CHAPITRE
. frcpriétés:des:S^(mtis.> des tangentes y des normales ^ et des cordes.
^pl^mfiiiiaires*.
i20. JVXatntenawt pour parler dtes sécÉUites. et de» tangentes , et pour généraliser Tidëe de ces lignes , nous dirons qu'une sécante est une ligne droite qui coupe une courbe en. dtupo çu^ plusieurs^ parties f et qvt'imè lan^ gente est une droite que ton peut considérer comme ayant, été sécante^ d^une courbe y et qui a changé de position de belle sorte que deux points d intersection se sont rfyius en un seul y par le mouvement supposé de cette droite.
Il est clair d'ailleurs que par la nature d'une courbe , une même droite peut la toucher dans un ou plusieurs points ^ et la coupei: dans d'autres*.
221. Cela posé ^ concevons quune droite passe par un point ( »y /8), prisv dans le plan d une section conique ^ et qu'elle rencontre la courbe > puis cherchons à déterminer les- ^iMïkMmées^. « ^ > ^ des. points communs.
Pcenons d'abord^ pour la com'be^ l'équation (9) du uT. 203, et faisons,,
jour abréger ^ ^:r- =^^> ^^^ amrons:;
Zc
jf*=/>a:-lrte*;
combinant albrs^ cette é^patîon atvec celle die la cbroite ^ c'iest-à^lire av^c^
celle-ci :.
y — SI a (x — «);:.
et raisonnant comme on l^a £ait pour lie cercle wn nf. 171 ,. nous< obtimr^ dbcons :
Sur quoi: FbA observera que les abscisses sont ici comptées depuis le M>mt> met,, tandis qu'au n^ t71^ où il s'agissait du cercle^ nous, les avons* compr. léès depuis le centre.. C'est qu'alojs nous cherchions à simpIiiSeï: > et quaç-
SECTIONS CONrQUESr SÉCANTETS, TANG., etC. 173
lettement nous voulons des formules applicables aux trois courbes ; w la arabole n'a point de centre y ou son centre est mfimment éloigné. Gonluons des équations (1) et (2> qu'une droite rencontre en général une action conique en deux points (vojez le n". 171); reste à rechercher il serait possible qu'elle ii'eùt quelquefois qu'un, seul point de commun avec courbe.
222. Exwiinons d'abord ^i l'équation (2) peut être abaissée au premier gré , c'est-à-dire «i Ton peut avoii* cj* — < = o , ou ce qui revient ai}, iixie;
©r cela n*est possible , ni pour rellipse, ni pour le cercle, parce que a,^ avec le signe -^ sous le radical , comme il le faut ici » serait imaginaire^ Ainsi la sécante de ces courbes les rencontre toujours en deux. |pom.t&
QfiBXït à 1a parabole» comme eHe donne ^-^ == o, à cause ile 2^= £, on
^ , dans notre h^othèse actuelle , a = v^Q = q ;. d'où il résulte que la sécaptç parallèle à l'axe des x ne rencontre la courbe qu'en un seul point ;. cç qui çst d'accord avec tout ce que noua savons de la, parabole*. Enfin prenaïut pour l'hyperboFe le signe + ^ous Iç radical , çomn»e cplu
^oit être, on a a*=:;:^ =^ —i parce quep.=? — (n*. 2^): donc . .:
& «==:—. Ainsi quand b droite <{Bi pa^ee p^ le. point ( « 9^ ^ > fait avec l'asQ:
des X un angle q^i doiuje o^ =3= — 1. elle et^t sécaAtje et cependant cl)ie ne>
rencontre la. courbe qu'en vfa sçut point.
223. Voyons encore si l'équation (3) ^ en. resttmt; dn second, dçg^ ^ n^ pourrait pas avoir pour x deux valem'S égales ; ce qui réunirait les deuj^ points d'intersection de la sétante pour en faire une tâhgentQ (^nf , 33P^ Cela, aurait lieit si, ^rès. avcir écrié ainsi l'équatàoB
,:? — ^.^t -'' ^^"^irzrr =^-;-(^^
174 ^«p.Tffl»* coNcftass:
on aiv^t (»'. 173):
• t Or on tii'e facilement ^<Je là :
équation ^ul étant résolue donne :
Maïs si le point («, ^), est sur la courbe, on a, i^^pcc + t»*^ d'où il résulte que s'il est dans rinténeUr on h. fi* <^ pec+ <*% et que s'il est, extérieiy, on a *^ >/><*+'{«*i Dans le premier cas le radical se détruit, çt Ton a une tangente possibliç; daiis le second, là valeur de A est Jmigtginaire , et il n'y a point de tangente possible ; enfin dans le troisième , il y â de\ix valeurs de Af et par cconéquent deux tangentes Cl-
224. Cherchons donc 4. présent l'équation de la tangente ; il suflSt pour ravoir de mettre la valeur de A dai^s la formulé y — =: ^ (a: -^ »y\ Mais, pour abréger, contentpns-hous de calculer cette équation pour le c{Ls où le point ( « , ^ ) est sur la courbe , et où Ton a ** 5= p» 4- t»\
On trouve d'abord : '
ce qui donne ensuite potir Inéquation de la tangente :
N. B. Pour calculer la seconde forme, on 21 piultiplié par /8, o^ a subs-^ titué la valeur de fi^^ et Ton a réduit*
mm
(*) Four conclure de (mU« S^oihliuèUe.dftlajiraRitèreAou ànkV^.VT^s il £Mit observer que dans le cercle i>=:2r, c'=^r . ^==— -^=:~1^
Et si de ojalteJà ou voulais rciçonter à ta formate ^4} du même numéro, il faudrait écrira m + ^ à lâ place de «» ^
SÉCTANTfil) TANCrBïlTflS, etc, ^175
Il nq f»ut pat ,oublier que ckti^s ces équations . les abscisses ^.adnt comptées le long du premier axe , depuis le sommet. D'ailleurs elles sont générales pour lea trois sectioiM coniques et pour le cercle..
22$. Vovijpns-nûus par^ex^exnpk 1 équation de la tangente à la patrabole^
nous îététi» daiW (6)'f «^ qi--- = o ( n°^ 221. 222 ) , et nous aurons :
In * y-~»zsziL (a:^.), »yz=\p(^x + *) .... (7).
Voulons-nous l'équation de la tangente à l'ellipse et à Thjpefboie , nous
ferons dana (6) < = 4- ~ , et nous trçuYeron$:
JuC
Il y aurait d'autres formes encore à dorniet à Téquation de la tangente à l'ellipse et à Phyperbole, même en coniptant toujours les abscisses depuis }e sommet ; nous allons simplement noter ici les différentes vajiidun ^^ 4 Qui conviennent à cç cas ; , , ' ^ :
Avec le parofnètre et le premier axe ;
La première forme est celle que nous avons déjà vue ; on en tire facile^i m^nt la seconde, . .
Jlvec les deux axes :
lL,a première forme se conclut de (9. 2*), en se souvenant cpe l> =:-
( n"*. 207); la seconde se conclut de la première , en prenant la valeur çt§
m- dans Téquatlon 0^ ssfHi'^ — , faisant toujours p =; ^ — ?, substituât et
réduisant,
Enfin, comme dans le cercle jo == 2e = 2r , et que *=:•-- 1 (n^ $2d ^ note), on tirera^ ou de (6), ou de (8) avec lesignç d'en hant, les ^a^ tloAs suivantes de la tangente »u cerclç \
176 SECTï<>'HS CONIftUES:
226. Pour avoir léquation de la tangente à i'eHipae et à l'hyperbole , eft comptant les abscUse» dqpui* le centiç j on pourrait mettre dan» («) à±^ c et « + c à la place de «^«t de « , ^t de plus, «i pî» voulait leç deux axes,
^ à la place de p ; on trouverait , apf è« le» réducUon» i
On pourrait aussi commencer par calculer les valeurs de A relatives à ce cas, et les substituer dans réquation y ^ » ±:= À Cà: -^^)\ iùm'H faudrait alors se souvenii' que c* ô* = ± C- ( c» — «* ) ( n\ 209 ) ; d'où il résulte qua ^iB» ï^ d: I /^ (^* "" ** )' ^^ valeurs de A sont >
pour le centre et lé param. pour le centré et les axes :
.La première se tire de (9. 2^), eH mettant « 4- c à la place de «; et là Beconde de (10. l'.), de la même manière.
Enfin pour le cercle , oa mettrait dans ( 1 i ) * + r el a: + r à la p}ace de it et de X , ou simplement -on ferait dans (12) c s= c' = | p = r , en prenant ie signe d'en haut, et Ton trouvei-ait, comme au n*. 173 :
ï)*aîïleurs on voit, par (13) et (1^), que la valeur de A qui convienl îcî est pi'écisément la formule <S} du n*. 172; tandis que pour le sommet on trouverait par (11) (n*, 226), une tout autre valeur. C'est-à-dire qu'on a:
pour te centre ^Atsz^^^^ pour le sommet , A
227. Dû testé, en ôonsîdérànt les valeurs de À qui conviennent à Tetlipse, à rhjperbole j et si Ion veut au êercle, îl est facile de voir que les tangentes menées aux deux extrémités d un même diamètre sont parallèles^ Car si âe ces extrémités ton abaisse des ordomiées au premier axe , on aui deux triangles rectangles égaux, ensorte que les coordonnées d'un des points de CQtliact seront égâl<*s ' fchaàurië à chacûile aux coordonnées de l'autre ^QVQk de CQtttaot; mais olléa aârôût'des feignes contraires. Or la quanllté A
îie
M change poiût> ni dans (13)^ ni dans (14)^ quand çn y change simple*; ment les signes de. « et de /s ; et elle ne change point non plus dans (10. 2^) ^uand on y éhange le signe de 4.
Si on voulait obtenir le même résultat pat (9) et (iO. l^.)) il faudrait changer le signe de «, et mettre ± <2c ^h •) i^ la place de «> parce que les abscisses sont comptées du sommet.
228. Nous venons de voir l'équation de la tangente , elle nous servira à t:alculer la valeur de la soustangente (n*. 1 75) ^ ou la longueur de la ligne TP »
fig. 72) 73 , 74. Il est évident qu'on a pour les trois courbes
TFsssAT'^^P^xjiT'i- K Ot AT Tittt autre chose que l'abscisse du |>oint où la tangente rencontre l'axe des x \ faisant donc dans (6> > £â o i oa obtiendra x oil
jy 1/»^
