CHAPITRE XllL
: Pés sections comt/ue^ rcippork^s à Uurs diamètres > te é^s <Uamètre^
. cojyugués*
246. J vsQxfA présent toutes les équations des seôtîonè eoDiqUes que nous levons vues , se rapportaient à ces diamètres particuliers ^e nous arons nommés spécialement les axes (n\ 206); et il est évident qu'on ppurrajft rapporter ces courbes à des axes quelconques ^ avec une origine placée aussi d'une manière quelconque ; on aurait ainsi leur éqi^ation la plus générale (n^ 212). Mais ce n'est pas ce dont il s'agit ici : nous allons actuellement rechercher si on ne pourrait point changer les axes des coordonnées et l'origine , sans changer la forme des équations que nous avons eues Jusqu à présent.
Pour cela nous prendrons les formules du n^ 165, et pQur faciliter le tslcul , nous désignerons par m et par m' les angles (xa/) et ig^j/) formés jpar les nouveaux axes des af et y' avec l'ancien axe des x. Alors les for^ mules en question s'écriront ainsi :
x = x* cas m +y' cos m! +/"*
y^x' sinm + y' sin m! + g;
et en substituant ces valeuis douas l'équation géuéraie :
on tï-ouverâ :
a/^Csin* m±— C0s^m\^afy\2(6mmsininl H — cosmcosm'J ^ 2c J \ "^20
+y'^Csin'm'±-^cosf'm'^+a/.2(gsinm-^ipœsm^—/cûSFn) \ = o ..(^)(')» ^ 2c y ^ ... ""2c ^ '
^y'.2{^sinf7il^\pcosiTil±^fcù5m'\'^(à'^pf± — /* \
(*> Il est évident que cette équation est l'équation la plus générale possible
SECTIONS cojiïQv&si ûiKhike. conjuo. f93
247; Appliqtwns d'abord cela à' la parabole. Pour (}ue réqualîo'n précé^
dente 8oit de la fomie y^ — px^o^'û faudra que les côéfficiehs des termes
en a/*, o/y', et t/^ aoient nuU, ainsi que le terme eAtièremént constant
P Or comme dans la parabole — =? o par lui-même , les équations de conflit
tion seront celles-ci :
sin* m = o, g sin m' — {p cas m' = 0, 9* — p/*== . . . (£).
J'aî laissé de côté le coefficient dç x'y\ qui ne nous apprendrait rien, puisque nous avons déjà shi^ m = o et par conséquent aussi sin /n=o.
La première de ces trois équatioiis boiis dît que l'angle m est riu^, et lii troisième 5 n'étant autre chbse que'celle de la parabole, nbus fait voir que la nouvelle origine, dont lès coordonnées sont /* et ^ , est un pbin£ de la coui'be. Ainsi pour que Téquatîort conserve sa forme; le i;K)uveI axe des X doit être parallèle à Tanôien. Ce nouvel axe est d6nc un diamètre et Torî^ine est à son extrémité;
La séçohdfr éijuatiôn de condition pleut *ètfé' mifc'sdUs cette forniè : '
slnm' ip . .J.I/>. >^
. = — ou a = — . • . . f Cj. , cosm . gf; g ^ .
Mais m' est Tangle que te nouvel 'axe des y, fait avec Tancien axe des x ;
sin m' , ,.. ^, r 7 * ■ ,
cnsorte que 7- ou a' marque*! mcunMdgiOif de cet axe , et la formule fait
cosm
voir. qu'il est tancent ir Ureokxbtik'AaL'^(MVê\\e (Ml^^ est
g (n^ 225 i form. (7) ). Et coxame là tâilgente k lA pârabdê rfest* perpendiculaire à son axe qu'au sommet de la courbe ( n^ 237 ) , ce n'est que dans ce point non plus qu'elle est perpendiculaife>aiis^ diamètres , parce qu'ils sont tous pai^allèles à l'axe.^î^ohc'le^ nouvelles ordonnées sont obliques au rtouvel axe des-â::.' - » • / . '.D^i •-'.•.'..'.■ ?
Au moyen de ces conditions, réqtiatibil<'de lai ccuiibq cons^9*Vâ(nt' s^n àiK cienne forme , à chaque nouvelle^ abscisse répondent donc deux ordonnées égales et de signe contraii'c. Ensorte que si d un point de la parabole on mène un diamètre, puis une tangente à ce point, toutes les cordes parai-.
des sections coniques. Elle est Se la fdrme-^^ + Bx^ + Cy^ + Dx + Ey +F=: o (voj^iz. celte du cercle n®. 166 >- i - „
Bb
.194 «ECTiOîia caNiûiTES ;■ ' :
ièles a cette tangente seroiit coupées, par le diamètirto en question 'en âénx
parties égales.
Prenons iqaintenant les .teiine<^ qui restent dans féquâtion transformée :
P en faisaiijt toujouars -- := o , et. fcw nous souvenant que sin m = o ^ et que
par conséquent cos m = iî = 1 , nous aurons y'^ sUi^ m! — px'. = o ; ce que l'on peut écrire ainsi :
C'est réquatîon de li| parabole 7;àppoïtée à un quelconque de ses diamètres. DViileur^ la valeur dç sin^ rn!\^ ou la valeur de m% ou la grandeur de l'angle dçs qbordijnnées,, lorsque celùi-cî est fixé, cette quantité, dîs-je, détermine le diâmçtrç dont il s'agit. Si on voulait par exemple que m! fût un angle droit , on aurait ^ir? m' == ^* == 1 , et on retomberait sur Téquation à l'axe. Du reste comme 1 angle de la tangente peut parcourir tous \ç& degrés ^e gf andeurs ^ il y a une infimté dç: sjjrstjèmes d-axea qui répondent
à notre but.
248. Cherchons à exprimer' nn^ m' , en fonctions des coordonnées de Ja nouvelle origine. Nous avons çu, il y a un moment :
murUpfiQn»> par cçjt^m'rcv^rmi, les deux mebàxnvi mâttom I -» sin* m* à la place- de c^fs* rn,\ trau&posons et réduisons^ noué tcûaycroi» ;
t*mm.m00^^
Maia ^=ipf^ comme nous- l'avons aussi vu, substituant cette valeur , et
divisant hajit et bas: ^mp^ xsàm obtiendrons : ' <
*in* m = r — ,^ . ■
Emorte que réqùation au diamèCre pourra prendre cette f(Hrme r
De phis /*est Tordonnée de la nouvelle origine A' ^ ffg. 79 > <Foù il résulte
vpie Fon a^, par :le b"*.- Ûi ^^FA' esrf-^ i^f^ | ^, Ainsi le croéfflcienê de x' vaat AFA' ; nousdéwgnerons cette quantité par //,• nou» l^ap'pellerone le paramètre duidiamèti'e, et uotis dirons que dans Ici parabole te paramèU^e d.nn diamètre quelconque est quadntple.de la distance du foyer à Tori^ ^int 4^ ce diamètre. Propriété qui (est la même pour Taxe.
249. Lëquation de la péprabole rapportée à ses diamètres/ étant donc y'* =: p'x' y , et ajant absolument la même forme que l'équation à Taxe , toutes les . propriétés que nous avons eues relativement à cette dernière ligne 9 auront lieu pour les premières / du moins lorsque ces propriétés seront indépendantes de l'angle des ' coordonnées,' Ainsi nous -ne nous j arrêterons, pan . •. ^ ' î
250. Appliquons maintenant à Tellipsé et à l'hyperbole la transformée
générale du n*. 246. Pour quelle soit de la forme t^* =;=;ja: h ^ , il faujt
que les coéflSeiens defr termes en x'i/ et en yf èôieîit nuls , aîrisr'qtte le terme
tout constant Le* équatioMide condition seront 'donc célles-cî : ^ ' '
;' ' > ,sinmsifipi[:±,^^C4?s/kcosim':^=^
guntri — |/i.c^ m' ± Jt /cm i?i'=o,'^ .... (Z>).
La troisième nous dfty tout de suite que la noûivelle origine, dont les coordonnées sont /et gr, 'est un despoint&de la courbe même. Ensoiite que si l'origine était placée aillem», l'équation ne pourrait plus rosrembler à^'équadon. au sommet • La seconde peut êtce écrite ainsi: : . , •
fh^ „i? :f ^, „„ . a.=fe :f !£■ ... . (^,. ' : cmm: g , 2fg , S ,, ?<:«; ,;.,■. ,
et prouve que le nouvel axe des y e^t tangent' â la courbe à la nouvelle origine 9 dont les coordonnées sont /et g (n*. 225; form. ($)). '^
La prenûère équation de condition peut se. mettre sous çe§ éeuxJbrmes:
sin m sin m' : „^ p ^ c'^
eus m cosw! 2 c ç
