CHAPITRE II

Formules algébriques , construUes par la géométrie : principes généraux,

40. Si l’on a la formule x — a + b , dans laquelle a et i représentent des lignes droites données, dont il faut trouver la somme, il pourra arriver deux choses ; ou ces lignes seront données en nombres et rapportées à une certaine unité , comme si l'on parlait d’une longueur de 10 pieds, de 8 pouces, de 5 décimètres, etc.; ou ces lignes seront, pour ainsi dire, matériellement données, par exemple, tracées sur le papier, sans être numériquement évaluées.

Dans le premier cas, la valeur de x pourra se trouver par une opération de calcul , et c’est ainsi que nous avons supposés résolus les problèmes du chapitre précédent. Dans le second cas , il y aura lieu à ce que l’on appelle une construction géométrique, qui f«ra connaître la valeur de x , et l’on voit bien qu'il suffira pour cela de mettre bout h bout, et dans une même direction , les deux lignes a et b.

On construira tout aussi facilement l’équation x = a -f- A -f-c-f- etc.

Quant aux soustractions de lignes , il est évident qu’elles se font par des superpositions , et nous n'avons rien à ajouter à cet ég.ard : on voit bien comment il faudrait construire ces funnules, a; = a — b, x — a — b — c, x=a + b — c, etc.

Du reste , je ne prends ici (jue des termes d'une seule lettre chacun , et je ne donne point d’exposans aux lettres, et cela pour ne pas mêler avec l’addition et la soustraction des opérations iliilcrentes , que nous allons successivement examiner.

4). Si l’on avait à construire la formule x — ah , il faudrait bien se souvenir de tout ce qui a été dit, dans la Géométrie, de la prétendue multiplication des lignes (Voyez Liv. III. n°. H avec la note. Liv. IV, n"’, 3, 11, 13, 14, 15;; on comprendrait alom que si les doux lettres a ci b représentent réellement deux lignes, leur produit ab ne peut être que le rectangle de ces lignes ; dans ce cas x serait une surface. Mais si , par la question qui a donné la formule, x doit être une ligne, comment accorder ces choses? Il n’/ a

FORMCLEC AlGÉmiQinS , CeNÆTRBITXS F/B LA CLCMÉUIII. 23

qu’à supposer que x est multiplié par une certaine ligne prise pour unité , et que nous désignerons généralement par l; alors 1 équation deviendï’a /a: = et donnera la proportion l:a::b:x. Construire l’équation dont H s’agit , pour trouver x, ce n’est donc autre chose que chercher une quatrième propoitionnelle aux lignes l,actb; et c’est ce que l’on sait faire géométriquement (Géom. App, Probl. XV ).

Si l’on avait x = abc^ on supposerait x multiplié par /*, et Ton aurait à construire ;

l*x = abc ou x = ^^ P

On ferait d’abord :

l: a:: b: Mne -4**. /

et cette quatrième proportionnelle vaudrait on forait ensuite*

, ab '