CHAPITRE XÏV
De Fkyperbole rapportée à ses asymptotes»
^69. C^HERCKONS maintenant quelle forme prendra ^équation de Hiypei"bole 81 nous la rapportons à ses asymptotes : comptons par exemple les abscissses depuis le centre le long de rasjrmptote du premier angle et du troisième , en montant et en descendant ^ et les ordonnées le long de l'autre asymptote en descendant et en montant ; Taxe des a/ fera arec Vbx^ des
X en dessus , tin angle ni , dont la tangente trigonométrique taut + ^^ et
Taxe des 1/ fera arec l'axe des x , en dessous , un angle m^ , dont la tan* gente trigonométrique vaut — ^- (n^. 239. 240 )» C'est<*à-dire qu'on aura:
sm m cas m
sln m'
cos m
car ces angles sont égaux , ils ont le même cosinus , et leurs sinus ^ quoi* qu'égaux , diffèrent pourtant par le signe.
N. B. Il faut bien observer que notre but actuel n'est plus de conserver ]^ forme de l'équation ; voilà pourquoi ces valeurs ne s'accordent pas avec (^)(n*. 261).
On tirera de là :
c* sin^ m = c^* cos"^ ftii c^ sîn^ m! == c'* co^m\
Substituant dans la formule (G) du n®. 261 j les termes en x'^ et en y'* s'é-* vanouiront. D'ailleurs sin m' étant en —, le coefficient de a?y sera tout en -^ (n% 1640 > ^t l'on aura pour l'équation de la courbe :
•— 2 ( c* ^î/i m f m m' + c'* cos m cos m! ) x't/ = — c* c^^
Mais puisque les sinus , indépendamment des signes ^ sont égaux , de même que les cosinus , on pourra écrûre :
2 (c* sin} m + e'^ co^ m} xftf =5 ^*c'*t
DE L*HTP£BBO|.E BAPPOBTÊEA SES ASnmrOTES. ^O?
W, en mettant c^ sin'^ m à U place de £?'* ços^ m , et diviaant par c^ ;
Or nous savons que Vangle A^ dans le triangle ACDj B^. 81 , est égal à celui de Tasymptote ( n®, 266 ) ^ et peut donc être désigné par m ; ensorte que ce triangle donne ;
i ; AD ::sinm:c\ 1 : ÂD^" ; : *m* m : c'^ , J > c* 4* ^^ • • *^* ^' • ^'^> et, par conséquent;
Substituant cette valeur dans féquatî^on précédente, et réduisant, on obtient ^nfin ; .
260, I) fnudridt voir, avant d'aller plus loifn, si aucim autre système d'axes ne peut fournir une équation de cette forme. Reprenant encore Isk formule {G) y et supposant nuls les coéfficiens de a/* et de t^'^^ on aura ;
sin^m c^ sin^mf c'*
extrayant les racines , et prenant pour Tune le signe plus et pour l'autre te signe moins y afin (l'avoir deux axes qui ne coïncident pas , on retrouverft ;
sinm c' sin m! d
ۍs m <r * cas rvf q *
Il ny a donc que les. asymptotes qui puissent fournir une équation de h forme précédente.
26 i. Si l'on écrit cette équation ainsi :
tf — ^ 7zr>
|ae phtt af^ augmente tpproche sans cesse d
<*> On trouverait de loénie, si on le voulait , cAf*7ra=:— —
108 * DÉ L*HTPEft&OLX
pour que Ton eAt y' = o , il faudrait que Ton p<rt faîi*e a/ == |. Voilà |>ottt la branche supérieure de Thyperbole à droite, et aussi poiur la branche inférieure dé rhyperbole à gauche, puisque si Ton prend a?' en <^— , il faut aussi pi-endre 1/ en —, pour que le produit des 4eux soit toujours en +^ comme le veut l'équation. ^
Quant aux deux autres branches de la eourbe, à droite et à gauche, on tara les mâmes léafiltiiSp comme on le voit ea écrivaiU:
Enfin U est éiàdent que pour chaque taleur de x* , on n^aura qu^une vabnr 4e ^ , $t réciproquemient ,£t cela ^st 4'aecoFd avec ce que nous avons Vu au n^ 222, relativement aux sécantes qui ne rencontrent la courbe qu'en im point.
