I : : : c : we A

, . abc

et cette quatrième vaudrait ou

On voit donc comment il faudrait construire x = abcdfXz=abcdc et«. Et si l’on avait a; = (a + 6) (e + d), (c — d), etc., ce né

serait qu’une combinaison des opérations précédentes.

-42. Si les lignes à multiplier étaient égales , ou si la formule à construire^ indiquait une élévation aux puissances, au Heu d’une simple multiplication, on opérerait à peu près de la même manière : ainsi x=aa donnerait te = aa, ou i:a::a:x; ce serait donc une troisièmè proportionnelle à chercher, au lieu d’une quatrième (Géom. App. ProbL XV. Schol. If).

D’après cela x = aaa donnerait Zte = aaa , ou x = , et l’on ferait

d’abord :

l: a:: a: une -4**. , qpi vaudrait S; on ferait ensuite :

, aa

l: a:: -j- : une 4 *'. , qui vaudrait ^ on a; . *

Et ainsi de suite.

Il est donc clair que x=a*-h2ab + b* ouar=(a-f-i) (a + ô) donnerait l:a-^b::a + b:x; et l’on voit bien comment il faudrait comUtiire af=a’4-3a’i> + 3a6*+6* oua: = (a 4 - 6 ;»; etc.

FORMULES ALGEBRIQUES,'

43. La formule étant x = — , on écrira d'abord bx = al, ce qui donnera

b:a::I:x; l’inconnue est donc encore ici une quatrième proportionnelle.

Si l'on avait x = — , cela donnerait cx=:aoet c:a:: b: æ; etsi l’on avait a

a:=-p- , onferait Acoî = a//, ce qui rentre dans les cas précédens. bc

44. On voit du reste que les additions et soustractions de lignes ne méritent pas qu'on s’/ arrête , à cause de leur simplicité , que les divisions rentrent dans les multiplications , et , réciproquement , que les multiplications

' rentrent dans les divisions. Occupons-nous donc encore un peu de ces dernières.

rtic + def — ghi nvi

A5. Prenons x -.

, ce sera la même chose que :

abc ^ de/' ghi

■V mn mn inn ’

quantité qui se construira facilement par tout ce qui précédé. - xtbc -1- de/'

Que l’on ait a: = — , c’est la même chose que :

gh+ik

nbe + def

ik

et si l’on prend une ligne m égale à /» -j , ce qui est facile à trouver, la

formule à construire deviendi’a :

• abc + def

gm

et rentrera par conséquent dans la précédente. '

4f>. Ces procédés, dans de certains cas, peuvent se simplifier; en voici des exemples.

O • ab-{-bc ... , . ...

ooit X = ; , au heu de préparer cette formule ainsi 2

ab , bc , . b{a-\-c) . ,

X = : 1 : — , on écrira x = — — — , ce qui donnera . . .

Sok

CONtTIOITIS rAB LA OéOKiTBtB.

a<i — bb aa bb

Soit X = , au lieu d’écrire x = , on fera

, d’où l’on tirera m : a+ ô :: a — b:x.

Soit enfin x-.

abcc — aabb abc -}- ccc

, c’est la même chose que

ab Ê cc — ai , ab/C — —

c'oi-t-cc' c ' — + c

ai ^ ab ab

c ce’

47. Puisque nous avons déjà vu les élévations aux puissances (n*. -42), ▼oyons donc à présent les extractions de racines.

x = \/a donne x* — a ou ar’=a/, d’où l’on tire l:x::x:a. Cette construction se réduit donc à trouver \me moyenne proportionnelle entre fêta ( Géom. App. Probl. XVI ).

X = \/ab donne x* = ab, puis a:x::x: b; ce qui est la même consthiction que la précédente.

x = \/abc donne x‘*=zabc, ou ïxx-=abc,o\ixx = {^^ c; on fera donc ~ :x::x:c.

X = v'a + i + e/e. revient à a; = y'm , tout comme xzx=^ a — b — etc.

x = y/ (a+b ) (c — d) etc. revient k x = y/mn etc.

X = ^ab-{-bc est la meme chose que x = \/b ( a + e ) , et revient à x — ^mn.

x-=i y/aa-4-bc est la même chose que a: = v^a(a -+--7 ), et revient aussi à \/mn. On cherchera donc d’abord une ligne égale à , on l’ajou-

bc

tçra avec la ligne a , pour avoir a H , et l’on prendra enfin une moyenne

proportionnelle entre a et a -]

X — y/ab-\-cd est la même chose que a; = \/a ( ô + v ^

tre dans le cas précédent.

TOBMDLEI ALCiBBIQO^ES,

X = i/ab + cd — ef revient à x= on cherchera

donc d’abord une ligne m = b+^- — et on n’aura plus qu’à cons- X = ctm.

x = \/ ^ revient à \/m , tout comme x = y' i , parce que i ,

■ ^ revient à x = ^ a ( ^ ) +d( — ),etren-

▼ m+n V 'ni+rt/

tire dans la formule x = \/ag+di.

^8. Pour construire x = y'a* + 6*, on pourrait faire x=V^a(<» + -^), ce qui reviendrait aux formules précédentes ; mais il est facile de voir que X est ici l’hypoténuse tfun triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont les lignes a et ô ; ainsi la construction se présente d’elle-ro ème.

Pour construire x = \/a* — ô* , on pourrait faire x = y'( a + 6)(a — ôi; mais il est clair qu'on peut aussi considérer x comme un des côtés de l'angle droit d’un triangle rectangle , dont l’hypoténuse est a et l’autre côté b. Si l’on décrit donc un cercle sur la ligne BE, égale à a, prise pour diamètre , fig. 4 , que l’on porte ensuite en B A la ligne b , comme corde de ce cercle, et que l’on joigne AE, cette dernière ligne sera x; car l’on aura x* = a* — b* ou x=y^«* — b*.

Si l’on avait x = -J- b* -+- c* -J- etc. , au lieu de procéder comme dans

le n*. 47, on prendrait AB, fig. 8, égale à a, l’on mettrait BC, é gale à b, à angle droit avec AB, et joignant AC, cette droite vaudrait \/à*-i-b*; mettant ensuite CD, ég ale à c, à an gle droit avec AC, et joignant AD , ce tte droite vaudra it v/a^ + ô’-J-c*; on continuerait de même pour avoir b* + c* + etc. ou x.

Dans le cas oü il y aurait sous le radical des carrés en moins , on ferait , ^ar ce qui précède , la somme des carrés en plus , puis celle des carrés en moins , et l’on n’aurait plus à construire que la formule y'/n* —

49. Il est à remarquer qu’on peut ramener aux formes du numéro précédent toutes les quantités radicales du second degré: si l'on a, par exemple, x = v^ôi + c<i — ef, on pourra chercher d’abord une ligne m égale à \/ob, une ligne ;i = \/c<f, et une ligne p = y'ç/’; on aura alors m’=aô,

n* = cd et ensorte que la formule à construire deviendra

CONSTSOITESPAILAOiOMiTlIK. 27

£0. Voici maintenant deux exprcsaiona un peu composée* sur Icsqueltes on pourra s’exercer.

Supposons d'abord :

ab-i~cd

si l’on prend une ligne m = •y/c* + d* et une ligne n — \/ab + cd, on aura m* = c* + d*, et n* = aî>-i~cd; ensorte que la formule deviendra :

En prenant alors une ugne p = — ^ , on aura p*

et il ne restera

plus qu’à construire x = \/a* — p*.

Supposons ensuite x = ■V^a* + £ y'c’ — on prendra une ligne , . . m = \/c^ — d’ , et l’on n'aura plus qu'à construire x = \/a* + iwi.

51. Prenons enfin l’équation générale du second degré x*±px ±q=.Q, mais pour être sûrs que x n'ait aucune valeur en moins , valeurs dont nous nous occuperons bientôt, prenons-la sous cette forme x* — px — q — o •,

elle donnera:

x=lp + y/'ip* + q.

Je n’ai mis au radical que le signe plus , toujours pour éviter les valeurs en moins.

Cela posé, on cherchera d’abord une ligne t=z y/ql, et l’on aura .... t* =ql—q ; ensorte qu’on n’aura plus qu’.à constniire

.r = Jp + V^(|p)* + (*.

62. Il résulte de tout ce que nous avons vu dans ce chapitre , que les équations déterminées du premier degré peuvent se construire par de* intersections de lignes droites ;^ct que pour constiuire celles du second degré on ii’a besoin que de la ligne droite et du cercle. Qu int aux équations de degrés plus élevés, il faut en général faire usage, pour les construire, de combes qu’il est difficile de bien choisir et de décrire; ensoite que les méthodes pu- , rement algébriques sont, dons ce cas, bien préférable*.

Cependant les radicaux du 4“*. degré , du 8"*. degré , etc. , rentrent cncqre dans le* méthodes précédente*. Pour construire x = , on prendra une ligne

m = y'a ( n®. -47 ) , et l’on aura m’ = a et x == yfm* = v^m.

2S rosmn^ ALctBiiQUEs, constbuitu r» la cioM^iH.

Si l’on avait x=.i^ab, on chercherait un ligne m — ‘^ab (n*. -47), et

l’on aurait m* = ab et a: = y'm* = y'/n.

Si l’on avait x = ^abc, on chercherait une ligne m — ÿ/abe (n*. -47),

et l’on aurait m* = abc et a? = v/«i* =

Et ainsi de suite.

Si la fonnule était x = y'a‘i’, il est clair qu’on aurait, par une simple

réduction, x — y/ab; ce ne serait donc pas proprement un radical du quatrième degré.

Si l’on avait x — ^a, on chercherait une ligne in = Ya, et l’on aurait

m* = a et a: = \/m^ = y^m.

Ayant X = yab , on chercherait imc ligne m = ^àb , et l’on aurait . . .

m* = ao et X — y'm* = ytn.

Et ainsi de suite.