CHAPITRE IX

Problèmes relatifs au cercle..

. 190. EL TANT donnés un cercle et urte droite qui rencontre ou non &t icircon/ërence , mener une tangente parallèle à cette droite^ ou tfouveip les coordonnées du point de tangence^

. On peut supposer d'abord que la droite se meut parallèleineuît à elle*^ même, et vient se placer au centre , alors son équation sera t^ = yiv; eiir $orte que A est donné. L'équation de la tangente demandée , qui doit fiore avec Taxe des x le même angle que la droite donnée > sera donc la fQJr« mule (13) du n*. 174, savoir;

y = Ax — r \/i + A\ £n la combinant avec f équation du cercle ,

on en tirera^ par Télimination ^

Ar

ee sont les coordonnées du point de contact Vbjcona quelques ea» partie culiers.

1 ^ Si la droite donnée est parallèle à f axe des x , on aura A = Tsiro ^ œ qui donnera x :ss zéro et y =: ± r ; c'est-à-dire qu'on aura deux tan* ' gentes qui auront leurs points de contact placés sur l'axe des y.

2^. Si la droite donnée est parallèle à Taxe des y, ou perpen<ficuTaîre à Taxe des x , on aura ^ = § ; ee qui doimera ar = ^t r et ^ = o ; c est-à» £re que les deux tangentes auront leurs points de contact placés sur l'axo des x^

3^. Si la droite donnée âut avec chacun des axes un angle de 50^ ^ on

aura a =: 1 ; ce qui donnera a? = ± — ^ et y = ± -^ ; Je» coordon^

fiées seront donc égales^ connue cela doit être. Alors si la. droite est dana

142 PROBtÈM&S

le premier angle des axe» ou dans le troisième , ce qui revient au même , on i>rendra , pour^-avoir le» points de contact des deux tangentes , + » avec 4" y et — - a; avec — y; et si la droite est dans le second angle ou dans le quatrième , on prendra + x arec — y et — a? avec + y (*).

En général, il y aura toujours deux tangentes parallèles à la droite, à moins que celle-ci ne soit elle-même tangente et ne tienne la place d'une des deux ; et dans tous les cas le problème sera possible»

191. Pour résoudre ce problème, on aurait pu aussi raisonner de ceCte n^iiîère. En désignant par x' et ^ les coordonnées du point de contact, la formule (12) du n^ 174, aiurait donné pour Téquation de la tangente. . . l/y +'X'x == r** Mais on peut supposer qu'en général cette tangente coupe l'axe 'des x dans un point ( « , zéro ) ; ainsi ces valeurs doivent satisfaire à réquàtîon précédente, et Ton a de cette manière af» =S3 r*. D'un autre côté le • cerde donnant y'* =c /^ « a/» • il est facile dé tirer de ces deux équa* tions : ^^^^

Prenant encore dans la formule (9) du n**. 173 la valeur de « exprimée en

A , et substituant cette valeur dans les dernières formules , on obtient ^ |

comme au numéro précédent :

i92^> Par un point donné extérieur au cercle mener à ce cercle les dm» tangentes que Von peut y mener (n*. 173.)

Ou pourrait prendre la formule (10) n*. 174, dans laquelle on suppose* roit que *, /«> désignent les coordonnées du point extérieur donné, et x^ y , celles du point de contact ; on la combinerait avec Téquation du cercle > pour en tirer les valeurs de x et de y. Ou bien j pour simplifier, on pren* drait la formule (11) avec l'équation du cercle > en supposant qu'on eût fait

mam'^arm'm^mm^mmmmmmmmmm

(*) Dans le cas actuel les coordonnées du point de contact sont égales ; mais

en général on a pour la longueur de la tangente ^ (n*. 175) ; donc ici la tan-

gcnte égale r \ ce qui s'accorde avec le principe que la tangente de 50* est égale ail ra^ouii

REtAtirS AV C1S&CLE. 143

tourner les axes pour faire passer celui des x par le point donné. Mais voici ce qu'on a trouvé de plus simple et surtout de plus élégant , quoique très-général.

Soit A , fig, 65 , le centre du cercle donné , et G le point extérieur (« , ^) , désignons par «', ^, les coordonnées du point de contact inconnu, nous aurons , par la formule (12) , B^y +• «'x = r* pour Téquation de la tangente. Mais comme elle doit passer par G , on pourra mettre « , /s , à la place M ^ > y > ce qui donnera :

fiB^ + a»'=zr^ (0;

4'uQ autre côté le cercle donne :

er^ + a"^ :=r* .... (2);

et voilà les deux équations qui doivent être combinées pour la solution diui problème. Retranchons la première de la seconde pour avoir :

complétions les deux carrés :

écrivons seulement :

Comparons actuellement cette équation avec la première formule (5) éx n°. 167, et nous verrons qu'en supposant »' et fl' variables, et les représentant par 0? et y , cette équation est celle d'un cercl e dont les coor données du centre sont | «, J *, et dont le rajon est \/(i<*y+ (i^)^; c'est-àdire l'hypoténuse d'un triangle rectangle qui a pour côtés de l'angle droit ces mêmes lignes dont nous venons de parler. Nous reconnaîtrons de plua que les coordonnées «' , i^ , sont communes à ce nouveau cercle , au pré-» cèdent , et à la tangente.

Divisant donc « ou A» en deux parties égales , pour avoir | « , qui est Vàbscisse du centre du nouveau cercle , élevant sur ce milieu de « une perpendiculaire égale à I /3 , pour avoir l'ordonnée du centre et le centre même C, et joignant ^CG^ cette droite, dont C est pré cisément le n ulieu » sera le diamètre du cercle en question, et jéC = \/(5 « )* + ( | ^ )* en sera Iq

rayon. Ainsi ea décrivant la circonférence de AC^ elle passera en .^^ en G,

144 PIOBLJCBCES

et coupera le premier cercle en deux points , qui seront les points d$ coi^ tact cherchés ( Géom. Append. ProbL XXII^)»