été possible qu avec <?=:r-~/; mais (/>, qui est aussi une formule arrêtée, prouve qu'alors, il n'y a qu'un simple contact : on n'aurait donc jamais eu , dans cette sup-^ position , d'intersection proprement dite , ce qui est en contradiction avec les fonnulcs (jF) et (G) déjà sanctionnées.

Enfin , nous n'ayons pas écrit pour (ZT) <? =? r 4: r^ , parce que la secoo^ valeur n'atUrait été qu'une réjpétitioA de (7).