Puisqu'on a généralement

j,*=pa:T^, y'^^px'T^. etc.;

bu , ce qtu revient au même :

2cy^=i2cpx^pa^f 2c f/^ =: 2c pxf ^ pa/* ^ etc.;

on a aussi : ^

y^ i i2c'=f x) X :: p : 2c j y'* : (2c T a?'> x' ::p : 2c, etc. ,

y» : y'* : : (2c T «) a: : (2c 4^ «') ^% etc.

Traduisons cela pour TeUipse et l'h/perbole , et nous dirons que U carré de cJiaque ordonnée au premier cuce est au rectangle des segmens cor^ re^pondatis (n*. 113), comme le paramètre est au premier axe; et que les carrés des ordonnées au premier axe sont entr'eux comme les rec* tangles des segmens correspondans.

Dans la parabole , ces proj)ortions deviennent :

y^:lx::p:^, y'^ :lx' ::p :^, etCr>

y:y*::5^-è^S etc.; ou , ce qui revient au même ,

y :x::p: l , y*:x'::p:i^ etc.,

y^ :y* :: X : x' f etc.

Cela résulte pW simplement encore de Téquatiôn y* t=ipx.

On peut donc dire que dans la parabole le carré de chaque ordonnée à Taxe est à t abscisse correspondante , comme le par omettre est à funitéi et que les carrés des ordonnées sont entr'eux comme les abscisses corres^ pondantes*

Dans le cercle le paranlètre, ou la double ordonnée qui passe paille foyer , est égal au diamètre ou à Taxe ; ainsi le carré de chaque ordonnée est au rectangle des segmens correspondans comme Taxe est à Taxet c'^if-

à-dire

"tbYE^ij RAYONS tECTÎEtJhS, OUDONNÉES. 169

À-cErc'^qrie le carré dt l'ordonnée «t ^gat "au lectangle des scgitiens correspondans, ou que la peï'pendiCûlaîre ababsëe sur le diamètre est moyenne proportionnelle entre les deux segraert». On peut aussi dire que les carrés des ordenirées sont entr'eux eomifte les rectangles des segmens correspon*^ <dans.

517^ On a encore dans ÏVliipse et l'hyperbole :

y = -f <2cx + a?*). y* =s -— (2cJt' Hh x'^)p etc.

Donc :

y : ('2(ïTx)a?t:c'* :c*, y^ (2c ^x*) x' :: <?'* : c*, etc.

y i/* ::(2cH:^a:)x : (2cHhx')x\ etc.

"C'est-à-dire qiiè le carre de chaque ordonnée au premier axe est au Rectangle dès segmens corrtspùndam , comme le carré de la moitié du second ojce est au carré de la moitié du premier ; et la seconde analogie ûu numéro précédent.

Les équations au centre donneraient les ttiètnês résultats , parce que . .

^* —X* i±Cc? + 4:) iC — x)^ et que x^ — c* == (a: + c) (x — c).

218. Si on voulait prendre, dans ces deux courbes, le second axe pour ôelttî des x et le premier pour celui des y , il suffirait de changer dans les équations au centre a: en j^ et ^ en x , et Ton aurait pour réllîpse :

a:*=î:~(c^— y), d'où l'on tirerait y = — (c'^—^»}.

On aurait pour Th/perbole t

a* = (y — c* ) , d'où l'on tirerait y^=-^ix^ + c'* ) J équatioft que Ton pourrait encore écrire ainsi x

f = -z [ (X + c') ix -^ c') +2c'^].

Et si on voulait ensuite transporter l'origine à lextrémité du second axe > oïl mettrait x -^ c' à la place de x dans ces équations ; ce qui dojfinerait^ pour l'ellipse et pour Thyperboie :

170 SECTIONS CONIfilTKS: .

Ensorte que l*. le carré de chaque ordonnée au second axe de TelBpse est au rectangle des segmens correspondans , comme le carré de la moitié du premier axe est au carré de la moitié du second ; et les carrés des ordonnées au second axe sont entr'eux comme les rectangles des seg^ mens correspondons,

2^ Le carré de chaque ordonnée. €(u second àxé de r hyperbole est au rectangle des segmens correspondans augmenté de deux/bis le carré de la moitié du second axe y comme le carré de la moitié du premier axe est au carré de la moitié du second ; et les carrés des ordonnées au second axe sont entr*eux comme les rectangles des segmens correspond dans augmentés chacun de deux/bis le carré de la moitié du second axe.

On voit que ces propriétés sont le^ mêmes pour les deux axes de Vellïpne y mais qu elles ne sont psis les mêmes pour les deux axes de Thyperbole (n^ 217).

219* Les équations au second axe, que nous Tenons de trouver, outre celles au premier axe , que nous connaissions déjà , nous permettront une comparaison assez remarquable entre l'ellipse et le cercle, de même qu'enti'e l'hyperbole ordinaire et l'hjperbole équilatère.

1^ L'équation de l'ellipse au centre et aux axes, en prenant le grand axe pour celui des x , est ;

et celle d'un cercle décrit sur ce grand axe pour diamètre , en appelant l'ordonnée Y y est

Les ordonnées de ces deux courbes répondant aux mêmes abscisses, mn ront donc entr'elles ce rapport :

et chaque ordonnée de l'ellipse sera par conséquent plus petite que l'ordonnée correspondante du cercle , dans le rapport du petit axe au grand, £n faisant la comparaison de la même ellipse avec im cercle décrit sur «on petit axe; pour diamètre , et cela au moyen de l'équation, du numéro précédent, on trouvera y \Y::c\ç^ ; c'çst-à*dire que chaque ordonnée

ÏOYERS, BATONS VECTEtTHS, ORDONNÉES, CtC. 171

ftu petit axe de l'ellipse sera plus grande que rordonnée correspondante du cercle, dans lé rapport du grand axe au petit.

L'ellipse sera donc intérieure au premier cercle et extérieure au second. D'où il résulte que le premier axe de cette courbe est le plus grand de ses diamètres , et que le second axe en est le plus petit

2^. En comparant de même une hypeitole ordinaire . avec . deux hyperboles équilatères , l'une ayant ses axe» égaw* au premier axe de Ihyperbole ordinaire , et l'autre au second , on trouverait aussi , pour l'un et l'autre de

ceft cas:

Mais ici c' n'est pas décidément plu» petit que e; il peut aussi être plus grand ( n^ 206 ;.