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^^ "^ 2c "*" c* J Bb a
. £lle nou6 spiprevfd donc, que les doti veaux axe» des xetéc^t/ font arec 4'ançien fixe dt^jx:^ pu arec le premier )£^e^de lavcourbc ,i des .angle* dont Iq rapport est constant» let le même queccelui des angles foitnéa par les cor;des suppiéT^entaires (n^ 244). Enaorteique si^un db ces axes est paraU lèle à une de ces. cordes, rautneiaxe sera parallèle à Taiitre corde ;; et en mème:tems \çs deu^ axes feront «ntr'eux nnangle égal à celui de ces mêmes cordes. D*ailleurs cowne .^i peut former uneinSnité d!as8en]blage8 de-cordes supplémentaires 9 faisant entr'eilea.des angles <|ui ne sont jamais droits , fit qui varient sans cesse ( n^. 245 ) , on peut donc aussi former une infimtc d'assemblages d'axes, faisant entK!eux des angles obliques, vaiiables d'un système à l'autre, et qui donneront toujoura des équations de même forme <que celles aux axes.fH'oprêmént/diis..
Il résulte encore de là qu'à chaque nouvelle abscisse répondront deux ordonnée^ égaleîs et de signe conti-aire. De manière que si Ton a une tangente à la coui;be , et qu'on prenne le point de contact pour la nouvelle origine , toutes l^es.cord^s ps^rallèlesi à la^ta^ge^^, qu .toutes lés ordpnnéea, seront coupées en deux pai'ties égales- par le nouvel axe des x.Cêla posé, comme uqe de ces cprdes peut toujouiis passer par le tîèritte,. et que là elle est dé)à divisée on deux parties égales (n^ 205),- U faut bien que le nouvel axe des x pa-^e aussi par ce jpoint , et qu'il 3oit un diamètre^
251. Si nous pi'enons maintenant les termes qui restent dans la trans^ iorméei noua aurons i'équation. jdè la: côurbe itapportée-à ses diamètres ftVâc^rôrigme sur la. courbe métaie. Et codnmfe de i'équÀtioaa aux axes et au %cmxsktt,. on conclut facilement celle aux axies et aç ^oentre, nous pour* rions aussi conclure de l'équation aux diamètres et à< leurs extrémités , cAe aux diamètres et au centre. Mais cette dernière pouvant rendre plus simples tous les. calculs qui nous i:estent à faii'e^ nous lai^erops l'autre , et ne prendions. ^pt|e cell^-.ci, que noiistireorons xle l'équation aux axes et au centre ,. toujours par l)a. transformation des coordonnées.
Pour cçla,. nqus écrirons Mnsi, les forflauLes du-. q\,4l60 , puisque nous voulons point oha^ger l'origine:
et nous substituerons ce^ râleurs dans'l'équation:: " '
' ' <^* 2/' ds c'* «* = 4:.c* c'^;:
nous aurons;: \x
(d^sin* rtf± e'* cas* m') yf^ 4- ( c» i£n* m + </» c«w»m) ^»
^2i€^ sinm^sinm! ^c'^ cosm cosm!) o(fy' z=^'±ic^c'^ ... (G).
Pour que cette équation n'eût point changé de forme, il faudrait que le coefficient de a/g'-îdi mil ; -posons donc que cela soit , et que Ton ait :
c' sin m sinmf ± c'* cas m cos m'=: o ou ce qui revient au même ,
sin m sin m' c/*
cos m cûsm' c* '
Téquation de la courbe deviendra :
252. Si Ton y fait y' = o, pour avoir la distance du centre à la courbe,, prise sur Taxe des a/ , et que l'on appelle cette distance d , on trouvera :.
d^— ^JL£ — - .... (X)^
c* 5*1* mzh^^ ^^ ^
Si Ton fait ensuite a?' = o , pour avoir la distance du centre à la courbe,, prise sur Taxe des t/ , au cas du moins que la courbe rencontre cet axe , et %ue Ion appelle cette diétauce df , on trouvera O i
c* ^i/i* m' Hh c'* cos^ ni
Remarquons , avant d'aller plus loin, que dans Tellipse tous lès diamètres rencontrent la courbe , ce qui n'a pas «lieu dans l'hyperbole ; cependant elle est toujours rencontrée par le diamètre 2d (ïi\ 250). Si elle ne Tétait pas par le diamètre 2d' il faudrait que la valeur de d^ fût en moins y pour que d^ fût imaginaire. Comme cela ne se reconnaîtrait pas facilement dans cettevaleur de d'*, nous essayerons de faire le produit de d* par cf*,. car d*
(*) Ces valeurs s'accordent avec la formule du n^ 205, comme on U verrai facilement, en mettant dans cette formule ^^^ ou ■? à la place de âi ,.. ett
^^ i fat place de;^
étant décidéïjient en plus^ si ce :prpduit est en moins^ il £iudra î>ic^, que d'* 8o1t aussi en moins. £n faisant cette multiplication on trouve pour les deux courbes : . d : - -
: c^sin^m sin* m! ± ç^c'* (sin^rnf ços^m + ^ i/i*/n cos^m^) ^ ç'^cos^tn cos^mT ou, ce qui revient ai\.inême, (*) : . . ,, -
did!^:=z l ^^'^ • •• '
(c* sin m sin rn! ^jh c'* c w m cos m'y i; c* c'* sin* (m' — m ) '
Mais comme la j»:emière partie du dénominateur s'évanouit par (^ , on n'a plus que : : '
sm^ (m — m ) ^
Ce produit de deux carrés ayant décidément le signe — pour rhjperbolê, prouve que le diamètre parallèle aux ordonnées; de 2d n'a qu'une longueur imaginaire , ou ne rencontre pas la courbe. Pour lui donner une Jongueur réelle, nous changerons donc le signe de. son carré, comme nous avons fait à Toccasion du second axe ( n^'. 204. 2o5 ) , et nous tirerons, de (/O et dciL): ^ . .
substituant ces valeurs dans (7) , divisant tout par c* c^ , et faisant dispal'aître les diviseurs , nous aurons : ,
d'y'^±a^x'^ — ±d'd^, y» = ±— (d* — or'*) .... (2V);
ar
c'est l'équation au centre et aux diamètres 2d et 2d. Si on voulait que le second devînt l'axe des a;, on prendrait les ordon-
(*) On sait , par la trigonométrie (n*. 88) , que ^
sin ( m' — m ) = sinrn! cos m ^ sin m cos m* ; élevant au carré et transposant, on t)bticnt:
siifnï cotm + sirûni cos* ni z=L2sinm! sin m cos m' cas ni 4. sin* im'-^m);
substituant le second membre dans le dénominateur du produit ci-* dessus ;, il contiendra le carré d*un binôme, que Ton pourra écrire coa\me daqs la formule suivaatc«
DIAMÈTRES COKJUGUéS. !99
nées pour abscisses et les abscisses pour ordonnés /comme au n^ 218; et Ton aurait : . .
ensorte qu'à chaque nouvelle abscisse répondraient aussi deux ordonnées égales et de signe conti*aire.
253. Cela posé^ lorsque les sections ccmiques sont représentées par des équations de même forme que celles où entre le premier axe, deux diamètres , comme 2d et 2d' , dont chacun est au nombre des doubles ordonnées, soit réelles, soit imaginaires, de l'autre, sont nommés diamètres conjugués. Nqus allons récapituler quelques-unes de leurs propriétés , que nous connaissons déjà.
1^ Comme dans rellîpse ils rencontrent tous deux lacom-be, et que rîen ne les distingue fun de l'autre , on peut prendre pour le premier celui qu'on Tôudrà, le second sera toujours parallèle à la tangente menée à l'extrémité de celui-là (n^^ 227. 250). Quant aux axes on sait qu'on nomme le pre-^ mier , celui qui passe par les foyers et les sommets.
2^. Dans l'hyperbole , un des diamètres conjugués rencontre décidément la courbe, et l'autre ne la rerfcontre pas (if*. 260. 252); nous appellerons celuî-l|^' le. premier ou le principal» et nous le désignerons par 2d; alors l'autre 2d' sera le second , et il sera parallèle à la tangente menée à l'une des extrémités du premier.
. 3^. Quoiqu'il n'y ait qu'un système d'axes proprement dits , lesquels se rencontrent à angles droits , il y a une infinité de systèmes de diaméti^es con*» jugués , et ces diamètres font entr'eux des angles obliques différens (n^ 259X
4®. Quant aux angles que ces diamètres font avec lé premier axe de la courbe , leur rapport est toujours le même , et il est égal à celui des cordes supplémentaires , qui est aussi constant ( n®*. 242. 250 ). Lors donc qu'une corde supplémentaire est ordonnée d'un des diamètres , ce diamètre-là est parallèle à l'autre corde supplémentaire ( n\ 260 ).
