I • I II

Enfin *i l'on veut joindre à ces formules la valeur de A tirée de i'équatioii <9), n". 173, on aura:

■195. Examinons surtout la valeur de /j', nous y verrons bien des choses:

1®. Si d < #• — / , il .^era., à plus forte raison < r + ^î dans ce cas Tor* donnée est imaginaire , et par conséquent il n'y a point de tangente pos* Vible. C'est qualors les cercles sont au dedans l'un de l'autre et ne se tou* chent point (n^ 186).

2®. Si l'on a simplement d < r + #^, ilpeut âri^iver que d =:. r — r' ; alors fl' :;;= zéro tX ^ ^ r. Un*/ a donc , dans, ce c^, qu'une tangente possible-, parce que les cercles se touchent intérieurement' (ri*. J 88 ).

3^ Mais si avec rï < r'+ r' on avait d y r — /, la quantité sous lé radical serait en 4-i mais simple , et le double signe avant le radical îhdiqueràîÉ

146 FROBLÈMES «BLATIfS AIT CEBCLE,

4eux tangentes; c'est qu'filarai les cercles se eoupent ( n^ 187), etisorte qne les tangentes se placent , Tune p^ dessus les cercles , l'autre par dessous » fig. 66.

4% Si £? = r + r* (nous avons déjà yu <? = r ~ i^) , on a , ou . • ^ ". ;

«* = r et 4* = o, ce qui fkit une tangente , ou «'' ;;=: — -- — ; — et. .... :

2r -^ fi'z='±^ — j — j- ^n' , ce qui fait encore deux tangentes. Il y a donc , dans

te cas , trois tangentes possibles , paixre que les cercles se touchent extérieurement (n^ 188), et qu'il y a une tangente entre deujç, une au^dessuA des cercles , et une troisièine au-dessous , âg. 67.

6®. Si rf > r + r' , à plus forte liaison surpassera-t-îj r -— / , la quantité sous le radical pourra donc avoir deux, valeturs en +, et, à cause du doublo signe avant le radical , il y aura quatre tangentes possibles. Alors les cercles sont séparés (îi®. 186)^ et on peut leur mener deux tangentes intennédiaires , une troisième par dessus les cercles , et une quatrième par des* sous , ^g. 68^ -, •

^96* Voyons encore quelques cas particulier^ :

Nous venons de dire que si J = r — r% on avait af^zsir et ^ =: o > ond aussi » = r et a = § , parce que Tangle de la tangente est droit. . Dans le cas 3*. , fig. 66 , si r^ == r, on trouve. «^ = o , a' =: ±: r , » =5> çt a = a, ce qur prouve que les points de contact sont sur Taxe des y, et que les ' tangentes sont parallèles à Taxe des x , comme cela devait en effet résulter de la supposition*

On trouvera les mêmes résultats, dans les cas â\ et 6*., fig. 67 et 68 ^ pour les tangentes supérieures et inférieures , en faisant aussi /^ c r« Mai»

pour les tangentes intermédiaires du dernier cas ovk aura . « . ««.,.«...

dr ^

« =5 — =r I <i ou AG^c=i CG, comme cela dok être. Quant aux vakiucs; 2r

de «' , fi' , et -4 , elles varient avec celle de d.

pans les cas â*, 4^, et 6^, en faisant /^=: | r, on a^ relativement aux tangentes supérieures et inférieures, « := 2<Z ou AGz^z 2AC\ ce que d.on^ nent aussi les triangles semblables AGM ^ CGM\

Pans tous les cas, si rôn fait ^===5 on a «'=20, it^z-^r^ «==5, et • . . il = o, comme on devait le prévoir, parce que les cercles étant infininient éloignés les tangentes ont leurs points de contact sur Taxe des y , et sont parallèles à Taxe des x. * ^

D I G ïl È S S I N Sur h sens du signe moins dans- ^elques formules.

197- Je crois avôii^ donné , au n*. 35 de l'Algèbre d'Emile , une règle suffisante pour l'iuterprétation du signe moins dans tous les cas. J'ai ajouté à cela, au n*. 63 de cette Application de l'Algèbre à la Géométrie , ^ue lorsqu'on arrive > après un calcul , à un résultat de cette forme :

Oi* trouve de deux choses Tune, ou la valeur en — peut être prise en sens contraire de celle en +, sur une même ligne droite quelle, où elle est insigniôante. Or voici une question qui rentre dans celle du n^. 179 , et qui poiu:rait donner quelques doutes à cet égard.

Cherchons la longueur de AM fîg. 67 , le point A étant fixe à l'extrémité du diamètre , et le point M pouvant varier sur la Courbe. Si oA nomme cette longueur >, on am-a évidemment :

l* = (r + «)* + y*j ou >*=:r* + âra; + a?* + y*;

substituant la valeur de «?* + y* tirée de l'équation du cercle , ou r* , il viendra :

J*=2r*4'2rarj et > = 4: \/2r (r + :r) (1).

Alors, dira*t-on? si l'une de ces valeurs est AM^^ l'autre sera AM^ ^ quan^ tité qui n'est point prise en sens contraire de AM^ et qui pourtant n'est pas insignifiante.

Pour répondre à cette objection , il suffira de généraliser le problème. Supposons que le cercle de la fig. 58 soit rapporté à des axes obliques , et que cependant l'origine soit toujours au centre , puis cherchons la longueur de AM ou de i. Nous aurons, en faisant R^i (n^'. 100. 137):

ja =3 (r+oùy + y^+2(^r+âc) y. cosy^ où .

*^ 5= r* +2/"a: + a?*+y* + 2ry. cas y + 2xy. cos y ;

'14ft DiOBCfii^ir

$td>8tîtuant h valeur de a:* + y* + 2xy. cos y , tirée de réqocition dsx ceix^Icb «ux coordpnii^ obliques [(3) n®. 167], «avoir r*> on obtiendra:

î* s= 2/-* + 2rx + 2/y . coj y ^ d*où il résultera :

mmim

>= i: •v/2/'^+ 2ra? + 2ry. cos y . . • . (2)*

Or si Tune de ces valeurs représente AM j l'autre ce peut pat représenter >1^% pajrce que ces deu:!C lignes ne sont pai» égales ; donc la valeur en est insignifiante.

Si on voulait AM' , il faudrait prendre y en moins , et Ton aurait :

> = + \/2r^ + 2rx --^ 2ry. cas y . . . . (3) ;

formule dans laquelle la seconde valeur serait encore insignifiante*

Sur qupi il faut bien, remarquer que le^ longueurs de A M et de JlM^ sonti données par les deux valeurs de > en + dans les deu^ formule!» Ci) et (3)^ que l'on pourrait du> reste réunir dp cette manière :.

î= + v^2r ir + x)±: 2ry. cos y . . . . (4).

Donc les. longueurs de -4^ et d^ AM' de la fig. 67 doivent aussi résulter de (4),. et cela sans mettre le signe — ^ au devant du radical, et en faisant seulement cos y.=:o, à cause des coordonnées rectangulaires. On trouve ainsi ^ pour représenter Fune et lautre de ces longueurs y,

d'où Ton doit conclure qu'elles sont égales^ et que la valeur en ■—• de (1>

est insignifiante.

' Confirmons encore ce résultat par un ou deux cas particuliers::

1^ Si a?=:r, fig. 58^, comme on a alors y = 0, la formule (2) donne S = + 2r , et la valeur en — ne pouvant pas représenter une autre ligne que la valeur en -+- , savoir le diamètre AjB , est sans doute insignifiante..

* 2*. Supposons que Fangle y soit les | d'un droit , on aura

cas y = cos I = ^i/i I = J, puisque jff = K Alors si on fait a? = o et jr = r ,. ce qui s'accorde évidemment , la formule (2) donnera * = rh ^i/3. ta pre*^ mière valeur est bien celle de AM ( n^ 8),. parce que dans nos suppositions actuelles le point M est sur Taxe des y , et Tare AM vaut 1 1 ou f , c'est*4i*dire qu'il est Iç tiers de la circonférence ; mais la seconde valem: