TROISIÈME CAS

343. Etant donnes deiix côtés et T angle compris , trouver 1®. Vautre côté^ 2^ un autrç angle.

Les formules C^) donnent immédiatement le troisième côté; maïs il faut les rendre applicables au calcul logarithmique. Si on connaît à ,.& , et C,*on fera:

cos c

r == cos a + sin a tang b cos Ci

cos b ^ '

266 TRXOONOMiTVIIr

et puiaqu'il y a des tangentes de toutes les grandeitrs (n\ 104 ), on pouiTa

supposer

ski

tang b cas C =r tang ^ = f

^ ^ cas 9

9 étant un angle , ou un arc , qu'on déterminera facilement par cette équa* tion. Cela posé on a :

, / , sin asin 9. . /cos a cas 9 + sina sin 0.

cas c = cos bi cos a ^ -) = cos ( )

N cos (p ^ ^ cos * ^

cosb cos (a — ,e) cos

Or ^ï, d, et sont connus , de même que a — 9..; ensorte que Ton peut trouver c.

On aura donc, ea rétablissant le rayon R:

tang b cos C cos b cos (a — 0)

tang = . * * cos c=: . • • (9).

^ R cosjp

544. Si te cosinus de c se trouve en plus par là formule , ce e6té aura moins de 100^, s'il se trouve en moins, ce c6té aura plus de 100^, enfin s'il se trouve nul, on aura c = 100^; ainsi il n'y aura point de doute sur la grandeur de c. Et comme un triangle sphérique est déterminé par ses trois côtés (n\ 332) , il l'est donc aussi par deux côtés et l'angle compris.

345* Si un des côtés donnés est égal au quadrant (n*. 341 ) , on peut tirer

des formules (9) ou de leurs analogues , celles qui conviennent à ce eas

particulier ; mais on les obtient plus facilement de CF). Si par exemple . • .

a = 100^, on a , par la troisième, cos c ^=sin b cos C; ou en. rétablissait

le rayon R :

sin b cos C

cos c = • .w (iO).

^46. Si l'angle donné C est droit, on tire pour ce cas , ou de (9), ou de (^), avec le rayon iî :

cos a cosb ^ ^

CQS c S -^r . . . (11).

347. Quand on a calculé le troisième côté , on retombe, pour trouver les deux autres angles , dans le cas précédent Mais si on voulait, avec les don* nées actuelles, a^ b^ C^ calculer immédiatement un des autres angles^ «comme A^ on tirerait de la seconde formule (1^) :

cota ^in b — cos b cas C cas C f cota sin b , v

COtA = r—r =î= -T— ^ f ^ cosb);

sm C sui C \ COS C ^

cot a cos #

faisant alors r; =zcot ^ = -: — , on obtiendrait :

cûs C sm 9

, ^ /CM sin b t \ s ^/cos^ sin b — sin^ cosby.