CHAPITRE XI

JfvoprUtés des foyers , de la directrice , âes rayons vecteurs , et des,

çrdonnées.

2 13, L/*ÉQUATiON z=:hx + l (lï^. 2p0 ) , OU, ce qui revient au même^ fM =:?iix: + Ij prouve que , d^na les tXQis sections coniques , la distance du foyer F à chaque point de la coui:be est une fonction rationnelle de l'abscisse correspondante : c'est-à-dire que hçt l étant supposés rationnels ^ fi X l'est , FM le sera, auçsi. Qn rie le ypil; dans cette équation, que pour un des foyers; mais ce que Ton peut aiBrnxer de l'un de ces points, on peut nussi l'affirmer de Tautre ; comme cel^ est évident par le n®.,210*

Recherchons si quçlqu'a,utrç point aurait; cette propriété. Repr^sentQna par i la distance d'un point quelconque (x\ y'), pris dans le plan de 1^ courbe , à un point de la courbe même , il çst clajr qu'on aura . • . . .. . .

J*=(y^yO* + (*— ^')%ou

J*= y* — . 2yy' Hi" ^* + 0?* -^ 2xx'' + a/\

Mais on voit par (t/) que i ne peut être rationnel en x que dans le cas. où. \c terme — 2yy' y qui contient la première puissance de y , serait nul; fai^. wm dope en effet; •— 2yy^' = ©> et j/.'= p ; il yieut ainsi :.

^ = 2/ (1 + A) :r -r^ ( 1 -r-. /i*) 0?* + x^'^2xx''^ x'^^ J* = h^x^ ^2[l(i + h)^ x'] X 4- x\

Or te second membre de cette équation ne peut étrç un carré quç dans li^ cas où Ton a /( 1 + A) — ^ x' == /ex' ^ et par conséquent ............

Z( 1 + ft)/= a;' (1 + A), ou a;' ==^/. Et puîçque les co ordonnées du point;: cherché sont / et zéro , ce point n'est autre chose que le fojer F.^

Q semblerait d abord qu'on ne trouve jam^i? ^usi ^'un seul point qui ait la propriété indiquée ; mais ce que Ton dit d'un des fo jers , on peut 1^ dire de Tantre ; et d'ailleurs on peut tirer de (12) ,^ pour l'ellipse et pour Ïhf-L ^)erbole :

166 SECTtdNS COtlt^ITES! •

Ce qui donne , dans chacune de ces courbes , deux yaleurs pour x' =: /; parôe qu'alors la quantité / est considérée comme la distance du sommet à Tun des foyers quelconque.

De plus, dans l'ellipse, c* — c'* = CF* , (n^ 208), et dans ITijrpeibote, u» -j- c'^ =sCf (n^. 208); ainsi Ton a, pour la première et pour la seconde de ces courbes :

l=c^^CF, lâ^c±CF.

Ênsorté que tes deux foyers ont en effet la propriété indiquée ; mais cettô propriété n'appartient à aucun autre points

' Du reste , si dans Tellipse et l'hyperbole on Voulait compter les abscisses depuis le centre , la condlusion ne changerait pas , puisqu'il suffirait de mettre dans les formules a; + ^ à la place de x , s'il s'agissait de l'ellipse , et x — c s'il s'agissait de l'hypeAole (n^ 209).

214. Puisque dans la parabole /t== 1 , on à, par le n^. 213 ,.«••... fM= x + l = JP + AT' = TP. Donc si par le point T , où la droite T^LG' rencontre Taxe des x, on mène l'indéfinie ZZ^ parallèle à l'axe des y , puis Af 2 parallèle à l'axe des x » on aura IM = TP = AfÇ. D'où il résulte que chaque point de la courbe est à une même distance du foyet et de V indéfinie ZZ\ qu'on nomme la Directrice.

Cette propriété peut être exprimée d'une manière plus générale , et qui convienne à toutes les sections coniques. Menons par le point T', pour chacune des courbes , la Directrice ZZ % et la ligne M(l qui lui soit perpendiculaire ; comme on a toujours FM^NP^ et MQ^T'P ^ on aura

aussi •

FM VIP AL sînm

MQ^Tp'^ AT'^sin n^^

C'est-à-dire que les distances de chaque point de la cOurhe au premiet foyer et à la directrice sont dans un rapport constant et égal à h.

Et comme dans la parabole ft = 1 , on a FM = MQ ; tandis que dans TeU lipse FM < MQy et que dans l'hyperbole FM> MQ^

Dans le cercle, la U^ue T'J^^G' étant parallèle à Taxe des x (n?. ^U)^ la directrice est infipiweot éloignée ; et l'on a :

FMiMQ.ii:^, d'où ^ = o;

CFîïT CFoc

VOTEBS, BÂTONS VSCTStfRS, ORDONNÉES. 167

comme cela doit être , car dans ce cas m = o , ^in m = o et A = o.

216, Puisque dans Tellipse ft = 1 ((7) rf. 203), et que , ,

/ = c + CF (n*, 213), on a, pw le même numéro : "

CFx ^ CFx . ^^

d'où Ton tire , par addition :

F'M+FM^2c.

Puisque dans Phyperbole A = 1 + - ((7) n^ 203), et que ,,.,...%

l ;sp -^ c ±: CF (n', 213 ), on a, par le même numéro ;

CFx . ..v ^.-. /CFj?

f nsortç que la grandeur 4e F'J^^ q^^ est indépendante de son sîjgne gé^*

Bérftl "^ , est — — + <? + Cf ; retranchant celle de FM^ on a ;

Or comme on appelle rayons vecteurs les distances d'un point de Tune de ces courbes aux deux foyers, on voit que le premier axe est égal à

la somme des rayons v^teurs 4ans V ellipse , et 4 hur différence dans

fhyperbole.

L'une ou Tautre de ces propositions peut s'appliquer à la parabole , parce qu'un de ses foyers étstnt inâniment éloigné , ( n*^. 203 ) , un de. ses rayons Tecteurs est infiniment grand ; ensorte qu'en y ajoutant ou en en retran^ chant l'autre rayon vecteur fini , on a une somme ou \me différence qui est toujours infiniment grande et comparable à Taxe, ^

Ên^n le cercle étant une ellipse dont les foyers sont réunis au centre (n^ 2IO9 il <^^t clair que la somme de deux rayom yecteurs, dans çettQ courbe , est égale à Taxe ou au diamètre. Cette propriété revient à la pro^i priété principale 4u Cercle d'avoir tous se9^ points à we même distance d\l centre.

Si Vorigine était au centre de Tellipse et de Fhyperbole , il faudrait écrira dans les équations précédentes a? ± c à la place de x (n*^*. 209- 2130» ^1

Ton ftvrait , à part le signe générât de F^M ( qui est en— dan» rhjrpçybok ) »

168 SECTIONS coniques:

CFx „,,^ «. CFx

FM=-^±c, F'M^cT ;

le signe d'en haut étant pour Tellipse et celui d*en bas pour l'hyperbole ce qui conduirait aux mêmes résultats.