SI le triangle est rectangle en R, on a = mettant cette
valeur à la place de i* dans le dénominateur de l une de ces fonnules, de la seconde par exemple, il se réduit à ou à 2ad\ cnsorte que la
formule elle-même donne, pour ce cas, ar = |6; c’est-à-dire que le rayon est alors la moitié de la corde AD, En effet, quand l’angle B inscrit est droit , AD devient diamètre et passe par le centre , ce qui fait que le rayon est bien la moitié de AD,
22. Etant donnés les trois cétés d’un triangle quelconque , trouver sa surface et le rayon du cercle inscrit.
Soit ABD, fig. 5, un triangle quelconque, dont on connaît les côtés a, b, d, on demande sa surface s et le rayon r du cercle inscrit.
1°. Pour trouver cette surface, il faut depuis un des angles, comme A, abaisser une perpendiculaire AP sur le eôté opposé a, ou sur son prolongement, et désignant cette perpendiculaire inconnue par x, on aura;
il s’agit donc de calculer d’abord la valeur de x.
Or on a Z)P = \/b* — et BP = \/(P — , ce qui donne , en dé^ignatit
par b le plus grand des côtés b etd:
et de là on tire , par des calculs semblables à ceux du n’. 20 , ou l’une ou l’autre des formules suivantes :
JuPtp — ( a’ -+- d* — b-)* ,
sur quoi il faut observer que la lettre a , qui est au dehors du radical , désigne le côté sur lequel tombe la perpendiculaire.
En prenant successivement ces trois valeurs de x, et les mettant dans (1) on obtient : .
s = J y/libhP — ( 6* -h d> — a> ) » ; )
c'est l’expression de la surfaoe du triangle. Du reste nous allons transformer ces formules eti une autre qui sera plus avantageuse pour l’application du cal-
QUESTIONS O É OMÉ T R IQ U El , cul , surtout si on Tcut opérer par logarithmes , et qui se montrera plus ty~ métrique l'clativement aux trois côtés.
En se souvenant que la différence de deux carrés est égale au produit de la somme des racines par leur dilFérence, on pourra écrire ainsi la première fonnule ( 2 ) :
j = Jy/[2o6-|-i.a*-l-ô> — [2aô — (a’ + ô> — </*)]; ce qui est la même chose que :
J = i >/[(«*+ 2aô + ô*) — cf‘] L«^—(«’ — 2aô + ô’)] ; eu que :
J = i v/[(o + ô)-— i/*] [ti* — (a — ô;*]; et , par le principe dcj.à cité :
s = \\/ {a-^b + d) (rt + i> — d) {d + a — ô)(cf — d'où l'on tire, en divisant la quantité sous le radical par 16 , carré de 4 : s = y/ \ia+b-^d). {{a+b — d). \{a+d—b). {{b+d—a).
Cela posé, si l'on fait|(a+6-+-<f) ou le demi-périmètre égal à p, on aura \{a + b — d) ou \{a-\-b-^d — 2d) ou l^a + b-^d) — d=p — d\ on trouvera de même + — b)=p — b, et {{b + d — a')=p — a; ensorte que la dernière fonnule deviendra :
s = Vp(.p — (0 — (p—d).... (S),
dans laquelle , comme nous le savons , p exprime le demi-périmètre , cia , b , d, ks côtes. On trouverait le même résultat au moyen des autres formules f 2 '.
2°. Maintenant si depuis le centre Cdu cercle inscrit, on mène CA, CB, CD, on décomposera le triangle principal en trois autres CAB, CBD , CDA, et la somme de leurs surfaces vaudra celle du triangle principal. Pour calculer ces surfaces, on abaissera sur les bases AB, BD , DA, les perpendiculaires CE, CF, CG, qui seront des rayons, et l'on aura CAB =-~rd , CBD = \ra CDA = {rb; ajoutant l'on obtiendra :
s = lr(a+b + d) = rp,
et par conséquent ,
ou ce qui revient au même ;
23. Du reste la formule s = rp, nous apprend que si l'on connaît le rayon et
RÉSOLUES PAR l'algèbre. 13
le contour, on peut trouver la Burface en multipliant le demi>contour par le rayon ; et la formule nou* dit que si l'on connaît la surface et le contour, on peut trouver le rayon en divisant la surface par le demi-contour.
2L Si le triangle A BD est rectangle en A, on a a’ = 6’ + rf* ; mettant cette valeur de a’ dans l’une des formules ( 2), par exemple la dernière, ou trouve :
s-=\bd-,
c'est-à-dirc qu’alors la surface vaut la moitié du produit des deux côtés de l'angle droit ; ce qui est d'ailleurs évident , puisque l’un est la base et l’autre la hauteur.
Mais si l’on met cette valeur de s dans (4) on a;
hd bd
Or en écrivant le dénominateur ainsi, on peut le considérer
comme la somme des deux quantités 6 -f- d et a ; donc si on le multiplie par la diirérence de ces mêmes quantités ou par (ô -f-rf) — fl, on aura au produit la diitérence des carrés de ces quantités ou ô* -f- 2bd -|- rf* — fl’ ; ce qui revient à — ô’ — d} o\i&2bd. Ainsi ( a-J-ô-f-d) — a^ = 2W,
et par conséquent
W=(fl-+-ô-f-d). 5(ô + d — fl};
d’où il résulte que
Si le triangle était rectangle en Zf , on aurait ô* = a’ -J- d* , substituant dans la seconde formule (2 J on aurait s = | ad, et ensuite r = p — b.
Enfin s’il était rectangle en D, on aurait d* = a^ , et l’on obtiendrait, par la première formule ( 2 ), s = ~ab , d’où l’on conclurait r=p — d.
C'est-à-dire qu’en général, dmis le triangle rectangle , la surface vcmt le demi-produit des deux côtes de F angle droit , et le rayon vaut le demi-contour moins F hypoténuse.
Nous allons trouver encore cette valeur du rayon , par un calcul particulier, 25. Etant donc donnés le* trois côtes d’un triangle rectangle, trouver im~ médiatement la grandeur du rayon du cercle inscrit à ce triangle.
On connaît les trois côtés « , 6, d, fig. 6 , du triangle ABD, rectangle en d , et on demande CE ou x.
On sait que la ligne AC partage l’angle A en deux parties égales ; chacune d’elles vaut donc un demi-droit. 11 suit de là que le triangle ACE, rectangle en
|4 QUESTIONS ojSométiuq V?l,
£, est Isocèle et donne CE ou x = AE\ mais AEr=AO^ tout commo BE—BF ci DG^DF; appelant donc le périmètre entier 2p, on a CE ou AE ou
x=2p — 2BF—2DF — x;
d’où l’on tU’c :
Ainsi le rayon est égal à la moitié du périmètre du triangle moins Ihypoténuse ; ou , ce qui revient au même , il vaut la moitié de la somme des deux côtés de l'angle droit moins la moitié de rh>’potcnuse. On peut donc facilement le calculer.
Si par exemple les deux côtés de l’angle droit étaient de 3 et 4 pouces et l’hypoténuse de 5, le contour serait de 12, sa moitié de 6 , d’où retranchant l’hypoténuse 5, il resterait 1 pouce pour la longueur du rayon.
26. Etant donnés l'hypoténuse dun triangle rectangle , et le rapport de ses deux autres côtés, trouver sa sur/ ace.
Soit a, fig. 6, l’hypoténuse du triangle, et représentons les deux autres côtés inconnus beid par x et par y\ enfin supposons que l’on ait :
x:y::in:n,
les deux nombres m et n pouvant varier, pourvu que leur rapport ne change pas et soit connu.
On tire de cette proportion ;
ensorte qu’un des côtés de l’angle droit étant cr, l’autre est ^ a? ; ce qui donne pour l'expression de la surface s , cette première équation en x :
d’un autre côté , on a ar* + 1 /’ = a* , ou
TW*
équation de laquelle on tire :
m’rt*
substituant cette valeur dans (B), on obtient :
Ans
xésOLUBS PAR I,’AI.«iRRX. 15
Si on voulait calculer la valeur des côtés de l’angle droit , on prendrait x dans ( C ) et substituant dans (A), on aurait :
x ou 6 = y ou<i =
ma
na
Enfin si l’on prenait la moitié du produit de ces deux quantités, on retrouverait l’expression de la surface ou ( Z) ), comme on le voit d'un coiip-d’œil.
27. Si le triangle rectangle était isocèle, il faudrait faire n = m et les formules ( £■ > et ( i) ) donneraient ;
C’est-à-dire que la surface <Tun triangle rectangle isocèle, est le quart du carré de F hypoténuse ; ce qui est d'ailleurs évident.
28. Etant donnés la somme des trois càtés d'un triangle quelconcfue , et les rofyports qu'ils ont entr'eu r , trouver ces côtés.
Soient les trois côtés inconnus x,y et z, désignons par 2p leur" somme connue ou le périmètre du triangle, et supposons que l’on ait:
on en conclura :
d’où l’on tirera , en mettant 2p à la place de a. + j/ z , et 2à‘ à la place de / + m +p-
Si on veut alors la surface du triangle et le rayon du cwclc inscrit , on les calculera par les formules du n®. 22.
29. Etant donnés le périmètre d’un triangle rectangle et le rapport de * Thtjpoteimse à la sonune des deux autres côtés, déterminer la surface du triangle.
Soient x l’h>'poténusc ,y etz les deux autres côtés , et f la surface cher; chce; on aura d’abord s=î.\xy. Mais puisque nous connaissons le rap-
10 ftüESTrOKS OÉOMÉTRliJVIS,
port de l’hypotémue à la somme des deux autres côtés, supposons que
l’on ait:
on en tirera:
î/ + s = — X.... (2), y* + 2zy + z' — ^x*;
mettant à la place de le carré de l’hjpoténuse x*, transposant, ré-
duisant et divisant par 4, on obtiendra:
* xy ou f = -
Cherchons donc à présent.Ia valeur de x* pour’ la substituer ici. La proportion ( 1 ) donne :
d’où l'on tire , en désignant pai' 2p le contour connu x 4* y "l" s ;
faisant le carré , prenant le quart ^ subsituant dans ( 3 ) et réduisant , on obtient :
Observons que nous avons trouvé outre la surface s , l’hypoténuse x ; cherchons aussi les autres côtés y et z. On a d’abord, par la propriété du triangle rectangle, et par (4^:
^ — J/’ = T^TT-rrr-- y’ •'
d’ailleui-s (2) et (4) donnent:
élevant au cai-ré et égalant les deux valeurs de z*, on aiua une équation du second degré en y , laquelle étant résolue donnera :
Et comme les équations qui ont donné les deux valeurs de s* , que l’on a égalées pour éliminer z , sont les mêmes pour z et pour y , si l’on eût éliminé y au lieu de z , on aurait obtenu pour z les mêmes valeius qu’on a obtenues
pour'
BÉSOLUES PAR L'ALCiBRI. 17
pour y ; en*orte que ces deux valeurs sont celles des deux côtés désignés in- (Utréremment par y et par z.
30. Trouver la surface et les côtés x et y , fig. 6 , d'un rectangle , dont on ne connaît que le contour c et la diagonale d.
Il est évident qu’on a les équations ;
la première donne , en la carrant, pour avoir un terme qui exprimera la sm lace :
a;* 4- 2ary + S'* = î c» ; d’où l’on tire, au moyen de (.5) :
et en divisant par 2 :
xyo\xs — \c* — (C).
C’est-à-dire que la surface dun rectangle vaut la huitième partie du carré du contour , moins la moitié du carré de la diagonale.
Maintenant si l’on met à la place de y dansf C) la valeur de cette lettre prise dans (A'), ou ic — x, on aura une équation du second degré en x ,
qui donnera :
x = lc±,Ÿ'ld^ — ^c*.... (D).
On trouverait le môme résultat pour y si l’on mettait dans ( C) la valeur de X prise dans (.A), parce que ces deux équations {A) et ( C ) sont symétriques en ar et en y ; d'où il résulte que la première de ces deux valeurs appartiendra au plus grand côté , et la seconde au plus petit.
31. Si l’on suppose que J d* = ^ c*,‘on aura, au moyen de (i?) et d’après fit que nous venons de dire :
x = lc, y=’fC,-
c’est-à-dire que chaque côté vaudra la quatrième partie du contour ; ce qui est le cas du carré.
Or cette équation \ c = x, donne mettant cette valeur dans
|d* = ^c*, on a |d* x’; d’où l’on tirefl* = 2x* et d = x\/2; ce qui est
le principe de la diagonale incommensurable avec le côté du carré.
D’ailleurs en supposant jV c’ = J d* , on a j c’ = d* ; mettant donc dans ( C) d* à la place de g c*, on trouve :
c’est-à-dire que la surface dun carré vaut la moitié du carré de sa dia~
QUESTIONS CÉOMÉTKIQUES, qoiuxle; ou que si F on construit un carre sur la diagonale ^un antre cami, eciui-tà est double de celui-ci. ( Gcom. Liv. IV. Th. IX. Cor. IV ).
.32. Trouver les rapports de la surface de la sphère avec les sur/aces latérales et totales , soit du cylindre droit circonscrit , soit du cdne éguiiatcral utssi circonscrit.
Désignons f>ar 2r le diamètre de la sphère, et par t : » le rapport général du diamètre à la circonférence du cercle, on aura d’abord 1 :»::2/ ;2»rj et de là on conclura :
Circonférence de la s))hère . . . 2 » r ,
Surface d’un grand cercle »•/•*,
Surface de la sphère 4 » r*.
Le cylindre circonscrit a poim base un grand cercle de la sphère, et pour hauteur le diamètre, ainsi:
Surface latérale du cylindre ...2»rX2r = 4»r*,
Surface totale 4»r* + 2»r* = 6«' /•*.
Le cône équilatéral circonscrit a pour diamètre de sa base , tout comme pour apothème, 2ry'3 (n*. 13), il faut donc faire 1 ;»::2rv^3: 2*ry'3, et l*o» aura :
Circonférence de la base ... 2 » r y'S ,
Siu'face de cette base 3 .
Surface latérale du cône .... 6 » r* ,
Surface totale du cône 9 * r*.
Nous pouTons conclure de tout cela: 1*. que la surface de la sphère est égale à la surface latérale du cjlindi'e droit circonscrit ; 2". qu’elle est les deux tiers de la surface totale de cc cylindre, et aussi les deux lici's de la surface latérale du cône équilatéral circonscrit ; ensorte que la surface totale du cylindre est égale à la surface latérale du cône *, 3°. que la surface latérale du cône est double de la surface de la base, et qu’elle est les deux tiers de la surface totale; ensorte que ces trois surfaces sont entr’elles comme 1 , 2,3; 4°. que la surface de la sphère est à la surface totale du cône comme 4 est à 9. Les surfaces totales des trois corps Sont donc enlr'elles comme les nombres 4,6,9; ensorte que celle du cyliadi'c est moyenne proportionnelle entre les deux autres.
33, On trouverait de la môme manière que les surfaces de la sphère, du cylindre droit inscrit (*),ctdii cône équilatéral inscrit, ont pour expres-
(*) J’enUnds celui dont le diamètre de la base est égal à la h.'tulcur.
nésoLUES PAi l'alcébrf. iÿ
8 Î 011 4»/-, 3»r*, |»r*(n”. 8 et 9), et sont entr’elles comme les nombres 16 , 12 , 9 ; ensorte que la surface totale du cylindre inscrit est aussi moyenne propoilionnelle entre celle de la sphère et celle du e6ne équilatéral inscrit,
34. Quant aux volumes de la sphère , du cylindre droit circonscrit , et du
cône équilatéral circonscrit, on trouvera facilement qu'ils ont pour expression f ils sont donc aussi entr’eux comme 4, 6, 9.
Mais les volumes de la sphère , du cylindre droit inscrit , et du cône équilatéral inscrit, ayant pour valeur }»/•», J»/-’y'2, |»fS, leurs rapports ne sont plus les mômes que ceux des surfaces de ces corps. Cependant la solidité du cylindre est toujours moyenne proportionnelle entre les deux autres.
35. Ne quittons pas encore la sphère ; supposons q\ie le secteur circulaire ACn, fig. 7, tourne sur AC., il décrira un secteur sphérique CDAE, dont nous allons rechercher le volume.
Or il est évident , par les n°. 45 et 38 du Liv. X des Elémens de Géométrie, 1*. que le volume de ce secteur est égal à la surface circultiire décrite l>ar l'arc multipliée par le tiers du rayon /•; 2®. que cette surface ellemèine est égale à la circonférence d'un grand cercle de la sphère, multipliée par la ligne AL, que l'on détermine en abaissant />L perpendiculairement sur- AC. Nommant h cette ligne AL, on aura donc :
Circonférence d'un gr.and cercle ... 2 *■/•,
Surface sphérique décrite par AD . . . 2 » r/t ,
Solidité du secteur sphérique jîr ;•*/[.
On voit par là que si l'on compare les volumes de deux secteurs d'une même sphère, appuyés sur des calottes dont les hauteims sont h ‘ci h' , ces secteurs seront entr'eux comme les hauteurs des calottes.
36. Cherchons maintenant le volume de la calotte décrite par ADL.
Il est évident qu’il est égal à celui du secteur sphérique, moins celui du «ône droit décrit par CDL. Or le volume de ce cône vaut surface DLyc\ CL ; d'ailleurs DL est moyenne proportionnelle entre AL et I.ff, ou entre AL ti AB — AL , ou entre hd 2r — h; ainsi DL = — T/i* ; ce qui donne ;
Circonférence de DL 2» y' 2/ A A*,
Surface de DL , «r(2rA — A* ),
Volume du cône » »(2rA— -A‘) (r — h),
Volumede la calotte, réduct*. faites . , . a-A*(r — |A).
37. Si on voulait avoir le volume du solide décrit par DL CO, en supposant le rayon CG perpeadiculaire sur AC, il faudrait de la demi-sphère décrite pai
QUESTIONS OÉOMÉTBIQüES ,
■‘iCG soustraire la calotte décrite par ALD. Mais pour faire entrer dans l’expression de ce volume la hauteur CL de la zone en question , il faudra nommer cette hauteur i, et mettre, dans le volume de la calotte, r — t à la place de h. Cela pose on aura:
Volume de la demi-sphère (n". 34)
Volume de la calotte (n“. 36) f*'(2r* — S/r’ + i’),
Volume de la zone décrite par CZ,/?(7, réduct’. faites .. . » (ir* — j t’).
38. Maintenant il sera facile de trouver le volume de la zone décrite par PJ.DM; il suffira pour cela dé retrancher du volume de la zone precedente, celui de la zone décrite par CP MG, dont on suppo.se la hauteur CP désignée par k. Or ce volume égale, pai* ce qui précède, ^ (Ar’ — |A’); on aura donc, pour celui de la zône de PLDM:
— Ji’) — <r(kr'^ — %k^), quisereduit — A') + |(A’ — *’)]•
Mais pour ne laisser dans cçtle expression que des lignes qui appartiennent à la zône, faisons PL=zl, PM=in, DL-^n, nous aurons d'abord.... i=.k-{-l, et si nous mettons cette valeur à la place de i dans la formule précédente , elle deviendra , après les réductions :
Or f* — A* = (^r-4-A) (r — k)=zBP x.PA^PM* = m^ ; donc la formule peut encore s’écrire ainsi:
^l(m* — kl—}P);
et il ne reste plus qu’à voir ce que vaut kl exprimé en /, m , n.
Puisque r’ — A* = , on a r* = m® + A* ; mais , d’un autre côté , le triangle
C/,/>donner®=n*-|-P, et parce quet=A+f, onar* = n* + A*+2A/+^;
égalant la première et la dernière valeur de r®, on trouve
m* A’ =«’-+-A^-f-2A7 -+-/*; d'où l’on tire, après les réductions: kl z=^(trP — n- — P);
mettant enfin cette valeur de kl dans la formule, elle devient, calcul fait:
Cette expression étant indépendante du rayon peimet de calculer la solidité d’une zône , lorsqu’on connaît sa hauteur et les rayons de ses deux bases. Remarquons que l’on peut encore écrire ainsi cette même formule : K^ifP+wn^) l + l^P.
On voit alors que «■m* et »«’ sont les surfaces des deux bases de la zône, dont / est la hauteur , et que J » est le volume d’une sphère qui aurait pour diamètre la hauteur l de la zône. On peut donc dire, comme Legendre,
xisOLUES FAR l’ALCÉBRE.
que la solidité dune zone a pour mesure la demi-somme des beises , multipliée par la hauteur , plus le volume dune sphère dont cette même luuitcur serait le diamètre.
r 39. Du reste , pour que la zone devienne une calotte , il n'y a qu'à supprimer la base supérieure, ou faire /i = o; alors la formule précédante «c réduit à ceci :
Or il est facile de voir que le premier terme est le demi-volume d’un cyliadre droit, qui aurait pour bosc la base de la calotte ou m, et pour hauteur celle de cette même calotte ou l; quant au second terme, il n'a pas changé. Ün peut donc aussi dire, avec Legendre, que le volume dune calotte vaut la moitié d'un cylindre de même base que la calotte et de même hauteur qu'elle , plus une sphère dont celte hauteur serait le diamètre.
Mais cette règle s'accorde-t-elle avec la formule du n®. 36 ? C'est ce qu'il faut examiner.
Et d’abord , si dans cette formule on met l au lieu de h , pour représenter la hauteur AL, on a :
•l'ir — |/);
ensuite le triangle CDL donné = — ly , parce qu’actuellement
DL — m ‘et AL = 1, et de là on tire :
mettant cette valeur dans la fonnulc précédente, on trouve, après toutes les réductions :
ce qui montre l’accord du n*. 36 avec celui-ci.
