Ga? ± p

DÉFINITIONS, iôfJATïONfi, CtC?. 1.57

Cette formule prouve que la valeur de > sera toujours possibte dans Tellipse, mais qu'elle ne le sera dans l'hyperbole que quand on aura 2ca * < p. Si l'on supposait pour cette combe 2ca* = ^, on aurait ^ = 55 cest-â-dire qu'alors la droite passant par le point C ne rencontrerait la courbe qu*à Wie distance infiniment grande^ ou cç qui revient au mè^n^^nela rencontrerait pas. du tout ; non plus que sous un angle plus grand et qui donnen xait 2ca^ > p. Mais en général on voit que l a deux valeui-s égales et cfe signe contraire , ce qui prouve que lorsqu'une droite qui passe par le poiol C rencontre la courbe (ellipse ou hyperbole) elle la rencontra, de p9X% et d'autre^ en deux points également éloignés du point C

De là vient que ee point , placé toujours à égales distances des ^piikt^ apposés <fe la courbe; de deux en deux» a été nominté le centra; et qu^ Von appelle diamètre toute droite qui passe par ce point (*).

Sur quoi il &ut observer que si un diamètre aboutit a la courbe» conunfc cela a toujours lieu pour l'ellipse , nous regarderons sa partie iqterceptée^ comm.e sa longueur ^ et que sî ^m dii^mèlre n'aboutit pa^ à la courbe» comme cela peut arriver d^ns l'hj^perbole ^ noua chercherons à déterminier sa longueur eu, rendant son expression réelle d'imaginaire qu'elle était ^ comme nous; ^vons fait pour la ligne DD' (xf. 204) Le centre étant infiaimieiit éloigné: dans la parabole » tout diamètre de cette courbe qui aboitfit à la partie Sm^ ^ parallèle à l'axe des of : et réciproquement ^ on peut considérer toute droite partant de la courbe et parallèle à l'axe tles oc comme étant un diamè4îre.

^06. Qu^nt aux lignes AM ^ />/>% qui sont aussi des diaaaètrea, eUes; ont une propriété particulière \ c'est que si l'on, fait tourner les figiures suf • ces lignes y comme sur des axes y la portion qui est dun côté die la lign^ vient s'appliquer exactement sur celle qui est de l'autre c6té. Cela résulte, 1*. de ce que l'angle des coordonnées est droit , 2*. de ce qu'à chaque aba^. cîsse il répond deux ordonnées égales et de signe contraire ( n"*. 20 1 ) ^ 3*. de ce que les ordonnées placées à égales distances du centre sont égales^ ^ comme nous allons le démontrer. Supposons CK=^ CHy fig. 73, lAy oik aura HB=zAK=:x; BimiAH=±:{Zc^ffB) =Hh: (2c ^^c). Mettx^ns^ donc cette abscisse AH ou zt(Zc^x) à la place de AK ou de x danft

(*) Ce n'est pas là la définition la plus général^ de ce mot , Ior3<pi'mi, Taç^. pllq[ue à des courbes quelconques \ mais elle convient du moins à toutes les scçrtipns coniques , aussi bien qu'au cercle , et cela suffil pour notre but ajCtiiet.

158 * «ECTtÔNS CONIgUÉS:

<9), et cette équation se retrouvera la même après les rédfuctîohs ; ainsi là valeur de l'ordonnée sera la même.

Il est facile de voir , au simple coup-d'œil , que si les figures tournaient «ur toute autre droite passant par le centre que les droites AS et DIX y une des parties ne s'appliquerait pas exactement sur l'autre. C'est à cause de la propriété particulière de ces diamètres AB, DW ^ qu'on leur a donné le nom d'axesj en prenant ce mot dans un sens un peu différent de celui que nous lui avons donné jusquà présent (♦). La ligne AB z:tz2Cy dansTellipse et l'hyperbole, c'est-àndire celui des deux axes qui passe par le foyer, s'appelle le premier axe^ et la ligne DD' = 2c' s'appelle le second cLxe, De plus les extrémités du premier axe, c'est-à-dire les points -4 et jff où il irencontre la courbe , se nomment fc^ sommets. Quant à la parabole , fig. 69^, elle n'a qu'un axe indéfini AX et un seul sommet A. Mais dans le cercle tous les diamètres «ont des axes» et tous les points de la circonférence sont des

«ommets.

Du reste Téquatioft <B) ûût voir qtie dans l'ellipse , où A* < 1 , le premier axe est plus grand que le paramètre , et par conséquent plus grand que Ib «econd axe , qui est une moyenne proportionnelle entre ces delix lignes ; c'est pourquoi lee deux axes sont souvent appelés dans cette couii>e le grand •axe et le petU axe^

La même formule prouve que dans l'hyperbole', où A^ > 1, le premier axe peut être égal au paramètre ^ ou plus grand , ou plus petit que lui ; d'où il résulte qu'il peut être égal au second axe , ou plus ^t^and , ou plus petit que lui. On reconnaîtra tout cela plus fîtcilement en écrivant aimi la formule (8) , pour le cas de l'hyperbole : - -

p. cos^m

; ^in^ m — cos^ m . . '

et en faisant successivement sin'^ m = 2 cos^ m , sïn^ m == 3 cos"^ m , et . . . sin* m = 3 cos'^ m ; ou d'autres suppositions analogues à celles-là. • 207. Si Ton fait dans l'équatid'n C9) Xzzsl et y :=^lpy on pbtient :

irika*!

<*) Il paraît qu'on a d'abord vu les. axes comme nous . les voyons .^ans ce moment, et qu'on ' a ensuite généralisé l'idée, en appliquant ffe même mol aux

axes obliques -çt à ceux 4ui ae partagent pas les ordonnées en deux, parties

pi? 2/*

Ip'rzîpZq:^, d'oiX > = 4/T— .... (H); .

c*cst la yaleur cki paramètre en c et /. Et comme le dernier terme s'an^ nulle en sHpposant ç === §, il en résulte que dans la parabole le paramètre* vaut quatre fois la distance du sommet au foyer ^ qu'il est plus petit idans; Tellipse, et plus grand dans l'hyperbole.

D'ailleurs, puisqu'on a pour la parabole y^ =^poc\ o\i x : y \: y : p^. et puisqu'on a pour Tellipse et l'hjperbole Cn^ 160) 2jt? : 2ç' :: 2c'.: p.^ on peut dire que dans la première courbe , le paramètre est une troisième proportionnelle à une abscisse quelconque et à l'ordonnée coxTespondante ; et que dans les deux autres , le paramètre est une troisième proportionnelle au premier aiç et au second. Mais le caractère général de cette ligne c'est d'être égale à la double ordonnée qui passe par le foyer , ou à 2/(1+ A); quantité qui se réduit tout d'un coup à Àl quand on fait ^ = 1 , comme il, le faut pour la parabole (n°;*200)v ' , ''.

208. Si on substitue dans (10) k valeur dfe p que nous venons' de trbûf ver Çii), on. aura pour la grandeur du second: axe en c et /:.

3c' = 2 >v/2/c qp /* (12)..

Cela posé il sera facile de trouver la valeur de FD, fig. 70, et de -rfZ>,, fig- 71.

On a FD^ = c'* + (<^ — /)*> et si l 'on met ici la valeur de c'* , tirée de: réquatjoa précédente ^ on obtient FD^ =?; 2/c — /* + c* -^ 2/c + P^^ c* ^ d'où il résulte FD=:c. ' , ;

. On a, dans l'hyperbole, AD =£'* + c*, et si Ton substitue ici la valeurde c'* , tirée de (12) , on trouve 4^* = c* + 2/c +i* ; d'où il résulte . . .. ^j9 = c + /=CjF.

Oa a donc , pour les deux courbes ,. . .

Enfin si on voulait trouver la valeur de FB =3 2c h-^ /, on tirerait dô C 12) c'* =:/( 2c ^^ /) ; ce qui donnerait l : cf lie' : ZC^ 1; ensorte que JFB est troisième proportionnelle à / et c':

Ces résultats pourront nous être utiles.

209. Observons maintenant que nouç avons eu dftns^ l'ellipse et l*hypers

i6» st«trt>W8 (io)liQtr«â:

.bole.cinq ôoildtântes, /t, /, c, (/, etp, qui prises de deux ett deux peuvent fournir des équations de ces courbes (n*. 202); on dn pourrait donc trouver dix différentes pour chacune d'elles avec ces constantes-là. Nous avons examiné celles en A et / (2) et (3), celles m http (fl) et (6), et celles en c et p (9) ; voyons encore celles en c et (^^ qui sont sii&pka ^ élégantes , et fort usitées*

On peut tirer de (10) ;> = ( voyez aussi n^ 207) ; «ubstituaxit c«tte

valeur daas (9), on â : ^

y*=il. (2carT»*} .-. (13);

c'est l'équation au sommet et aux axes.

Si l'on veut avoir l'équation au centre et aux axes , ott transporter Von^ gine au centre., il faut mettre dans (13) x-i-c à la place de x pour Tel-^ lipse , et a: — c à la place de x pour Thyperbole ^ comme il est facile de le voir, vpaf^ les fijg^es. Ou aura ainsi » pour la première courbe :

et pour la seconde :

y*= — (a^^c^) .... (IS).

Sur quoi il faut o bg^rve r que Téquation (14) devient Téquation (15) en y dMLA^ géant c' en c' \/ — 1.

. «210. Toutes nos équatioiis «u sonimet prouvent que pour chaque valeiflr qu'on voudra. donner k Xj on aura deux valeurs de y^ réelles ou non, mais égales et de signe contraire f n^ 20 1 ) , sauf dans les points où la coUrbe rencon* trera l'axe des a; et où y sera nul. Il en résulte , comme nouis l'avons déjà dit ( n*. 206 ) , que cet axe partage les trois courbes , chacune en deux parties égales , qui peuvent se supetposeï iquand on plie la figure suivant cette ligne.

On voit de même pat (iÀ) et (li) > qui sont ies équations au centre de l'ellipse et de l'hyperbole , que si i'o» donne succeseivement à x deux valeurs quelconques égales et de signe contraire , il en résultera les mêmes valeurs pour y , parce que ces équations n0 eontiennent que la seconde

puissance

béFiNiTioNS, tqvATiojJSj etc» 161

{)U]ssattce àe x; ce qtti «ignifie que la portion de la éoiirbe qui est d*un côté du centre est semblable et égale à la portion qui est de Tautre côté ; ainsi cea portions /comme nous Tarons aussi vu (n\ 206), se superpose-* ront exactement quand on pliera la figure suivant le petit axe. L'un des sommets ira donc se placer sur Tautre sommet , et le foyer F marquera sur Taxe un autre foyer F' , depuis lequel on pomrait supposer que la courbe a été décrite , en plaçant convenablement la ligne T'LG ' ; et l'on aura • • » BF — AF.

Quant à la parabole , elle n'a point de centre ; elle n*a qu'un axe , qu'un «ommet , et qu'un foyer ( n***. 206. 206 ). Dans les deux autres courbes , la. distance du centre à l'un des foyers , s'appelle V excentricité.

211. Si on voulait supposer que la ligne T'LG' , fig. 71 , tournât sur le point £ en se rapprochant de Taxe des Xy h diminuant , sans que / changeât , la courbe deviendrait d'hyperbole parabole , et de parabole ellipse. Ce mouvement continuant ensuite , dans le même sens , on voit par (7) que 2c diminuerait, ou que le point 5, fig. 70, irait en se rapprochant de F y et par conséquent 7 aussi. Enfin quand T'LG' se trouverait parallèle à J'axe des x\ on aurait h = zéro^ 2c = 2/ [formule (7)] , et Téquation (2) deviendrait ;

y* =z 2lx — a?* ou y* = 2cx — a?* ;

équation d'un cercle qui a l'origine au sommet et dont le rayon est / <m c (n^ 166).

Si T'LG' effectuait le même mouvement en tournant sur un autre de ses points, au lieu détourner %\xt L^ l irait en augmentant ou en diminuant, pendant que h diminuerait , et par conséquent , ou F s'éloignerait de A , ou il s'en rapprocherait , et la ligne FI se mouvrait parallèlement à elle- . même, en suivant le point JP: quant à ^, ce point pourrait, suivant les cas , ou rester à sa place , ou se rapprocher de ^ , ou s'en éloigner ; mais lorsque TLG ' se trouverait parallèle à l'axe des x , la courbe serait encore un cerde , qui aurait pour rayon la grandeur acquise par AF.

Si la ligne TLG' tournait sur lé point T en se rapprochant de Taxe des a?, les quantités A, /, et 2c iraient en diminuant, de même que p, ensorte que les points jP et ^ se rapprocheraient de -^ , le point l se rapprocherait de B et de /*, et le point G' aussi ; enfin quand la Ugne T'LG' serait couchée sur l'axe des x^ toutes les quantités > A, /, 2c, p seraient nulles^, et la formule (2) donnerait y*=t;~ ;r*, et ysay^-^o;», équation qui ne

162 8BCTI0NS CONIQTTES:

pourrait être satisfaite qu'en faisant en même tenu â?ssfoe(^â^o;h( courbe ne serait donc plus qu'un point*

On pourrait aussi voir cela de cette manière : faisant d'abord h=^Oy Uéqua% tion (2) deviendrait celle d'un cercle ayant / pour rayon ; mais ici / est encore nul , donc ce cercle dont le rayon est nul n'est autre chose qu'un point

Si dans les trois figures la ligne T*LG^* vient passer en i4 , on a uéL = o > et par conséquent AF:=zAL^==^ziro; ainsi la ligne//" passe aussi en A.

Alors 1*. si m < 50^ , la portion de IF qui est au-dessus de l'axe passe aussi au-dessus de T'I/j\ le point / et le point By fig*. 70, se réunissent •en -4, avec les points r', Z, et JF, et toute l'étendue de la courbe , toujours comprise entre ses deux sommets ^ et i? , se trouve resserrée en un seul points En effet chaque NP étant plus petite que chaque distance correspoiidante 7'jP, ne peut plus , étant portée de i^ en il/, ou de 7" en 3/, rejoindre JVP, Ce résultat est aussi confirmé par l'équation (2) , qui devient , en faisant ^ == o, y* = — ( 1 — ' A*) j:* ; et qui ne peut être satisfaite qu'en supposant o;^ o et y — o y ce qui indique un point

2*. Si m = 60<*, la ligne 7F se confond avec T'LG\ fig. 69, chaque iVl^ étant alors égale à chaque TP ou FP coiTespondante ^ tous les points de la prétendue courbe viennent se placer sur Taxe des x. En effet l'équation (1) , en faisant ? = o, devient y* = o , d'oiik y ?=o, ce qui n'est autre chose que*réquatian de l'a^e des x^ C'est donc à cette, droite que se réduit la courbe dans ce oas«

3*. Enfin si m > 6(P la partie de JF qui est au-dessus de Taxe des ^ passe au-dessous de T'LQ\ le point / et le point ^, fig. 71 > se réunissent en A y avec les points T^y L^ et F; mais la courbe n'étant jamais , sous cet angle , comprise entre les points A et B^ ne se trouve pas , coipame dans le premier cas , resserrée en un seul point. Pour savoir ce qu'elle devient , iai^ sons dan s (3) l^ o, et nous- aurons y^ = (h!^ -^ 1) ^^j d'où ..,,..., jf = ± \//i^ — i *x ; équation de deux droites qm passent par l'origine, t\ dont les tangentes trigonométriques (n^ 121)^ étant égales et de signe contraire , sont prises en dessus et en dessous de l'axe des x. Chacune tfellef vaut) à part le signe, \/A^— 1. Les hyperboles se réduisent donc ici à deux droites , et leurs quatre branches deviennent les c6tés de deux angles opposés au sommet Voyons une application particulière de cela.

Si on voulait que la première de ces droites se confondit avec /7, il ùiX^

drût que sa tangente trigonométrlque fil^t < , afin que Tangle ^u*eUe fait

D1ÉÏINITT0N8, ÉQUATIONS, etft. !6S

avec Taxe des a? fût de ôO'^ ; on aui*àit donc y^A* — 1 =1 et /i* — • 1 = 1 , d'où Ton tirerait h ou isjs. = ^^2 ; ensorte que cos m: sinm:: i : \/2. U faudrait donc, après avoir pris T* P k volonté pour 1, construire un carré sur cette ligne, et faire la ligne PN^ correspondante kT'P, égale à la dia* gonale de ce carré ou à v^2; menant alors T' N, et construisant comme au n^. 200 , tous les points de la prétendue courbe se placeraient sur FL L'équation (^U) peut donc représenter un point , une droite , deux droites ^ un cercle , une ellipse , un e parab ole , et une hyperbole. Si Ton y fait h etj nuls , el le devient y sa y / — a?* ; si l'on y fait / nul et /i. < 1 , elle donne y = y^*~ (1 — h^)x^; d'où l'on tire également a? = o et y = o ; c'est le cas du point Si l'on y fait / nul et A =z 1 , on trouve y = o ; et si l'on y fait / nul et A > 1 , on trouve y = db v A* — i . x; ce sont les équa* lions dune droite et de deux droites. Si l'on suppose simplement /i nul, oa obtient y* = 2/a? -^ x^ ; c'est l'équation du cercle. Si l'on a A < 1 , le der* nier terme reste en -^*» et c'est l'équation de l'ellipse. Si A as 1 , il vient y^ = Ux ; ce qui représente la parabole. Enfin si on prend ii > i , le der* nier terme devient •+• et l'on a Thyperbole»

Ces résultats peuvent aussi se tirer plus ou moins facilement à^ autres équations, excepté celui des deux droites. . Prenons , par exemple, l'équa* tion (9). Si l'on yïdàtp nul , on a y = o ; si l'on suppose p =: 2c, et qu'on donne au second terme le signe — , on trouve y* = 2^3?-^ oc^ ; et si dans ee résultat on fait de plus c nul, on obtient y = y^— a:*. L'équation telle qu'elle est, avec le signe —au second terme, est celle de l'ellipse, et avec le signe + celle de l'hyperbole. Enfin en supposant 2c = g , on a y-c=;>a7, équation de la parabole. Mais si on' voulait , pour avoir les deux droites , faire dans l'équation avec le signe + , ;> = o et 2{? = o , on n'obtiendrait lautre chose que o = o , ce qui n'apprendrait rien. Du reste on voit par tout ceci que les trois courbes n'en font pour ainsi dire qu'une , sans parler du cercle , de la ligne droite , et du point , que nous avons vus être aussi représentés par les équations. ^

Remarquons enfin que l'équation (13) avec le signe d'en haut, et Téqua-^ lion (1-4), deviennent les équations au sommet et au centre du cercle, lors» qu'on y suppose </ = c» C'est-à-dire que le cercle est une ellipse dont les axes sont égaux.

L'équation (13) avec le signe d'en bas, et Inéquation (15), lorsqu'on y fait c' =S5 c, donnent y* ac 2cx + cx^^ et y* =: :ir* — c*; équations au som-

164 SEfcTioTNs coNrQTtES: pitm^iT. tQVKT.y etc.,

çiet et au centre d'une kjperbole dont les. axes 2c' et 2e sont égeux (n^. 206) , et qu'on appelle , à cause de cela» hyperbole équUatère. On voit pa^r ces équations , comparées, à celles du cercle y* =^ 2çx -»^ a?* et ^* = ç^-^ ;i7* , l'analogie qu*il y a entre ces d^eux courbes.

212^ Au reste^ il est évident que les équations générâtes ^que nous arons eues pour les. sections conique», ne sont pas les plus générales que Fon pût obtenir, puisque nous avons toujours supposé les axes rectangulaires,, et l'origine placée ou au sommet ou au centre. Ensorte que ces équations ne XK)us ont point pUw redonner l'équation générale du cercle trouvée au B?. 166., et qi a'aurait été. qu'un cas particulier de L'équatioa générale des sections coniques. , si nous avions commencé par cette équation.

Mais nous ayon^ traité^ d'abord de la^ ligne circulaire , parce que nous en connsdssioBS déjà les propriétés, et que nous voulions, voir comment elles étaient représentées par les. formules de. iMgèbre (n^. 166); cet exercicQ devant d'ailleurs noua donner plus die facilité pour d'aûtres: recherchée.

En abordant ensuite les sections, coniques^ nou^ avons donné au, n^. 199^ les raisons que nou^ avions pour lea décrire comme nous l'ayons fait.

Enfin», quoique nous eussions pu conclure de ce procédé même l'équation la plut générale de ces courbes , nous avons préféré, commencer par une équation moins composée et qui convînt cependant à toutes/, d'autant plus que lorsqu'on discute les équations des courbes , pour reconnaître les. propriétés de ces lignes > on tend toujours, à le^ tédwre aux foroiea les. plw «inf^le$ possibles.