Remarquons que gf^ c= c^ + c^* =^Z>'; ensorte que

\g^ = f (c* + (f^) = \AD^ :±=:AS^=xCF, parce qtie ^E = CË = \AD (L^angle Cj^È z^ jiC£ Qn^. à66), le reste s^ensuît évidemment). Désignbhs Tune ou Tautrb de ces lignes égales CE , AE , qui sont Tabscisse et l'ordonnée du centre f ' par « | neus aurons i

et aous pourrons dire que je tteclangk de deux Cûordannéès correspond demies quelconques , est toi^ours constant^ et éguivfllent au carré de Ifabs^ cisse ou de t ordonnée du sommet de la courbe^

Cette quantité «^ , ou ce carré de Tordonnéç du sommet, a été nommé la puissante de l'h^erbole.

Du reste on pept présenter cette propriété mt peu 4iffére»mcnt On peut , au lieu de considérer le rectangle de deux coordonnées correspcm'^ dantes quelconques , considérer le parallé^ogr^unine qu'^U^ font réellement cntr'elles ; et comme l'angle des as/mptotes est* égal à 2/n, laire du parai* lélogramme en question vaut ( n°. 2JS8 ^ n<He ) :

. a/i/ sin 2nu

D'un autre eôt^,^i ap l^u^c cpfi^ér&r Ji^ çtxré d'ïine:4e* <ioord<3^néei du sommet , nous considérons le losange que ces coordonnées font réelle*' inent éntr'êllés , . son âurêltm'à pour expression :

' * i • •»* sin 2m.

Or

ïlÀPPOBTiîB À StS ASTMPT0TE5* 209

^ôt pmsqti'ott à x'y' = «* , on a aussi :

x'y' ^in 2tft = ^* wn 2/rt.

t -est-à-dii'e que le paraîlélogranurie de deux coordonnées correspondantes (/uelconques est équivalent aU losange des coordonnées du sommet.

Ce losange pouiTalt aussi être ïiommé puissance de l'hyperbole ; on a même désigné ainsi lé grand losange quadmple de celui-là , qui a les deux ^axes. de la courbe pour diagonales , et dont l'aire vaut g^ sin 2m.

Du reste lorsque Thyperbole est équilatère , comme c' =: c , on a :

sin fn , sin w!

cos m ^os m

^eiisorte que l'angle des asymptotes est droit , et le dernier théorèrile n'est autre chose alow que le précèdent.

263. Si Y (M a une s^^mte passant par tin point (»y fi), son équation sera

^e la forme :

•et si Ton veut tiherchêr la valeur des coordonnées dés points d^interséction , 'On la combinera avec l'équation :

*0n trouvera par l'élimination, en observant que »»* =»$ (lorsque le point (« , * ) est sur la courbe, comme nous allons le supposer , pour plus de sim* |)licité)| on trouvera, dis- je :

Si l'on fait alora ia = o , ou si l'cm imagine que la sécante soît parallèle à l'axe des x* ou à la première asymptote , il n'y aura qu'un point d'intersection, parce que l'équation en x' ne sera plus que du premier degré (n*^. 222). Il en sera de même si la sécante est parallèle à l'axe des t/ onk l'autre asymptote , parce qu'on rie change point Téquation de la courbe en mettant y[ pour x' et x' pour y\

Pour tirer de cette équation la valeur de a qui xronvient à la tangente, nous Vécrîrons ainsi :

Dd

210 DU l.'|ITP«R90tS.

et nous supposerons que Ton a, en mettant 4 à la p!aco de a (u^ 472):

«foù Ton conclura facilement 4 == — ^ ; ensortequeréquatîon de la tangente sera:

264. Si dans cette équation on fait y' = Oy il est clair que x"^ vaudra CTy fig. 82 ; on aura donc la soustangente TP z=zCT -^CP =^x' ^^ f»^ •=. ^, C'est-à-dire qUe généralement la soustangente est égaie à rabscisse du point de contacta

265. De plus , les triangles semblables AfTPy CTt, à cause de CP=r TP^ donnent Mt = MT; c'est-à-dire que la portion de la tangente indéfinie comprise entre les deux asymptotes est coupée au point de contact en deux parties égales.

Cette propriété peut être généralisée ,. et elle s'étend à toutes lea ^écantet qui rencontrent une des courbes en deux points. Reprenons Téquation de la sécante RSy fig. 81^,

et faîsons-jr y'^szzOy nous en tirerons a?' ou

C7o ss — — *-^

Mais on Toit dians Téquaiion.

au^l^ „ uff

Ot a, ^

que cette vafeur n'est autre chose que la somme des dieux vateurs de a?*^ ou la somme des abscisses des points d'intersection ; d*oû résulte :.

donc JPTt = QS; donc les dieux triangles QSNyFLRy sont égaux, et parconséquent NS. = LR. Ainsi, les deux parties d'une sécante comprise entcc: la courbe et les asymptotes aont égales».

BAPPORTÉS^A SES ASYMPTOTES. 211

366. Laissons la normale ^ et faisons encore un rapprochement assez curieux de ce que nous venons de voir avec ce que nous avons déjà vu au n*. '266.

Menons au point de contact ( « , ô ) fig- 82 , le diamètre CM ou d , les triangle» MCP, MTPj donneront, en observant que TF =^ CP=i k^ en nommant ^ la tangente A/T, et faisant H = 1 (ïf\ iOO. 137. 146, lÀS. 166.>:

d* = »' + ^+2«^ cas 2m, ^»= «* +ô*— 2«i3ira.y2m, d'où l'on tirera^

Mais , par la trigonométrie :

cas 2m = cos^ m — sîn^ m , tl pat ce que nous avons vu au n*. 269 ,

jîn* m =:^ — -: — -• , cos^ m

ce qui donne :

tos2m^ D'un autre côté l'équation de la courbe devient

Substituant ces Taleurs dans le second membre de (P) , on obtient :

Or, nous avons vu (riV258) que

cp — d'* =£: c* — c'%-

donc i =s« d'. C'est-à-dire qu'un demi-diamètre conjugué quelconque est toujours égal à la tangente menée à l'extrémité du diamètre principal. Cela s'accorde avec le n^. 266«

Dd2

Ç h: AP IT R E XV.

prçblèmes géometritjues nlatlfs aux sections coniques.

J>iC]iUlB CES COURBES JLV MOyEN DE CERTAINES POl^KEES.

Procédé général^

267. v;'est celui du n*; 200, qui çonyieut aw( trois «eoUpnsr eoAiques^^ ^t même au cercle et à la, ligne droite (n^ 214 )•

Nous avons vu que pour déterminer, unp de ces courbes,. il. fallait au moins.; 4eux constantes , sauf pour la parabole , où Ton a. toujours ./i= 1 (a®. 202). Si Ton n!avait aucunes données., on les fixerait à volonté ; ainsi ce cas rentre dans le précédent. Voyons donc, avant toutes. ohoses, comment au mojeu de certaines données, on en peut déterminer d'autres , sans cependant avo'u: la courbe, ou lorsqu'elle n'est pas. encore décritç. •

Si on donnait la distance du sommet au foyer d'une parabole , c est-àdire/, fig% 69, il serait bien facile de décrire la courbe, et l'on aurait aussi^ le paramètre^ puisque />= Âh Si. on. connaissait seulement p, on euprenr drait le quart et l'on aurait h

Si on donnait pour une ellipse / et p, fig. 70 , .ou AF et FG\ on ferait AL •=& AF çt la construction^ serait fapite. Si on donnait les deux axes , on porterait ACtXi Df pour déteirminer le foyer (ll^ 208); on ferait ensuite ÀL=^ AF et CE — FD = AC,, ou BI = Fffy et pw lea pointa i et £^ DM L et /, on mènerait T'LJly etc. Si on ayait, 2ç et /,. ou. A3 ci AF\, on; ferait AL=s AF et BI,^=- FB , tic* ; ou , après av.oir meuaé mç le miUieUt C de AB la perpendiculaire CE y on. porterait AÇ en /7>, pour avoir le demi-petit, axe , etc. Si on connaissait le graii.d; axe et le paramètre , on. prendrait une moyenne entre ces deux lignes pour avoir le petit axe, etc. Si on donnait le petit axe et le paramètre, on. chercherait une troisième > proportionnelle au paramètre et au petit s^e, pour savoir Iç grand axe ^^tc.

TRÔBLÈME^g &èO»Êt:TH. IBLATJGFS AUÏ SfCT. CONtfiUES. 213

Çoân û on cfoanajt.le petit axe et la dlUance du sommet, ad fày^n, on chercherai^ une troisiènae pjroportionnelle ^ l et . à c' , . et ce aérait 2(? -^ / ou FB (n*. 208,); en y ajoutant / pu AF on aurait ^5, etc. On opérerait d'une manière anc'vlogue pour. Thyperbole , fig. 71. Par exemple , si on avait les deux axes , ou porterait la distance AD en CF pouf déterminer le foyer (»°. 208.) , faisant ensuite AL^z=zAF et Bl = BF ^ on mènerait ILG' etc. Si on donnait A Et et AFy on ferait encore AL = AF et BJzrx BFj etc. Mais si on voulait trouver le pjetit axe ,. on porterait FC ^ AD pour détermine^ CD (^^ 208), Etc. etc.

, Procèdes, cpmnuf^ à plusieurs çoïkKbes^ ou {malogues éntr'eux.

?68. £x.i,iP^ Dotmées , le prefrUer aatç et Ips foyers. . Dans Tellip^e , lo premier axe ept égal à U somme àxA rayons Yect^r$, (,n^ 2^5)-, ,, , ... /

Ainsi , depuisrri un d«^ fflyew cot^ij^ centre., ^t avec un rayon à volonté , mais plus petit que l'axe , on décrira un cercle entier ; depuis Taulx'e foyer et avec un rayon égal au reste de l'axe^ on décrira un- auti^e cercle entier • les deux points où ces cercles se couperont y au-dessus et aurdassous de Taxe, -^çpaji tiendront à la courbe, puisqu'ils satisferont à la loi énoncée. En Répétant rppér^ti^Mi. avec d'antries^rayonp, on obtiendra de nQisiveaju^^ points,

Hr££SBpi.f;^ LesminHS données quepour^ TçUipse.

Pans^ cette courbe le premiei? axo çst égal a la diiTérencg des rajwn» vec«. ^eurs (tf. 215). ^i

Ainsi, depuis Tun des foy^î? comme centre, et layec un ri^on à volonté, mais que nous supposerons d'abord plus grand que le premier axe, on décrira un cercle entier; depuis Tautre. foyer ,^ et' avec un rayon égal à ce. que le premier a de plus que Taxe , on décrira un autre cercle entier ; les deux points où ces cercles se coupwo^t ,• au-dessus et au-dessous de lVi?(e , appai'tieadront évidemment à la courbe. En répétant ropération avec d'au-, très rayons., on obtienidi-a lie nouyeara powts^

Du reste , si le premier rayon était plus petit que Taxe , il fewdrait y> ajxwter- Faxe pour avoir l'autre Kiyon.

N. B. Ces procédés ont l'incoBvéïjient de ne pas foumh- immédiatement Iça ordonnées <|ui. corre^^oient à de» ^cis^es diétenmnées ; m^ia le pro-^

214 iPJEtOBtiMSS CéOlf ëTRÏ^lTES

cédé général satwffait à cette condition , et notis en atirott» d^àutreé jtnéorer 269- Le« propriété» de Tellipat et de l'hyperbole que nous venons de citer, peuvent servir à les décrire par un mouvement continu.

Pour C ellipse. On fixera aux deux foyers^ F, ^'vfig* 83 > *«» deux bouts d'un fil,- ou d'une corde, JP MF' y dont la longueur ëera celle du grand axe j^B; on tiendra ce fil toujours tendu au moyen d'un style Af , que Ion fera glisser tout autour des foyers ; il décrira ainsi une ellipse , puisque la somme des rayons recteurs J/jp + -A^-^' »wa constamment égale au grand axe.

Pour r hyperbole. On fixera au foyer 7^', fig. 84, une règle /^'O. mobile autour du point F'; on prendra ensuite un fil FMO ^ d'une longueur telle que Ton aît F' MO ^^ FMO -=l AB ^ et dont on attachera les extrémités. Tune au bout O de la règle, l'autre au foyer F^ on tiendra ce fil tendu et appliqué en partie contre la règle , par un style M , que l'on fera glisser le long de la règle, pendant que^elle-ci tournera autour de -F' ; il décrira ainsi une portion d'hyperbole ; car puisqu'on a F' MO — . FMO =s AB • ou J'M-^MO — FM--- MO Œ AB^ on a aussi, en réduisant ,

F'M--FMz::=AB. i

: 270. £LLXt>s£ ETârpfeRBOLEi Données , deux <Jiamètres conjugués et V angle qu'ils font entr^eux. :. . .:

•L'équation aux diamètre» conjugués étant la même que l'équation aux axes (n^, 262. *267), il suffit ici pour avoir la long«étlr des ordonnées de les chercher comme si les diamètres donnés étaient les axes, et comme si leur angle était droit; ensuite à chaque abscisse ^ayàttttirie ordonnée rectangulaire.; on eft mènera une nouvelle égale a cellfe*là, mais faisant av^c l'abscisse l'angle oblique donné ; la courbe qui joindra les extrémités de ce» nouvelles ordonnées , sera la courbe demandée*

Procédés particuliers: •'