Prenons x=z ^ — , ce sera la même chose que

cLbc def ghi

mn mn mn

quantité qui se construira facilement par tout ce qui précède.

abc + def Que Ton ait ^ = — : ; — , c'est la même chose que :

abc + def

et si Ton prend une ligne m égale à A -] , ce qui est facile à trouver, la

formule à construire deviendra :

abc + def

gm et rentrera par conséquent dans la précédente.

46. Ces procédés, dans de certains cas, peuvent se simplifier; en voie! des exemples.

Soit X = • , au lieu de préparer cette formule ainsi l

m-^rn

. \ ab , bc , . bCa + c) • j-

-& = — H — ' — -— , on écrira ar=2 ; , ce qui donnera. • -

, m + n m + n m-rn

COK».Tft0ITX5 r AB :LA OiOlCÉtBIX. 25

aa *^ bb eut bb

Sok a? =s , au lieu d'éciîrc x =. — >•-'— — , on fera ......

m mm

= -^i — — — , dou Ion tirera m:a + 6::« — b:x.

abcc-^aabb , , * ,

Soit enfin Jt?= — , c est la même chose que

abc + ccc.

donC|

nb / ce — ai V ab / c ^ v

^ ~ ~\ ab + cc / ~~ vlT+^c /

ai ^ ab ah

AI. Puisque nous avons déjà vu les élévations aux puissances (n^. 42 )| ▼oyons donc à présent les extractions de racines.

• a?=^\Ax donne a:* = a ou ir*=:a/, d'où l'on tire l:xi\x:a. Cette construction se réduit donc à trouver une moyenne proportionnelle entre / et a ( Géom. App. Probl. XVI ).

x^=^ab donne a:* = a6 , puis aixi'.xib; ce qm est la même construction que la précédente.

x-^^f^abc donne x'^z=:.abc^ ou lxx=zabc^o^3cx=z(j~\ c; on fera

donc ^ \x::xzc.

^ X = \/a + b + etc. revient à rr = \/m , tout comme x = ya^-^^^b^-^etc.

a: = v (ût+ô) (c- — cî) efc. fev'.ent à x:=i^mn etc.

X == \/a6 + 6c est la même chose que x =3 ^b ( a + c ) , et revient «i

aîs^/oa + ^c est la même chose que a: = \/a(a+-7 ), et revient

aussi à ^mn. On cherchera donc d'abord une ligne égale à i£ , on l'ajou-

bc *

tera avec la ligne a , pour avoir a + — , et l'on prendra enfin une mo/eiïne

proportionnelle entre a et a +

x^=^ab + cd est la même chose que ^==l/a(6Hhv^> ^^ ^ ^^^' tre dans le cas précédent»

26 fÙn'KVttB- <A£6£BmifiOB9y

scr;^y/ab + cd — ^/revient kx=t V^ (* + -;; t^î on cliercîi«-a

donc d'abord une ligne m=:6 + ---— — , et on n'aura plut qu'à cons*

x^=zy/am.

x = \/ ^ revient à y^m, tout connue a?=î=\/|., parce que^=^ .

▼ m+n T ^in+»/ * ^m+n^^

tre dans la formule a? = y^S^HhSi,

48. Pour construire x — \/a* + 6* , on pourrsût faire a: = \/^ C <at H — ^ ) # ce qui reviendrait aux formules précédentes ; mais il est facile de voir que X est ici rbjpoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont les lignes a et 6 ; ainsi la construction se lurésente d'elle-même.

Pour construire a? = \/a* — 6*, on pouiTait faire 37 = v( a+i ) ( a — b) ; mais il est clair qu'on peut aussi considérer x comme un des côtés de l'an-^

;le droit d'un triangle rectangle , dont l'hypotëuttee est a et l'autre côté b.

\i Ton décrit donc un cercle sur la ligne £E, égale à a y prise pour dia« mètre > fig. 4 » que l'on porte ensuite en B^ la ligne b ^ comme corde de ce cercle, et que l'on joigne j4E , ce tte dernière ligne sera a?; car l'on aura a:*==a*-— i* ou x = \/a^ — 6^

Si l'on avait x = y^a* + 6* + <?* + ^. 9 an Ken de procéder comme dans le n*. 47^ on prendrait Aff^ % 8, égale à a, l'on mettrait £C^ é gale à b^ i angle droit avec jÉffy et joignant AC^ cette droite vaudrait \/a*-h6* ; inettaqt ensuite CZ?, ég ale à g, à an gle droit avec ^C, et joignant j4D » te tte droite va udi^it \/a^ + ô* + c* ; on continuerait de même pour avoir

^a* -h 6* + ^* 4- «<^ ou X.

Dans le cas où il y aurait sous le radical des carrés en iBoins , on ferait , par ce qui précède, la somme des carrés en plus, puis celle des carrés en moins , et l'on n'aurait plus à construire que la formule y^m* — n*.

49. Il est à remarquer qu'on peut ramener aux, formes du numéro préi* cèdent toutes l es quantités radicales du second degré : si l'on a, par exem* pie , x = ^ab + cd — ef^ on pourra chercher d'abord une ligne m égale à \/ab , une ligue n = ^cd^ et une ligne p = ^ef; on aura alors m^=zàb^ n* = c d et ii^:=zej; e nsorte que la foiinule à construire deviendra

. 50, Voici maintenant deux expressions un peu composées sur lesqueÛes os pourra s'exercer.

Supposons d'abord :

si l'on prend une ligne m==\/c*-jrcl^ et une ligne n = \/ab -\- cd y am aura m* = c* -4- f^ » ti r? ^=ab -^ cd ; ensorte que la formule deviendra :

En prenant alors une ugne p = , on aura pr = — — ; et il ne restera

plus qu'à construire x = \/a^—^p\

Supp osons ens uite x = \/a* + b \/c* — df; on prendra une lig ne • . , m = \^c^ — d* , et l'on n*aura plus qu'à construire x = \/a^ + 6m.

5i. Prenons enfin l'équation générale du second degré x^ dzP^ it 7 = o» mais pour être sûrs que x n'ait aucune valeur en moins , râleurs dont nous nous occuperons bientôt , prenons-la sous cette forme a;* •— /lo? — - qr = o ;

elle donnera: '

^ = îP + \/iA^* + ^.

Je n'ai mis au r&dical que le signe plus , toujours pour éviter les valeurs en moins.

Cela posé , on cherchera d'abord une ligne t = x/ql , et l'on aura • • . • t^ =zql=zg; ensorte qu'on n'aura plus qu'à construire

x=:lp+x/T[p7+K

52. Il résulte de tout ce que nous avons vu dans ce chapitre , que les équations déterminées du premier degré peuvent se construire par des intersections de lignes droites ; et que pour consttiiire celles du second degré on n'a besoin que de la ligne di*oite et du cercle. Quant aux équations de degrés . plus élevés, il faut en général faire usage, pour les construire, de courbes qu'il est difficile de bien choisir et de décrire ; ensoite que les méthodes purement algébriques sont , dans ce cas , bien préférables.

Cependant les radicaux du 4**. degré, du 8°". degré , etc. , rentrent encore dans

les méthodes précédentes. Pour construire a; = \/a , on prendra une ligne

m=:v^a (n^ 47), et l'on awra /n* = a et :r = y m* =: >v/m.

28 , lOKÈÊavEÉ ALGÊimïQUEs , coNSTturrss fRB i^ oiùutnm.

Si Ton ar^t ar = yab , on chercherait un ligne m = y oft ( n*. 47 ) , et Ton aurait m^ = ab et a? = \/m* =? y m.

Si l'on avait x=^yabc^ on chercherait tme ligne in:=z\/abc (n*. 47),

et Ton aurait m* = aôc et a? = y '^^ = V^- £t ainsi de suite.

Si la formule était x = \/a^b* , il est clair qu'on aurait , par une simple

séduction , x = y^ai ; ce ne serait donc pas proprement un radical du quatrième degré,

>Si Ton avait x = y a , on chercherait une ligne m = y a , et Ton aurait

fn^=:a et a? == y'm* = y m.

Ayant x = yab , on chercherait une ligne m = yab , et l'on aurait . • .

rn}=zab et a? = ym* = yOT.

£t ainsi de suite.