SECTIONS CON IQXT.ES
à-dire rers ]a droite ou ver» la gauche ; ensorte que la poaition de ce^aecond diamètre est aussi déterminée. Cela posé on pomTa calculer, par (A) et par (Z) , la longueur de ces deux diamètres.
Et d'ailleurs il est facile; de voir , par Tune ou Tautre de ces formules , comment la longueur des -di/Férens diamètres varie suivant leur position relativement aux axes. En mettant dans {K) , par exemple , 1 — shi^ m à la place de i:o^ m^ extrayant la racine, et ne s'occupant d*abard que de Fellipse , on a ;
Alors si Ton fait m nul, on trouve c?=: c; si Ton fait ensuite augmenter graduellement m , on voit que d va en diminuant , et cela jusqu'à ce qu'on ait m = 1 droit ; ce qui donne sin m = ^ = 1 , et d =a c'.
Prenant après cela l'hyperbole , et . changeant le$ signes du numérateur et du dénominateur de iK) , on trouvera d'abord :
•^"^^■fW"^"^^H"^p«"^F*;^"^w
Si. Ton fait alors m^ nul , on aura d=zc; . supposant ^ ensuite'^ que m ang* mente gradoellement, le- terme e» mpin^ ne sera: d'abord qu'une très-petite fraction de c^ + c'^^ et la valeur de d sera possible; mais elle ii^aen aug^ mentant , jusqu'à ce que ce> terme en- -~' du dénomklateuF égale le terme en 4-9 supposition qui donne' Ou*. 252 (Z^))<
. . 1. « sinm^ c'
c* sm^. m =?: c? cofi m , ou = — • .
cos m c
iQans. ce mo;nent on a^=; g^ et le diamètre n*êst autre. chose. que Fas/mptçtç (n% 2^,)..
L'angle m continuant epsi^âte dlaugmenter ^ le. terme, as .moins remporte sur le terme en plus , et les valeurs: de -^..deviennent, imaginaires , parce qud les diamètres ne rencontrent . plus la courbe. Prenant cependant ces valeurs comme réelles, et pomr ceta-changaant dans la formule le signe du dénominateur seulement, nous trouverons:
et
DiAMiTREs coNjraaDis» 301
et noMB terrons qu'en faisant augmenter m, <? ira en diminuant, jusqu'à ce qu'on ait m 8=5 i droit > et jiw m = ^ = 1 ; ce qui donne d = ^.
Dans l'hyperbole équilatère, les diamètres augmentent jusqu'à l'angle m str I droit y et ils rediminuent ensuite (n^ 240). . ,
266, On pourrait demander si les diamètres conjugués peuvent être égaux entr'eux dans tel ou tel système ; car il est bien évident , pat tout ce que nous Venons de dire, que le plus souvent ils ne le sont pas» ; .
En égalant les valeurs de d trouvées pour les deux courbes, dans le numéro précédent , avec les valeurs analogues qu'on aurait pour df, on en tire sur le champ f sin* m ss sin^ m% d'où loii conclut, abstraction faite du ^igne, sin m =z sin m' ^ cos m â= vos m% et
sin m sin m'
cos m cos m'
Mais le produit de ces deux tangentes est toujotn^s en moins pour l'ellipse ^ comme on le voit en (/>, el vaut ~ — ; donc ici , quelles sont- égales >
lune vaut + — - et l'autre — — . Ainsi les deux angles m et m! sont sup-
plémens l'un de l'autre ; et par conséquent les deux diamètres conjugués sont dans ce cas parallèles aux cordes supplémentaires j4D et i?2>, fig. 77 menées d'une des extrémités du petit axe aux deux extrémités du grand axe (n*. 245); ils font entr'eux le plus grand angle possible (même numéro) et c'est là le seul système dans lequel les diamètres conjugués puissent être égaux.
Quant à l'hyperbole , le produit des deux tangentes de m et de m! est en plus , et vaut H — - ; donc ici , qu'elle» «ont égales , chacune vaut ~- avec
le même signe. Ainsi les deux angles m et m' sont égaux , ou plutdt n'en* font qu'un; ensorte que les diamètfes Conjugués supposés égaux coïncident entr'eux , et avec l'asymptote (n"*.. 240) ; ce qui Teut proprement cÊre , que dans cette courbe il n'y a jamais de diamètres conjugués- égaux.
Cependant il j a exception pour rhjT)erbole équilatère; car alors c'sr, elle produit, des deux tangentes devient l'unité; ensorte que la tangente d'un des angles est toujoure la cotangente de l'autre, ou que" les deux an-'* gles m, m* sont toujours complémens l'un de l'autre (n". 244. note). Tous' le» diamètre» conjugué» «ont alor» égaux de deux exîf deux'; dômnie Cela U'
. Ce
202 lECTIONS C0NICUE9;
lieu pour Iç cercle. Il y a pourtant cette différence; c'est que tous les dla^ mètres du cercle sont égaux entr'eux , tandis que dans l'hyperbole équilatèrç y il n'y a que les diamètres conjugués qui soient égaux de deux en deux.
Du reste Téquation de rellipae rapportée à ses diamètres canj.ugués égaux ^ rcd^mble tout^à-iait à l'équation du cercle ; car elle détient , en faisant dans <jZV> cP =; d . . . . y'^ + a?'* = d*. Mais il ne faut pas perdre de yue que daps le cercle , tes diamètres sont alors à angles droits , au lieu qu'ici, dans VelHpse, ih font entr eux des angles (Cliques. (Voyez le tf, 16.9 ).
26^ Pour fc^re tomber sous les sens la longueur du secood diamètre conr^ }ugué de l'hyperbole, qui ne se termine: pas à la courbe, supposons^ quoA mène par une de ses ext;rémités et par l'extrémité correspondante du dia-. tnètre principal ^ une droite , et recherchons qu'elle doit être sa position.
Comme cette droite coupe 1^ courbe dans le poio^ ( ^ >^ ) » ^on équatioi^ doit être dç la forme :.
P un amtre cô^é le seco.nd diamètre > passant par l'origine > et étant parattèle^ à la tangente ai; poiftt ( *, 5), a pour équatiom
P'ailTeurs ces deux droftes se rencontrant à rextrémîté de ta seconde, ont dans ee point Iça mêmes coord.omiées , ou les mêmes valeurs pour a^ et px>ui y. Or 1 eliqiinatioii donne :.
Cela posé ^ pour exprimer que ces: coordonnées appartiennent à l'extréBsiité. du secpod diamètre ,. il fKut encore qu'elles satisfassent à l'équation :
Faisant donc leurs cadrés et les substituant dans cette équation, en trour^:
(c^/»^^c'^»*) (a^cc^ôy 7/x
Mais la Yaîeur à^ ç?'*, prise dans (Z^) > rendue réelle par le changement db signe du numérateur , et multipliée par ski^m' + W^* m' ^^ B^ :^ i, ce qjû ne change que sa formée > dei&ient ; ^
DIAMÂTRB8 CONJUGUAS. 203
e* 0^* ( «n* m' + co^* m' ) ■ 1 ■ ■ ■ •
c* sin* m! — cos^m!
sifi Tn! c'* *
divisant haut et bas par co^ m' , «substituant à ; sa valeur -- — , faisant;
^ cos rnl c^ ^
disparaître les diviseurs , réduisant , et mettant i^d^ à la place de
c'^ ^ .^c^ff ^ quantités équivalentes par l'équation de Thyperbole , on « trouve :
Substituant ce^e valeur de d^ dans (0)^ effaçant h facteur commun aujt. deux membres , faisant disparaître les diviseurs , extrayant la racine , effec-tuant les multiplications , transposant ^ et réduisant , on obtient enfin • . • .
a" = — ' — . Ce qui indique que la ligne qui joint les extrémités des deux
diamètres , fait avec le premier axe de la courbe , un angle égal à celui de Tasjmptote, mais de Tasymptote renversée, ou de l'asymptote à la courbe de la gauche ; et elle est parallèle à cette asymptote.
Du reste , cet angle est aussi celui de la droite qui du même côté que la ligne précédente » joint les extrémités des deux axes ; car , passant par le sommet A ^ ( c , o ) » son équation est ^ = a"' ( a? -*« c ) ; et passant aussi
par le point Z> (o, c' ) , on a c' =e — a'"c; d'où l'on tire a'" = — — . .
Les deux droites en question , celle qui joint les extrémités des diamètres conjugués ) et celle qui joint les extrémités des deux axes , sont donc parai* lèles. ( Voyez la figure 80 ).
267. L'équation aux diamètres conjugués et au centre étant de même forme que celle aux axes et au centre » toutes les propriétés indépendantes de l inclinaison des coordonnées seront ici les mêmes qu'elles ont été poui^ les axea. Et si on voulait transporter Torigine sur la courbe ^ à l'extrémiti^ d'un des diamètres » l'équation deviendrait ;
2/^ = 1- (2rfx'q:*'*). . ... .;. .
Si on voulait enfin avonr une équation analogue à celle au paramètre, et au sommet , on prendrait pour le paramètre p^ d'un diamètre qui renconUce ia
Ce 2
204 flicTioK^ eoiri(îirss:
courbe, une troisième proportioaiAellQ 4 c^ d^mètre. et k son cojcyugcté ( n*. 207 ) ; ce qui donnerait ; *
S^=:pV-^^.
ajoutant ee6 diluai équations meinbre à mevibre,^ ir^dtussart ensuite te secoue^
, C*> En nommant, h la bauUur de ce parallélogramme^ d^nt la base est d et Tautre côi^ d] y on aura Taire ég^ale à dhi mais la hauteur formant avec Je ae^ cond côté d' y et une portion de labaseiim triangle rectangle ^ qui donne . . •. i : d' :: sin p : /i, on &h:s:d' sin^v, et l'aire devient dd' sinv (v est icirangl^ ^a d«ux diamitrés ).
(**> Ces YaHem» j^ oucraiant servie i (faisifitics des calciUa précédons*.
11 feut serféroeint observer^sur tout cecî, que si Ton désigne par a Titu ^naibon d'\mfi droite sur uil diamètre , a ne sera plus la, tangente de cet
angle, parce qu'on n'aura plus a = — r— > mais a =: -: (vl^. 121. 122)^
268. Voici maintenant deux propriétés remarquables et nouvelles., l*. CXi tire? d^e^ la, formule {M*) y rendue réelle pour le cas <te l'hyperbole ^ et après ftvoir exjraiit la, racine des. deux niiembres ; %
dd' sin (^m' '^m)=s ce':.
Or (m''— <7») étant Tangle des deux cfiamètrea^ le premier membre dfe^ cette équation représente Faire du: parallélogramme de ees deux diamètres (*) y et le second membre représente le rectangle des deux axes. On peut donc dire que dcuts F ellipse çt Phyperbole , le paraU^logranane construit sur deuoû diamètres conjugués quelconques y est équivalent au rectangle construit sur les cuves.,
2\ Un. diapgiètre d dfi Fellif se , aboutissant à nn point de la courbe (it, By^ on St
En tirant d0 (;£) h» Talteur d^ cBanaètre conjugué^ com«t noua atMa. fi&li. au v?..^ If cm l'b^^rperbojie, on trouye de nbème :
SiiAMiTtES eoiunerés. 205
au même dénominateur 9 mettait d^ cf^ ^^ c'^ ^t^ à la place dfi ç^tt^ à causer de réqu^tion cite la ooùrtie) et réduisant y on obtient ;
Changeant ensuite <f en d'^-^ 1 > et c' en ç V*^ * t P^W avoir le cas d^ ITiyperbole^ on a:
P'qû il réftutte que dans Fellipse la somme dês earr^ de deux diumètees conjugués quelçoiiifu^s , est toi^mrs égale à la sçiwhe des carrés des deuM axes i et que dans F hyperbole la différen/ce des cam^ dUn diamètre prin^ €tpajl et de son cojyiigué y est égale à la différence dee carrée du fHr^mier: axe et du seconde IXt re^te^ ces dew ibraptutea,,
dd'sin(m''^m):^cé'y <P±d'*=:c^±i?^4 «QnOt»^ 4Yeç (iO du ^^ 26i »
sln m sin m* c^
cçs m cos m sç^»
|ieuTent servir à calculer troia des aU quaiHltés^ c» c^^ d^ ^\ m^ m\
lox9qp!(M Qf>aaak le» trois witres^
