AE^BD+AB'ADE
AD
BG+GE omBE = et en multipliant par AD :
BE'XAD =^AE-XBD + AB-X, DE.
C’est-à-dire ique dans tout quadrilatère inscrit , le rectangle des diago»
■ isOLDZS FAR I.’ALCiBBE. 7
noies est égal à la somme des deux rectangles que Ton peut former avec les côtés 'opposés.
15. Cela posé, ôn demande de trouver une équation qui exprime le rapport qu’il y a entre les trois côtés (T un triangle inscrit dans un cercle et le rayon de ce cercle; ensorle qu'une de ces quantités étant inconnue, on puisse la trouver au moyen des autres.
Soit ABD, fig. 4, le triangle en question, on demande le > rapport qu’il y a entre a, 5 , J et le rayon r.
Pour rattacher cette question au lemme précédent , et pour que le rajoa fiasse en même tems partie de la figure , je mène du point B k diamètre BE, et je joins AE et DE ; alors J’ai, par le n*. 14:
2rb = AEXa-^DE>^d.
Mais , puisque les triangles BAE, BDE , sont dans ce cas rectangles en A ci en D , on
AE = ^/Àr^—d'
DE~‘s/TF^' ;
quantité.s que nous ne prendrons qu’avec le signe plus , d'après ce que noua avons dit au n®. 7, et qui ne seront d’ailleurs Jamais imaginaires, puisqu’une corde comme d on a n’est jamais plus grande que le diamètre 2r. Mettant ces valeurs, dans l’équation précédente, à la place de AE et de DE, elle
devient :
2rb = a ^Àr^ — d* + d y'4r* — a* . . . {A). •
C’est la formule demandée, que nous allons appliquer à quelques cas particuliers,
16. 1*. Etant donnée la corde BD ou suT un arc , trouver la corde AB ou b du double de cet arc.
Comme une cordc répond toujours à deux arcs , qui en général sont inénous supposerons , dans ce problème et les suivans , que chaque corde est rapportée au plus petit des deux arcs qu’elle soustend ; car quand on connaîtra un de ces arcs, on connaîtra aussi l’autre, puisqu’ils composent «ntr’eux la circonférence entière. D’ailleurs cela simplifiera les résultats , çt évitera l’emploi du double signe au-devant des radicaux.
Dans la question actuelle , on suppose les arcs AB et BD égaux , et par conséquent leurs cordes d ci a sont égales ; de plus b, qui est riûcoanuc, •e représente par x ; ensorte que la lonnule iA) devient ;
2UZSTI0NS CÉOHÉTatQUBS, 2rx^2a\/ — a*.
d’où l’on tire :
Si l'on «voit a = 2r , on trouveroit — x = o ; et en effet quand a =s 2r l’arc devient la demi-circonférence ; or la corde de la ciiconférence entière est certainement nulle.
En faisant a < 2r, si r = \/ ^ — , on a x = a; c’est-à-dire que la corde de l’arc double est égale à la corde de l’ai c simple. Mais de /^v' Àr* — a* , on tire facilement a = r\/3, ce qui est la corde du tiers de la circonférence (n". 8) ; donc les cordes du tiers et des deux tiers de la circonférence sont, égales ; cc qui est du reste évident. Il faut remarquer que quand deux arc« composent la circonférence entière , leurs cordes sont toujours égales ; mais ce n’est que dans ce cas-ci que le second arc est double du premier.
Si r< •v/4/'* — a*, on aura x > <j; ensorte que la seconde corde sera plus grande que la première. Or de r < — à*, on tire a < r^3; c’est-à-
^re que quand la corde donnée appartient à un arc moindre que le tiers de la circonférenc e , celle d e l’arc double est plus grande.
Enfin si r > — a*’ on a x< a; et dans ce cas a^ry/3-, de ma-
nière que si la corde donnée appartient à un arc plus grand que le tiers de la circonférence , celle de l’arc double est plus petite.
17. 2*. Etant donnée la corde AD ou b d'un arc, trouver la corde AB ou d de la moitU de cet arc.
On suppose encore les arcs AB et BD égaux , de même que leurs cordes d et a, et l’on demande la longueur de ces cordes. Il faut donc mettre, dans la formule (^A) , la lettre x à la place des lettre s d et a; elle devient ainsi :
2rb = 2x \/ — x* ;
divisant par 2 , élevant au carré , et transposant , on aura une équation du quatrième degré en x , que l'on pourra résoudre comme une équation du second degré, et qui donnera (Algèbre d’Emile, n”. 517) :
X = V2r^—^Âr*—r^b^ . . . (^B) ou par le n®. 619 du meme ouvrage:
X = y' /■‘-J tI rb — y'r’ — |r6 . . . (C).
Quant aux signes que nous avons mis ici, voyez les obseï valions des n®*. 15 et 16. Il est du reste facile de voir par (C) que x sera toujours en plus.
Si
x£soldK3 fab l’alg^bbe. 9
Si l’on a^’ait , par exemple , b = 2r, l'arc de cette corde ne serait autre chose que la demi.circonfcrence, et l’on trouverait, par ( ^) ou par (C), x — r\/2 pour la corde du quart de cercle (n“. 9).
Si l'on avait b = r\/.^, l’arc de cette cordc serait le tiers de la circonférence , et l’on trouverait très-vite , par (B), x = r pour la corde de la sixième partie de la circonférence, ou du côté de l'hexagone régulier inscrit. On aurait le même résultat par ( C) combiné avec la règle du n®. 519 de l’Algèbre.
18. 3*. Etant données les cordes AB, BD, ou d et a de deux arcs, trouver la corde AD ou b d’un arc égal à leur somme.
U suffit de mettre dans la formule (A) x à la. place dé b et l’on a ;
2rx — a \éÀr^ — d*-4-£/y'4r- — a* ;
d’où l’on tire :
Si on avait, par exemple, d — r\/3 et a = /-, les deux arcs proposés seraient le tiers et la sixième partie de la circonférence, et l’on ü'ouverait x = 2r pour la coide de j + j =
Si on avait d~a — r\/d, chacun des arcs vaudrait le tiers de la circonférence, et l'on trouverait x = r y'd pour la corde de j. On obtiendrait le meme résultat par le n". 16.
19. 4°. Etant données les cordes AD, AB, ou b et d de deux arcs, trouver la corde BD ou a (T un arc égal à leur différence.
Il faut mettre x .à la place de a dans la formule fA) et l’on obtient :
2/ Ô = X \/Àr ~ — d*-\~d \/Ar * — a;* ;
transposant le premier radical , élevant au- carré les deux membres , réduisant , divisant par 4r^ et ordonnant , on a une équation du second degré en X, laquelle étant résolue donne:
x = l d* — ér ô*.
"Voyez, pour les signes, les observations des n"’. 15 et 16.
Nos deux arcs n’étant jamais plus grands que la demi -circonférence (n*. 16), la plus grande des deux cordes données répondra .au plus grand des deux arcs dont on doit considérer la diiTérence; soit donc en général 6 > rf , on aura visiblement le premier terme de la valeur de .r plus grand que le second, et x sera en plus.
Si , par’ exemple , 6 = 2r et d = r, les arcs proposés seront la moitié
10 QOISTIONS OiOMiTBIQUES,
et la sixième partie de la circonférénee , et l’on aura x=zr pour la
corde de | — é— f
Si b — 2r et d = r \/3 , les arcs proposés seront la moitié et le tiers de la circonférence, et l’on aura x = r pour la corde de i — ï = Z-
Si b — r^3 et d=r, les arcs seront le tiers et la sixième partie de la circonférence , et l’on aura x — r pour la corde de | — I = è-
20. 6*. Etant donnés les trois eûtes a, b, d, d'tin triangle quelconque ^ trouver le rayon BC ou r du cercle circonscrit à ce triangle.
11 faut mettre x à la place de r dans la formule (y/) et l’on a:
' 2bx = a y/ kx'^ — ~<i} -f- d \/4x^ — ;
transposant le premier radical, élevant au carré, réduisant, divisant par
Âx , et transposant de nouveau , on trouve :
( a* + 6* — d}) x — ab \/àx- — ,
( a* + 6’ — c/* ) '^x^ = 4a}b*x^ — a'b^d^ ; d’où l’on lire facilement, en transposant, réduisant et extrayant la racine;
abd
Observons que le numérateur de cette formule est une fonction symétrique des trois côtés, ce qui ne semble pas avoir lieu dans le dénominateur, puisque le côté d manque dans le premier terme sous le radical, et qu'il est pris en moins dans le second. Cependant on ne voit pas comment un des côtés peut jouer dans la fonnule un rôle différent des deux autres. Et en elVet, si l’on carre immédiatement la première équation, en laissant les deux radicaux dans le second membre , on arrivera , par un calcul un peu plus compliqué , à ce résultat :
abd
— (fl* + )* ;
et si l’on commençait par transporter le second radical dans le pi'emier membre , pour faire ensuite le carré des deux membres, on trouverait, après les réductions :
abd
\é4b^d^ — ib^-^eB—a-ÿ’
Ensorte qu’on peut se servir indifféremment de l’une ou de l’auü'e de ces formules, qui conduiront toujours au meme résultat.
JIÉIOIÜBS TAn L'Al.GèBin'. H
