CHAPITRE X

Dès sections coniques eh génè'rcd; dé/initions diverses , équattons , rap^

ports de ces courbes entr' elles »

199. JNIous allons maintenant parler de trois courbes donnues fort anciennement des Géomètres , la Parabole^ Y Ellipse et \ Hyperbole, Ce qu'Archimède nous a laissé sur cette matière prouve qu'on s'en était occupé avant lui, et Apollonius, qui vint ensuite , composa, il y a déjà deux mille ans , un bon ouvrage élémentaire sm- ces courbes. On a eu depuis lors cent .de Grégoire de St. Vincent, de la Hire^ de Guisnée, de THôpital, dé La Chapelle , etc. ; et enfin Descartes , Newton , Euler , et Cramer ont donné des traités très-étendus sur toutes les courbes en général.

Il faut observer à cet égard, que les premiers auteurs que nous venônt de citer , jusqu'à Guisnée , n'ont point fait usage de TAlgèbre dans leurfe démonstrations ; les uns ne pouvant se servir d'un instrument qu'ils ne connaissaient pas encore , les autres n'osant peut-être pas s'écarter de la mé-^ thode des anciens.

Ces courbes ont reçu , dès leur origine , le nom de Sections coniques ^ parce qu'elles résultent de l'intersection du plan avec la surface du cône droit ou oblique^ Mais on peut encore les décrire par différens procédés , ou les tirer de Téquatiori générale à deux indéterminées du second degré. Les anciens , qui les ont observées les premiers , ont ignoi'é leurs usages dans la physique et dans les arts ; la Parabole est la courbe que décrivent en tombant les corps qu'on lance parallèlement ou obliquement à l'horison ; elle sert donc dans le jet des bombes ; elle sert aussi dans l'excavation des mines , dans les porte-voix , dans le calcul du cours des comètes. L'Ellipse est la courbe que décrivent les planètes autour du soleil, et les satellites autour de leurs planètes principales ; elle est utile dans l'optique , dans la construction des porte-voix et des cornets acoustiques , dans le calcul des voûtes. L'Hyperbole se rencontre de même dans quelques-uns des phénomènes de la nature , et elle trouve aussi quelquefois son application dans l'optique. Les trois courbes s'emploient enfin pquf la résolution de certains

SECTIONS coniques: définitions, êouations, etc. 161

problèmes de géométrie transcendante , et pour la construction des équa^ tions du troisième et quatrième degré.

Quant à leur nature , elles ont entr 'elles et avec le cercle de très-granda rapports ; c*est ce qu'on aperçoit bientôt lorsqu'on les tire des sections du cône, ou de l'équation générale à deux indéterminées du second degré. Mais en suivant ce dernier procédé , elles ne paraissent être au premier moment que des êtres fantastiques , dont les contours ne se dessinent pas à nos yeux , et que nous ne connaissons que sur parole. Leur description par le mouvement continu dun style, nous met bien plus vite en contact. avec elles, et nous les montre d ailleurs comme ànud et sai^s acces&oire$ étr^n^ gers : nous assistons alors à leur formation, et nous voyons naître avec ellea les points et les lignes auxquels on doit les rapporter. Ç'eat à pçu près ainsi que nous les offre la nature , quand nous suivons de Toeil le mouvement d'un projectile, ou celui d'un corps qui circule autour dun point. Enrevan-. che , nous n'apercevons pas tout de suite > de cette manière , les rapports^ qu'elles ont entr 'elles , nous ne voyons pas assez que ce sont des individus unis entr'eux par les noeuds les plus étroits et ne composant, pour ainsi dire, qu'une seule et même famille. Essayons donc de suivi'e une marchei qui participe aux avaiîlagesjde ces diverses méthodes.,

200. Soient XX', iT', fig. 6.9 , 70, 71 , deux axes indéfinîa et reetangu^ laires ; par un point T\ pris sur l'axe des x , à une certaine distance de l'origine ^, menons Tindéfinie T'LG' faisant avec cet axç, ou un anglcf de 50° , fig. 69 , ou un angle plus petit , fig. 70 , ou un angle plus gr8|,nd % fig. 71 , naais en général moindre qu'un droit; faisons AF^==zALy puis ayant élevé sur Taxe des x, jusqu'à la rencontie de la ligne T' LG\ tant dordon-ijées FG , jPiV, PyV, etc. que nous voudrons , supposons que Tindéfinie FAX'' tourne sur le poiiît F y comme sur une espèce de centre, et vienne rencon-» trer successivement les différentes ordonnée^ ; qu'en niême tems le point A parcourre rindéfinie mobile, et passe avec elle par les points Af , (?% J/, etç.j^ les deux mouvemens se réglant d'ailleurs l'un l'autre de manière que 1q point A , toujours placé sur la ligne tournante , se maintienne à une dis^ tance de F telle que l'on ait chaque FM égale à l'ordonnée correspondant^ /^iV, nous aurons une courbe doqt nous allons recUeJCCher Téqua^tio»^

Qn a dan^ les trois figures :

i'B2 ïtCTIONi CQNIQOCS!

désignant APrsxAL par /, chaque ordonnée NP de la droite T^ LG' par z 9 et chaque ordonnée MP de la courbe par y , OA <>btîeadra :

Mais l'équation de la droite T' LG' étant z=zhx+l^ si on substitue dans la précédente égalité cette valeur de ^^ on aura^ toutes réductiont faites :

t*e8t réquatîon générale de la courbe > pour tous les cas.

1^ Si l'angle m que la droite T' LG' fait arec Paxe des x est de 50^> flg. 69 9 son sinus est égal à son cosinus ^ et l'on a A := 7^7^ ^= 1 ; alort i'équatioxi se réduit à

y^^i^ÀIx ..... a>-

C'est à cause de l'égalité du sinus avec le cosinus, ou de AL avec JT^, ou du carré de l'ordonnée avec le rectangle de l'abscisse par la constante générale 2/ ( i + A ) > c'est dis-je à raison de cette égalité , ou si l'on veut de cette similitude , que la combe a reçu , dans ce cas , le nom de Parabole^ 2\ Si l'angle m < 60*, fig, 70, le sinus est moindi^ que le cosinus, en*» sorte qu'on a /i <^1 et /i* < 1 , alors le coefficient de a;* reste négatif» et l'équation conserve sa forme :

C'est parce que le sinus est ici pluà petit que le cosinus , ou que AIL est plus petite que AIT' , ou enfin parce que le carré de l'ordonnée est moindre que le rectangle de 1 abscisse par la constante 2/ ( 1 + ^ ) , et cela de toute la quantité (1 — h^) cc^^ c'est dis-je à raison de ce retranchement qu*on ft dpnné à la courbe actuelle le nom d'Ellipse.

^S^ Si l'angle m > 50^, fig. 71, le siniis surpasse le cosinus, et Ton a ^ > 1 et A* > 1 ; alors le coefficient de x^ devient positif, et l'équation

(£0 peut s'écrire ainsi : , '

On a donc sin tn> cosrriy AL > JT' et le carré de rordonnée surpasse le rectangle de l'abscisse qar la constante 2/(1 + *) de toute la quantité ih? — 1 ) a?*. Or <:'eat à cause de cette, augmentatioii que cette dernière courbe prend le nom àTHyperbole.

l>#ri«iTX*)NS, ÉQtoAttôiïrSj etc. tSi

, 204- L'anglô AT'Létmit de Si"" Ams la parabole, fig; 6^, m a toujours FM= NP = T'Py et par conUqaént' FM > FP ; cnsorte que la courba ne rencontre Taxe de» a: îqëW point -Hf'<i'oà elle pact. Mais' si on répète «à^^dessoat de cet wxc' la constnicttoti que Ton a faite au-dessus, oir revra qae la parabole est composée de deux branches égales qui s'écar^' tent nidéâBiraent Time de? ToUtre. Quant aux deux autres courbes, chacune d'elles passe deux fois sur Taxe des x, comme on peut le voir par lëa figures 70 et 7t; car si Ton mène par /Tindéflnîe /7 , feîsïint ' avec Vaxe des» ^r tm angle de 50* , elle rencontrera rindéfînîe T^LG' au-dessus de cet SLxe dans l'ellipse et au-dessous dans ITijperbole ; et IB étant l'ordonnée an point d'intersection , on aura IB == FB : ensorte que la courbe se retrou-' vera en B sur l'axe des x. Mais dans l'ellipse FI s'éloignant ensuite de l'axe plus que F*£Xy , les ordonnées NP à cette dernière ligne seront dès lors plus courtes que les FP correspondantes , et îï n'y aura plus de codrbe au delà de By tout comme il ny en a point en deçà de ^. Tandis que dans Thyperbole le contraire aura lieu, et la courbe, manquant de A en By se retrouvera au delà de B. En suivant d'un peu plus près ces détails , et en répétant d'un côté de Taxe des x la construction faite de l'a^tre^on verra

que l'ellipse est une courbe rentrante feimée et limitée, et que Thyperbole est composée de quatre branches égales , s'écartant de deux en deux indé* finiment l'onQ de l'autre « et formant en qvelque sorte deux courbes oppo* sées par leur convexité. T6ut cela résulte plus simplement encore des équa-* tiions de ces courbes, comme il est facile de le voir en faisant dans (f), <2) , (3> , y su:; o I pouT savoir, où la courbe rencontre l'axe des x , eii don* nant ensuite à x dîffiérantes valeurs en plus et en - moins , pour obtenir la Valeur réelle ou imagihaire des ordonnées correspondantes i eten observant que » par la foime des équations , on obtiendra, en ^néral , pour chaque abscisse , deux ordonnées égales et de signe contraire* Mais il était bon de «mvre de Toeil la formation de ces coarbes, d'après le procédé que nous avons adopté pour les décrire.

,: Essayons maintenant de sinqplifief les équations (1>, (2), <^3); ce sera ftciliter la recherche des propriétés- de nos courbes. 20ÏL Si nous comparons le deml-coédScient de w de Téquation générale

(£/)) savoir l(i +iE), «vec leseqond membre <ie Téquation » *

ssaiiar H^i^, qui tst celle de la droite Tiff ^ nous vttrons que ces deux quantités dcviemient égales quaqd on fait dans Jâ dernière xrss^l; mais éta

idô sscTioNf eoNiev^ar*

«ItifMie ou vue l^^rbolç dana laquelle la qu^MstUé c est hifiïiittent gnutcfe»

204. Mai8 il y a encore une constanite bien remarquable daas l'ellipse ; c'est

la double ordonnée Diy qui passe par le point Ç ^ fig. 70 ^ ^signon^ln par

2c' y et cherchons sa valeur dans (9) > eix y faisant x ^c y noua trouTerons.:.

y ou c' = \/lcpy^ 2& ^ y/2çp . . • (10) ;

ce qui prouve que 2c' est moyenne proportionnelle entre 2c et p.

Maintenant si par le point C dans, l'hyperbole, fig. 71, inoûs menons une perpendiculaire DD' ^ moyenne proportionnelle entre 2c et ;> , et pairtagée en C ei( deux parties égales ^ cette perp^ndiciiilaire ^ ^sjgnée aussi, par 2c' ^ ^u^a dw^ l'hyperbole le i^éme rôle que DD\ fig. 70,. joue dai» lellipse.. Sur quoi Ton observera que si l'on calculait,, au ïuoyen 4^ (9)» la valeur de Tordonnée au point C pour l'hyperbole , en faisant da ns cette formule a? = — c, et prenant lé signe d^e n ba s , on aurait y = y^-r- 1 cp; ensorte que c'y que nous faisons égal à \/l cp^ n'est autre chose que l'ordonnée au. fM>iat € prise comme réelle , ou rendue réelle 4'imagînf^re qu'elle était.

206. Voilà donc le point C qui se trouve à égales distancea d'abord, dea. points 4 et -fi et ensuite des pointa D et 2)", qm appartiennent tous quatre a la courbe dans l'ellipse, et dont deux seulement appartiennent à la courbe^ dans rhyperbole ; examinonë m^ùntenant a quelle distance il se trouve en* général de tel ou tel point pris sur l'une ou l'autre de cps çofxrbes. Désiç^ gnons cette distance par ^^ novs aurons évidemment :

équh^n qw' doit s'î5tcc<>rcfer a«ree ceMe et la courbe^

fl 9iVec cdle de la droite qui passe par le poÎQt ^> <dr^^o^)^ ^ ^ % |>ar çoQfféquent cette forme :

• fmaxk tecafaral pyéelaéneQt comme ai» a". i1^\^ nom tjMfm^tn^ Wnot <qpiti0i>, da im^nA ^f^ en >., de iaqueUe tiQW ûstxttOfi.t

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