AL S
ÏP + <»
quantité qu'il faut pfeiidre èù plus, parce qu'il ne s'agit point ici de sa direction, opposée à ceUe de AP ou de ^. On aura donc^ après les réduo^ itions : * .
Soustang. déne^alé =^- — ; = ^— .... (15).
229w Voulons-notts , pat exemple > la soustangente de la parabdle? nous ferons t^= o^ et neus aurons c
Somtang. parab. = 2«t.
Voulons-nous celle de l'ellipse et de l'hyperbole? nous ferons tssz^—.^ et nous trouverons, après les réductions :
C dlipse } 2c* ip A* ^^^.
{ hyperb. ) c -h- «
Or de cette équation on peut tirer ces proportions t
2c ^ 2« : 2c Hh •» : : 2* : sausian^^
3Et comme avec le wgne d'en haut le second teraw de là seconde proportion est plus grand que le premier, et quti est plus petit avec le signe d'en
178 ^ sscTxoKS caKiQUEs:
bas, le qiiatirième est aussi plus grand que le troisième dans le premier cas , et plus petit dans le second cas.
De tout cela il résulte que la sausiangenle dans la parabole est égale au double de F abscisse du point de contact ; qu'elle est plus grande dans T ellipse , et plus petite dans t hyperbole.
Quant au cercle , en faisant dans (lâ> p =s 2r et i =c -*-< i , on a ;
souskmg. cercle =^ — > — '■ — ^ =; * • . . (17X
230. ' Si on voulait la râleur de la soustangente dans Tellipse et Thyper^ bole , en comptant les abscisses depuis le centre , il: faudrait mettre dans (16) ;i; (c — «<) à la place de «, on trouverait, après les réducjtions ;
( ellipse > c» ^ «*
s0ustangA , , J =-4> ■ " ■■■ ^ ■■ ,.,, (18), ( hyperb. > ^ »
Enfin pour le cercle, on mettrait dans (17) r -^ « à la place de », ou simplement on ferait dans ( 1&) avec le signe d'en haut c=3 r , et Toq trou* yerait, comme au v!". 176 ,
sQustcmg. cercle =5 — =
231. Quant à la grandeur de la tangente même, considérée comme une ligne finie TM^ il est ^évident, par les figures, qu'on a ;
TM = Y /8* + soustang.*
Nous ne nous arrêterons pas à faire ces calculs ; nous avons vu le cas par^ ticulier du cercle au n^ 175 , les abscisses étant comptées du centre.
232. Cherchons maintenant Téquation de la normale MN (n*". 176). Elle
doit être de la forme y — . « ac-^ ^ (*—•); mais ici^= ^^ ■ '^ . (n*. i79 > ^ ainsi nous aiurons :
ip-i- 1»
Or dans la parabole ^ = o, ce qui donne :
SiCANTES, TANGSWYSS, etc. 179
Dans rellipse et Thyperbole t=:^^f d'où U résulte :
Dans le cercle |;i = r et i== — 1 , on a donc :
233. Si on routait l'équation de la normale dans Tellipse et Thyperbole , en employant les axes et comptant les abscisses depuis le centre , il fau*
drait mettre dans (21) • ifc c et a? Hh c à la place de • et de a;, et — à la
place de I ;i, on trouverait après les réductions :
Enfin pour le cercle , on mettrait dans (22) « + reta? + /'àla place de « et de a; , ou simplement on ferait dans (23) c = c' =: /* , avec le signe d'en haut| et l'on trouverait, comme au n*. 176:
y — fl = - (ar — cf).
234 Pour avoir la valeur de la sousnormàle NP (n*. 178) , îl faut prcn* dre la valeur de l'abscisse NA qui répond à y = o dans l'équation de la ^ normale , et en retrancher ensuite j4P =: « ou l'abscisse du point de contact. Faisant donc y = o dans (16) , on trouvera y = 5/> + '« + *> tt retranchant « , on aura :
Sousnormàle générale = | j» + <« .... (24).
Ënsorte que pour la parabole ,
. Soiisn. parab., = î P • • • • (25) ;
pour Tellipse et Thyperbole,
( ellipse ) ■ ptt , , c 4^ « V c'* ^ ^^ ^ ^ ^
i80 iierzONS coKifti^i»:
pour le cercle,
Sonsn. cercle = r — » . . ^ * (27)«
Ainsi dans la parabole la sousnarmale est légale au demi - p^irOhtètre } elle est plus petite dans Vellipse et plus grande dans ThyperhoU.
235^ En comptant le& abscisses depuis le centre , on mettxait ^;; ( ^ ~ * ) à la place de « dans (26) et l'on obtiendrait :
• ( ellipse \ c'*
*'^"- 1 %«rt. j = ? <»>'
fl'où . . 1 sousn. cercle = » . * . (n*. 177 X
236. Quant à la grandeur de la noormale même > considérée comme luio ligne JSnie > il est évident qu*on a ;
Normale =3 yW^ÇsoûsnF
Pans le. cercle cette ligne est tonjcwxrs égale au rayon (n^ 178)* 237. llecherd).ons maintenant les propriétés des tangentes aux sectionft.
comques ; par exemple quelle incliniûson elles ont avec l'axe des x y suivant
)a position du point de contact.
Cette Inclinaison est doimée par la formule (&) (n?« 224) ^
maïs comme en fidsant varier « et iS on ferait varier en méiae %&m h wn^ mérateur et le dénominateur de cette fraction , et qu'on ne jugèrent pa»^ facilement des valeura relatives de A y prenons une forme plus avantage^uK^ pour ce cas y et examinons d['abord la parabole^ —
On a pour cette courbe > pajrce que t^Oy
^r nous savons que dans la parabole plus » augmente plus f augmente iihèû^ et cela à rinfini ; et l'on voit ici que si fi augmente A diminue : ainsi , à partir du sommet, où â ^ o, on il = |, et où l'angle de ta tangente «st droit , cet angle va en dinûnnant sans cesse , et il ne devient jamais nul ; ou la tangente ne devient januds parallèle à l'axe des x y car il &udraU
pour cela qu'on eût « ss |. £n mime tes»2 cçmme on le voit par U for-^
siCANTXS, TANGINTS8, etC. 181
mille ^r^^-^ •(n^ 228 ), le point 7 où la tangente rencontre Taxe des x ¥a en s'écartant indéfiniment du sommet de la courbe ^ en sens contraire du pied de Tordonnée ou de l'extrémité de « , et d'une quantité toujours
égale à ««
238^ Pour escaminer de la même mamère la marche de. la tangente dans. retlÎDse et riiVDerbole. oartons de la fonnule (10)»
c ^ et
et mettons la râleur de AT^ trouvée au n*". 228 , soua la forme smrwte ;
•Wft
Cela posé, puisque dans TeUipse 6 ne peut jamais surpasser c'V ^ yateui^ âe A sera toujours régUe pom- toutes les valeurs possibles de B.\ or noua aavons que R augmente avec « tant qu'on a « < c ; ainsi à partir du sommet, où ^ = G, où Ton a donc -/f= §> et où Tangle de la tangente e^jt par conséquent, droit , cet angle va en diminuant à mesure que «t. et fi augmentent En même tems le point T s'écarte indéfiniment du sommet A^ en sens contraire du pied de l'ordonnée , et avec un mouvement très-^ra-. pide , puisque quand * = c^ on a AT = — ig. Dans ce moment l'ordonnéQ § étant devenue celle du centre est égale à c' ; on a donc 4 ^i?? o ^ et la tangente est parallèle à Taxe des Xn
Depuis ce point, à mesure que » augmente , B comme on le sait redk «ninue, et par conséquent A augmente, ou la tangente s'incline de nouveaii vers Taxe des x , en faisant un angle qta devient de plus en plus grand. M^s le point 7*, qui s'était éloigné à Tinfini du sommet A vers la gauche ^ retient de Tinfinî du c6té de la droite, et se rapprodie promptement du commet B; comme on le voit dans la valeur de AT y qui devient -ir ^u'on 4 « > c , et qui peut alors s'écrire ainsi ;.
-rfr=+
JLiOnqu'enfin « s 2c, consne alors i0 :±^o, on a .^ ssi, AT^^û^ et la taik
l^cQte est é» nffm^v». perpeodkttlMire à Xvs»^ 9 m ««conti sommet 4a Uk courba
182 SEcrtûVÉ coifiqvÈs: --
Les mêmes résultats ont lîèupour le cercle. •
239. Reprenant ces formules avec le signe d'en bas peur lîiyperbote , et remarquant que dans cette cburbe « et ^ augmentent an même tems et cela à l'infini , nous verrons qu'à partir du sommet A^ où S:=^ o ^ où Ton a donc il = § , et où l'angte de la tangente est par cqnséquent droit , cet angle va en diminuant à mesure que « et au;gment}ent Mais il y a ici quelque çho«e de bien remarquable , c'est qu'en faisant ^==59 valeur que cette ordonnée
ne peut jamais atteindre , on a ^ = -^; ce qut désigne un angle, que nous
avons déjà vu au n^. 222 ^ et qui est propre à toute sécante - qui ne rencontre la courbe qu'en un point. L'angle de la tangente est donc toujours plus grand que celui-là. £n même tems le point T s'écarte continuellement du sommet A , en marchant lentenient vers la gauche , pendant que « se prolonge rapidement vers la droite, car si l'on fait «=1, valeur que f abscisse ne peut atteindre , on a jiT î^ — c. Ainsi le point T n'arrive jamaïs au centre ; c*est la limite de tout son taouvement. Et il est clair que Ce que nous venons de dire de la courbe à droite s'applique aussi à la courbe à gauche. .
2-40. Si l'on mène donc par le centre ûné droite indéfinie , qui fasse aveô
^ c' l'axe dea x un angle tel que Ton ait J es -^ , cette droite sera la limite de
toutes les tangentes , et sera . en même tetns parallèle à toutes les sécantes qui ne rencontrent la courbe qu'en un point ; elle sera située au milieu de toutes ces sécantes , dont les unes rencontrent en un point la courbe d'un côté de cette droite et les autres de l'autre. Cette singulière ligne, qui est tangente des deux courbes à une distance infiniment grande , ou plutôt dont les branches des deux courbes is'approchent sans cesse sans jamais l'atteindre , «'appelle F asymptote. Et comme on peut en mener deux , CJi , CS , tfg. 74 , qui se croisent au centre » et qui comprennent entr'elle% les deux 'h/per« boles ) otk les noiQme les asymptotes. Leurs équations sont , quand i'ori^
giue est au centre, y = H x^ y^n*^ — x, •
L'asymptote est aussi un diamètre particulier , que nous avons considéré au n^ 205; car si dans la formulé de ce numéro, on fait 2c a* =2 p y on a,
pour le cas de l'hyperbole, )t :=: { ; (}c2ca^ :=p donne a^ — .
On pourrait donc ^dii^e que l'asymptote est un diamètre dont la courbe
SÉCANTES, TANGENTES^ etc. IM
s'approche indéfiniment san^ jamais le rencontrer ; qui est parallèle à toutes les sécantes qui n'ont qu'un point de commun avec l'hyperbole , étant situé au miliett d'elles ; et qui est la limite de toutes les tangentes placées dans les deux angles des axes où il s*étend.
Dans Fhyperbole équilatère , comme c' = c , on a a = 1 et l'angle que l'asymptote fiût arec chacun des axes est de 60^. Les deux asymptotes sont donc alors perpendiculaires entr'elles,
241. Ne quittons point encore h formule du n\ 228, quideviçnt,
pour la parab. pour VelL et Thyperh.
Elle rtous fait voir que dans les trois courbes , la distance du sommet aii point T est indépendante du pa,ramètre , puisque la lettre p a disparu dQ la formule.
Ainsi donc , si plusieurs paraboles ont le même sommet , et des foyer^ iîifférens , ce qui leur donne plus ou moins de largeur > les tangentes qu'oij mènera à ces différentes courbes , et qui auront leurs points de çonti^çt sujp le prolongement d'une même ordonnée , auront le même pied. Et si plusieurs ellipses ou plusieurs hyperboles ^nt le même premier axe fi}(e et les même^ commets , avec des paramètres différens ^ et j^ar conséquent des foyers diA férens et des seconds axes différens , toutes les tangentes à ces courbes qu) auront leurs points de contact sur le prolongement d'une même ordonné^ répondant, à une mçme abscisse 9», auront le jnème pied T.
242. Recherchons aussi quelle est l'inclinaison de la tangente sur les rayons vecteurs menés au point de contact , ou quels sont les angles qu'elle fait avec eux.
Puisque la parabole est une ellipse ou une hyperbole dont le premier axe est infini (n^ 203), dont le second foyer est infiniment éloigné (n^ 216), et dont par conséquent un des rayons vecteurs est parallèle à l'axe ^ faisonç( simplement notre calcul pour le cas de l'ellipse et de l'hyperbole ; nous l'ap» pliquei^ns facilement à la parabole » ^t si nous voulons au cercle (n*'. ?}^)f Supposons y pour rendre le calcul plus simple , que l'origine soit 2^\x cen^ tre , fig. 75 , 76 ^ et nommons g la distance de ce point à l'un des fpyçrs* I) est évident d'abord qu'pn aura g^* = c* T c'* ( n^. 208 ). D'ailleurs puisque FAfy passe par le point AT ( « ,, /> ) , son équation sera de la fprme ^
i84 SEeTIOVI OONIQ0ES: ^
et comme /*il/ passe aussi par le point F ig^ o), en mettant cea valeUri dans Téquatîon , à la place de a; et de y ^ on en tirera :
g—àt
D'un autre côté, la valeur de A qui convient à la tangente » dans le eaa actuel» étant [ (14) n"". 226 ]>
e la tanficente trigonométriqûe de l'anstle FAft
â pour expression y en faisant jS =: 1 ,
i + aA
Substituant le* valeurs ci-dessus , mettant gr* à la J)laee dé c* 4^ c'* , et • . e* c'* — c'* •* à la place de ifc c* tf , comme te demande la formule ( 12) dtt B^. 226 , on aura :
tang.FMT=^--.
Maintenant Téquation de F^M sera de la forme t
et comme cette ligne passe par le point F' i-^g^ o)^ on au^a i.
et toujours , pour la tangente à la courbe ^
!■ !■ ■ * ir I I- 1 "i • M • ' n
t*) Je mets au numérateur pour les deux coùi'bes ^•— a, afin de prendre MTy qui est la tangente , comme la ligne à laquelle on rapporte les angles ^ ou ^mme la ligne comparable à la première droite de la fig. 48 , sut laquelle lea ^inus et les tangentes trîgonométriques des angles en question sont perpeudi^ Cttlaires. Je ferai de n^tat pour l'avgte F' AIT*
Ënaorte
»i<5AiîtÊâ, ïAHtfïKTts^ etc. IS5
•ïiifiorte qùé la tafigeiîte trigonométriqve de F'MT.'^wct pour expression, en faisant aussi R=x i^
. A -^ ci
1 + ci a:
-iSubstituaût , mettait gr* ^ la place de <?» ^ c'*, et e»c** — p** «• à la plaoe
de -fc c* (8* , on obtiendra :
On voit donc que les angles fonnés par la tangente à la courbe et les td^yom yecteur», ont l'un et l'autre la même tangente trigonométrique , mais avec des signes contraires; ainsi donc, ou ils valent ensemble deux angles droits , ou ils sont égaux , suivant qu'ils sont placés d'un même côté de la tangente à la courbe , ou qu'ils sont placés de part et d'autre de cette ligne. Le premier cas a lieu pour l'ellipse > et le second pour l'hyperbole^ t^omme cela est évident par tout Ce que nous avons dit de la position dp la tangente, aux n**..238 et 239.
Puisque dans l'ellipse ^ fig. 75 ^ FMT est supplément de F'MT^ qui a d'ailieurs aussi pour supplément F'MG, on a, FMT^F^MG. Mais comme en général ces deux angles laissent un espace entr'eux , à causé de la distance des deux foyers , ils sont dans ce cas-ïà aigus , et la normale tombant entre les deux rajons vecteurt donne FMN = F''MN.
Puisque dans l'hyperbole , fig. 76, FMT=i F^MT^ en prolongeant vers jyie rayon vecteur F'M^ on aura FMT ^ HMG. El comme ces deux am gles laissent aussi en général un espace entr'eux, et sont alors aigus, la normale tombe entre un des rayons vecteurs et le prolongement de l'autre , et elle donne FMN = HMN.
En appliquant cela à la parabole ^ on voit. que l'angle formé par la tangente et le rayon vecteur , est égal à celui qui serait formé par la tangente et une droite menée depuis le point de contact parallèlement à l'axe > la^
^ O Dans tous les calculs relatifs à relllpse et à rh^perbde , quand l'origine est au centre , on peut se contenter d'opérer pour la premi ère co urbe , et les résultats se traduisent pour la seconde en changeant c' en e'v/ — i (n*. 209); on pourri si Von veut faire usage de ce principe dans tout te qui va suivre." " * "^
Âa
i96 MCTfOllS CONIÇVIS:
queUe droite pourrait être comi4ir^ oomine ét^nt^ eu 1q «Monil njùo yccteur , ou ton prolongement.
En l'appliquant au cerde , on retrouvQ la propriété de la tangente d'être perpendiculaire au rajon.
Réciproquement si ces propriétés ont Heu dans Tes courbes dont noH^ Tenons de parler, les lignes, qui lesdonnept spni tune la tangente et Tanire ]a normale..
Donc si d*un foyer d'une section conique ,. i) part âe& rayons tuimneuit X)u sonores , ils sont réfléchis yers Tautre foyer , ou dans le prolongement de cette direction. Ou verra facilement comment cette loi doit 9e n^odifier pour les différentes courbes^
243. On aurait pu recljerçher tout de suite , pour Tellipse , tes angfes fbimés par les rayons vecteurs et la normale , et pour Thyperbole, comme noiM, Tavonj» fait , les angles formés par les rayons vecteurs et la tangente ; eten Us amrait trouvés imuiédiatement égaux. Mais alors ït aurait été bon de faire voir d'avance que la uorniale est placée entre tes rayons vecteurs dana^ Vellipse , et hors de ces rayons dans lliyperbote.,
Çherchaujt pour cçla la valeur de CN^ fig. 75 , 76 , ou de Tabscisse qni dans^. la normale répond à Tordpnnée nulle, quand l'originf e^ aju. çentrçv ^ suirait pri$ féqualtion de cette ligne ( xf. 233 ) ^
et faisait jf =^ 0$ t^ aurait d^abord trouva.
^oA Von «lirait coaçh» ::
» ou CN=t g. — i.
Vlésuhat qur prouve phisfeurs choses r
. 1*.. CN n'est auï que qwapd « e^t. nur^ excepta pour fe cerçte,, oij ^ l^ même est z^ko ; ainsi le pied de la nonnaje n'aboutit au centre que quanc£* Iç poÎRt de contact est sur Paxe des y; ce qui du irestç ne peut* a^vgir l^g^ dans l'hyperbole..
^^ CK n est eu — que quand » est en — ..
SÉCANTES, TANGENTES, etC. 197
fji tl r^ulte de ces deux observations que le pied de la normale est Textré"
ksité de «, et par conséquent le point M et la point N sont d'un même côté
;, de Taxe des y , celui-ci passant par le centre.
" â% Comme dans Tellipse ^ entre ses limites est toujours plus petit que c^
I de même que g , le facteur — est une fraction ; d'où il suit que CN. est une
ce
^ Êractlon de g ou de la distance du centre au foyer.
4^. C'est le contraire dans Thyperbole^ parce que, dans cette courbe ^ w et gr sont chacun plus grands que c.
^ C'est-à-dire que dans l'ellipse la normale est entre les rayons vecteurs^
'- et qu'elle est hors des rayons recteurs dans l'hjrperbole»
Cela posé , si Ton cherche poiir Tellipse les valeurs des tangentes trigo- ^ nomét^ques des acngles que font les rayons vecteurs avec la normale , on
* trouvera que ces valeurs sont égales et de signe cotttraîre , d'où Ton con-
clura que ces angles , situés de part et d'autre de la normale , sont égaux.
On trouvera le même résultat pour les angles formés par les rayons vec- "^ teurs de l'hyperbole avec la tangente qu'ils comprennent ; mais nous avons
déjà fait ce ealcuL
244. Nous venons d'examiner les propriétés des tangentes , et celles de* normales , qui sont des espèces de sécantes , il y a encore dans l'ellipse et l'hyperbole des sécantes assez remarquables , ce sont celles qui étant menées deux à deux des exti-émités d'un même axe ou d'un même diamètre aboutissant à là courbe , se rencontrent aussi sur la courbe ; ott les appelle cordes supplémentaires ; et elles méritent quelqu'attention.
Toute droite qui passe par le «ommet J5 (± 2c, o), fig. 77, 78, a pour équation y = a (a: ^^ 2c ).
Toute droite qui passe par le sommet ^ (0| o) a pour équation »...
y = dx.
Or on tçouve par l'élimmation que ces droites , quand elles se rencon* trent , ont pour coordonnées de leur point d'intersection :
2cd 2e aa'
. Cela posé pour que ces mêmes droites se réunissent star la courbé , il faut encore que l^ valeurs de leurs coordonnées communes s'accordent avec
l'équation i
ie6 8B«TS0KS coNi^qss:
JV. A Je prends cette équation , qui convient aux trois courbes , pour qn^ le cas de la parabole y soit compris^ quoiquil ny ait point de cordes sup-*^ plérnentaires proprement cStes dans cette courbe dont les axea et les dia?* mètres sont infinis..
Substit^ant ici les valeura de x et de ^ trouTées , on obtient cette é^uai^ tion de condition :
iw* < 2c. oa* +; jt^) a» o*
Elle servira à trouver un des a quand on aura prisTautre à volonté.
On peut y satisfaire, soit en faisant ctat = o> sjoit en posant •..«••. ^ «. Zc. aal j^/3t == Ç;. ce qui. revient à
S'il S:*ftgît de ta parabole, comme — = o> on n'a jamais que actr=: o j
ensorte qu une des cordes ayant une direction quelconque , il faut que Tanti-e soit couchée sur Taxe ou lui soit parallèle pour qu'elles puissent se rencon^ trer sur la courbe; et c'est ce qui était évident par soi-même.
Pour l;es deujL autres courbes , si. l'on fait ad! = o^ on exprime alors qu'une des cordes a^ mma^ se confond avec l'axe ( n^ 182} ; mais si l'on ùii ^
on exprime îa relation constante que doivent avoir les djreetfons êt% denjc cordes pour se rencontrer sur la courbe. Cette relation ne dépend que du paramètre et du premier axe ,. ou si Ton veut des deux axes.
Far un calcul inverse on prouverait que si la relatloi!^ indiquée a lieu entre les angles corresponcUns que forment deux dï*oites avec Taxe de» abscisses y ces di*oites sont des cordais suppîémentaires part^mt des extrémités du prs« mier axe c d'une ellipse ou d une l^^erbole y doiU le second axe e%t c'\
Le signe- -^ pour if ellipse provient de ce que Tun des angles étant aigu et ayant son cosinus en + Je correspondant est obtus et a son cpsinns en — ^ Four Thyperbolè on a le signe + ^ parce que les deux angles sont , ou tous
^lu ai&us > ou tous dieuxc obtus » et que leurs cosimis sont de même si^nfi^
BicAf^Tz^^ TAKCïWT^rf^, etc. ^^89
Dam le cercle où </ = c = r , on a au' = — « 1 , et les cordée sont per-^ jpendiculaires Tune à l'autre (n\ 150. 151. 182).
Dans rhyperbole équilatère , où c = c' (n^ 21t) ,.on a «a'; = -f-t; d où il est facile de conclure que les deux angle» aigus correspondirns , formés par les cordes supplémentaires et le preoûer ai^e , valent ensemble un anele droit (*>.
peut obtenir, comme cela* doit être, par réchange simple des axes.
24.5. Du reste Tanglç que forment énti-'elleff tes' cordes supplémentaîrea partant dea extrémités du grand axe de Tellipse est obtus^^et celui que for-* meatr lea c^n^es p«iCrt|«Kt de^. e;ctr^i(és du petit ia,^ essl^aîgu; ^^^cpsii ^st éf£« dent par le n\ 219. Dans l'hyperbole Tangle des cordes meoçes-ftes-extré^ mités du premier axe est toujours aigu.
Nous allons rechercher une formule pro|>re à rçpnésenter Kangle des cor^ des du grand axe. Maia nous ne nous occuperons point de la parabole ^ parce que dans cette courbe {'angle des cordes, est Ip supplément de c^lui que la petite corde fait avec Taxe ; or celui-ci est toujours ajgu et va eq^ ditïiinuant sans cesse depuis le sommet où ob peut le considérer commç droit ; donc Tautre est obtus et va toujours en augmentant.
Faisons d'abord le calcul pour TeUipse , en mettant lorigtae au centre.
I/équation de BM^ fig. 77, 78, passant par le point ^ ( + c, o) est . * y = a(a: — c); et comme elle passe aussi par le point M i^^^fi) om a 4 .= a (« ~ c); dfoù il résulte :
L'éqnatîon de >fJSf^ passant par le point A (~ c, o> , est jr =» a'*(a: + ç^i et comme elle passe aussi pai: le point il/ ( «^^ *) j^ oj^ ,a /* -^ a' ( « + ç) ^ ^oik Ton tire i
m I l mmmmmmm
(*) Qa aicî ai =;? iémf m^ et ss emng w* ,• donc iangt m. ian^ mf = 1. Mais ^ paf Ift trigooonnétm ^ tanfijULcoian^msi l ; dottc , dan» 4i^ uas.^ ian^ ni<=xxoUinif tni, Ci v^ conséquent nt est le complément de m»
i99 SSCTfOKi OOUC^UEfl!
Substîtatttt 6d& Yàléiûrs dans la formule
4 + oa'*
liu ti*. 109 , tû trouvera, après les rèductioâs , et &prèi» Avoir itk : . . , » (c^ MU») à la place de «*> et ^* à la place de tf*.— c'*, on trouyerni dÎ8.jei
Mettant eneoare t-\/«* «-^«^ à la place de g^ dxm$aA haut et bat pat . ;
y^c^ — »^i et réduisant, on obtiendra enfin î
ton^ -4-Jf5 =:± —
' Si' ôft Veut tirer de là la formule propre à l'hyperbole , on mettra c'i/— l à la pla ce de c' (n"^* 209. 242 y note), et l'on multipliera haut et bas par \/— 1; ce qui donùera :
tancf AMB=t + '' — ..^
•* Nt>us allons interpréter Ces valeui^s; en commençant par rellipse^ et ne considérant que le premier quart de la courbe.
1^. Comme » n'est Jamais plus ^ràtid que c, l'angle est toujours possible» et à cause du signe ~- de sa tangente , il est toujours obtus ; excepté lorsque a=sc; car alors on a tang AMB = g, ce qui prouve que l'angle est droit,
y. Dep uis È y où Pangle est donc droit, à lùesure que à diminue ^ . • » \/c* *- «* augmente , et la tangente trigonométrique de AME diminue^ Mais quand la tangente en — tfun angle obtus dimînac, cet angle devient plus grand. Donc, en <^et, l'apglie fl^s f ordes «u^ente depuis ^9 jusqu'on D. Alors U est.cUir qulil recommence à diminper sur 1^ . secoad quart de la courbe*
«iCANTEl, TAN(>ENTϧ, etC. 191
S^. Le pîu8 grandi angle se trouve donc h l'extrémité du petit Ifaxe , çt
2cc'* mkBXid • = o. On II alors tang 4MR ou tang ADB == —. Dan&cette
position leaconks font égales, et tes angles BAC^ DBClt sont aussi; donc, les angles DACei DBX^ sont supplémens Tun de l'autre ; ensorte que leura tangentes tÂgonamétrîquea sont égales et de si^gne ooi^traire. Or te prodiût
de ces tangentes a et a- esttoujowrs (n*. 2M}i donc ici Tune va*it . ^
+ — et Vautrç -^-r — ^
Voyons maintenant la fbrmuïe relative à ITijrperbote, et ne considérons toujours q^t le premier (][uart de li^ courbe. Cette formule est celle-ci ;
tang A MB acç •+• ; \
t^ Comme • n^est jamais plus petît que.ç, T^ngle est toujours possible ^ et à cause du signe + de sa tangente il est toujours aigu ; excepté loxsquQ «I =s <r , car alors la tangente devient infinie et, Tangle est. droite
2**. Dep uis le so mmet A , où l'angle est donc droit ,. à mesure que m aug^ xnente \ft?— c* augmente aussi et la tangente de AMB diminue^ Maisi qnand la tangente d\in angle aigu (fiminue , cet angle lul-mième dimii^u^ Ponç, en effet, Tangle des cordes dimimie depuis le sommet A à rinfiai; et 1^ ne peut être supposé nul, qu'en faisant «^ = |. Dans cette position les^ eordes sont para,llèïes., et le» angles eorrespondans qu'elles font avec l'axQ ^nt égaux ; ^imi leurs tajngentes sont égales et de même signe. Or le» fx<»^
^it 4e ces tapgentes a et af est -+• ^ (n*. 2^4 >; donc chacune df elles vauft
(to]iyo»rs poar le prenùer quart) + fl; c'est-à-dijee que cea coMes «ont ça^
ç ïftUèlç^ à Vwjmptote (n^. 3^0 )^
