ûtA=::c(H C( : cosb ]:ssC0t C( z
^ SM ^ / > sm P ^
cotV sin(b^-^^y sin ^
Et pour trouver préalablement ^ on aurait :
cot a i i ^
== cot ♦, ou ^ =: — -— , ou long p «: tang a cos C
cos C tang a cos C tang ^
Rapprochant les équations trouvées ^ et rétablissant le rayon i? , il en résulte-
xmt»:
iang a cos C , , cot C sin (b-^^) ,,^^
tang P = ^ . .^ cot A =2 ■■■ ■ ^ ■ ■■ . . . (12)«
R smp
«348. Si le côté a est égal au quadrant, oa tire de (12) ou de la aeconde
Ibrmule (F):
cot € cot b
tôt A = ... (43).
Si c'est le cùié b qui est ^gfd au quadrant, on obtioat , par les mêmes for* «nules :
sin C tanct a tangA^ 5-^— ••• 0^)-
(Voyez n*. 341).
349. Si l'angle donaé C eti 4roit> 011 ae trottre par (12) que eot A =|,
268 TRIGONOMÉTRXB
valeur indéterminée; mai» la secondç formule (JT) donae immédiatement^ en rétabUssant le rayon R :
cot a sitib eotA:= . , . (lfr)v
360. Si on voulait trouver ^ non un: 8cul des angles -^ et -9 , mais tous Te* ^eux, il serait plus commode d'employer les analogies découvertes par îfeper^ et que nous allons faire connaître..
Comparons les formules (3) avec les. formules [(20) n\96], nous tire^^ irons d'abord dje celles-ci , en faisant le rayon 1 :
•yav -r /^ y» y-^tanglAitanglB
lyfais les fonnules (3) donnent , en multipliant le» deux prenùères par lih troi9ième, et faisant- aussi le rayon 1:.
Umg i A tang \ C= . \, .ai x ^
ùanglBtanglC=,-~ \) / -^
d*QÙ Ton tire , par addition :.
^ smlia-^r 6.+ c)
smli^a-^b-^rc):
.... [(13)nV92]..
C'est la valeur du numérateur du second membre dé la première équationi du numéro actuel ; cherchons aussi celle de son dénominateur. Les formules (3) donnent encore , le rayon étant 1 .
^ wn-ICa + ô — c)-
4'où l'on tire :
X — tang i A tang \ B
•^î/i|^(a + ô'+-cjf
8PHÉRIQUE. ; 269
siniia+k+a) '
ce qui forme le dénomînAteur cherché;
Subôtituatit enfin dans la première équation, ces valeurs du numérateur et du dénominateur de son second memb;:e , on obtient :
On trouYe , de la même, manière :
Et Pon peut d'iaillieurs écrire ces formules ainjsi, pour qu'elles sotent Traie»^ avec un rayon quelconque :
cosi(a + b){^ ... Cl% sin i ( a -^ b)
Ayant donc trouvé f ( ^ + jff ) et i (-^^ -— ^) , on aura facilement ^ et i?,, «t ces deux angles seront détenninés m mojj^en. des côtés opposés, a. et b et de l'angle compris C.
SCATRiiME CASi.
351. Etant dormes, deux angles et le côtii cfimpris y, trouver i\ Vautre angle y 2T. un aut^ecéte\
Les formules (Z) donnent immédiatement le troisième angje ; mais il faut aussi les rendre applicables au calcul par logarithmes.
Si on connaît -^, B et c , pour trouver C on prendra les formules (9),, et on les modifiera d'après l'observation du n^ 322 , en substituant d!aineurs, à ^ son complément à un. droit. ; on obtiendra ainsi :.
tang B cos c . ^ cos B sin {A -^ ^) cot ^ ==: — ^ — ... cas C=. : — ... (17J)..
270 TBrOONOMÉTmi
362. Si le cosinus de C se trouve en plus par la formule , cet angle ser* aîgu, s'il se trouvé en moins,^ l'angle sera obtus, et s'il est nul, l'angle sera droit ; ainsi il n'y aura point de doute sur sa grandeur. Et comme un triangle sphérique est déterminé par ses trois angles ( n^ 338 , il L'est donc aussi par deux angles et le côté compris.
363. Si le côté donné c est égal au quadiant, on tire de (17) » ou de (Z)^
avec le rayon (JIM*)*
cos A cos B ^ ^'^cos C=L^-^ ■ ••• (18^
364. Si un des angles donnés est droit (n\ 341 ), on peut tirer Ses formules (17) , ou de leurs analogues, <:elles qui conviennent à >ce cas; mais on les obtient plus facilement de {Z). Si par exemple ^df s 100 , la troi* sième donne:
sin B cos c ,, ^ cosC ^=^ ... (19).
366. Quand on a calculé le troisième angle , on retonbe , pour trouver les deux autres côtés , dans le cas des n^^ 336 , 337 ; mais si on voulait , avec les données actuelles ^ , ^ , c , calculer immédiatement un des autres côtés ^ comme a, on prendrait les formules (12), et on les modifierait d'après les principes du n^. 322, en substituant d'ailleurs à son complément à ua droit ; on obtiendrais ainsi :
tang A cos c cot c jcos (B — 0)
cot ^ = — ^-— -^ — ... cota=z i i ..• C20).
Ji cos ^
366. Si le côté donné c est égal au quadrant , on ne trouve par (20) que r(?/ a = §; mais la première formule {F) donne immédiatement :
cot Asm B ^ ^ cota= ... (2i).
367. Si Tangle A est droit , on tire de (20) ou de la première formule (l^j:
Dorénavant nouis rétablirons tonjours le rayon R dans toutes les formules.
• FRtRlQDl. 271
cot c cas Jf ^^^
col a s=5 ■ ■ ■ • » . (22).
Si c'est l'angle B qui est droit , on obtient des mêmes foi^mule» ;
stn c tang A^ ^ ^ tang a = ■■ ■ . • . (23).
Ji
( Voyez n*. 341 ).
358. Si on voulait trouver immédiatement, non-seulement un des côtés a et 6, mais tous les deux, il serait plus commode d'employer les analogies de Neper ^ que Ton conclurait de (16) par le procédé du n^. 322; et Ton aurait :
tang |(a + ô) —tang i c ' .,.. ^ , ,
cosia^ + B)^ ..(24>
^^ngl(a^b)^tanglc ^^^^^^^^^^
CINfiUlèMS CA8«
359. Etcmi donnés deux côtés ^ et un angle opposé à Tun deux^. trouver 1*. T cadre cdtéj 2*. Vangle opposé cm second côté donnée 3^. Tangl^ compris entre les côtés donnés.
Si Ton connaît fr, c^ti O, pour avoir a, on prendra les formules (9)» et sans changer la première , on considérera c(^^ ( a — * 9 ) comme Tinconnoe de la aeconde ; on obtiendra ainsi ;
tang h cos C ^ ^ cos c cos ^ ^ ^^,
tang ^=: ^ . . cos (a— ^) =i ■■ - ■ - ... (26).
Ji cos o
360. Ayant trouvé le cosinus dé a --^ ^> s'il répend, dans les table» à d degrés y on ne saura si Ton doit prendre a — • ^ égal à + ^ ou égal k—^d; car un cosinus appartient toujours à deux arcs égaux Tun en plus et Tautrit en moins. £n d'autres termes » on aura a = o. + «f ; valeurs qui peuvent être toutes deux en plus; comme cela est nécessaire, parce que a ne peut pas être en moins. D*où il résuite qu'un triangle n'est pas détemûné, généralement parlât , par deux c6tés et tta angle opposé à l'un de ces côtés.
272 ' TK.KJONOMÉTJIIE
Cependant il faudrait rejeter Ic8 valeur» qui donneraient un plu« grand angle oppo8é à un plus petit côté , tout comme celles qui donneraient des angles ou des côtés en moins , ou plus grands que 200^ ; ce qui dans bien des cas détruit Tambiguité.
361. Si le côté donné b est égal au quadrant, on ne trouve par (25) que
^n a = §; mais la troisième formule (^) donné immédiatement: /
Il cas c ^ .^
^in a = — ■ . • . (26) ;
et le triangle est indéterminé , parce que chaque sinus répond à deux *an-
gles ou à deux arcs qui sont supplémens lun de l'autre.
Si c'est le côté cqui vaut 100^, on tire de (25) ou de la troisième for^
mule(^):
long b cas C cota z=z i- , . . (27) ;
ensorte que le triangle est alors déterminé.
362. Si Tangle doxmé C est droit , on tire facilement , ou de (2S) ^ ou de
R cos c
-cas a = p- , . • (28):
cos b
et dans ce cas encore le triangle est déterminé*
363. Connaissant toujours ô, c, et C, pour trouver immédiatement B^
on tirera de (JE) :
. sln b sin C
^ sm£ =: : — — , . . <20);
sin c
valeur qui sera constamment en plus ; mais on ne saura pas dans tous les cas si elle appartient à un angle aigu ou obtus. Cependant on pourra sou*^ vent lever le doute comme au n^ 360.
