CHAPITRE III

jipplication des principes à des questions particulières.

63. droite étant donnée, on demmide de la diviser en moyenne et extrême raison ; c’est-à-dire en deux parties telles que la plus grande soit moyenne proportionnelle entre la ligne entière et la plus petite partie (Géom. App. Probl. XVII).

Soit la droite donnée a, et sa plus grande partie inconnue x; la plus petite partie sera a — x, et l’on aura a\x-.:x:a — x;. d’où l’on tirera . . , 3 ^-a*-^ ax. Enfin résolvant cette éq uation on obtiendra :

64. Maintenant si la droite a est donnée en nombres , nous aurons la valeur ou les valeurs de x en mettant à la place de a le nombre que cette lettre représente, et en eflectuant les opérations de calcul exigées par la formule. Or cette formule peut encore être écrite aiirsi :

x = — ia±la\/5 ;

ce qui prouve que le calcul ne nous donnera jamais les valeurs de x que par approximation , si a est un nombre rationnel.

65. Mais si la ligne a est donnée sur le p apier, et que l’on veuille construire les valeurs de x, on observera que est l’hjpoténuse d'un

triangle rectangle qui aurait pour ses autres côtés a et | a, c’est-n-dire la droite donnée et la moitié de cette droite. Ainsi, dans la fig. 9, si est la di'oite donnée, en mettant BC, égale à | AB, à angle di'oit avec j4B, en aura \/a’ -J- J «*.

Cela posé, comme pour avoir la première valeur de x il faut de retrancher | « , il est clair qu'en décrivant avec CB ou {a pour rajon , et du point C pour centre, une circonférence qui rencontre en D, on aura X — ; valeur qu’on pourra porter en sur .AB , d'où il résultera . . ,

AB ■. AF w AF \ FB.

66. Quant à la seconde valeur de x , on peut l’écrire ainsi :

Abstraction faite du signe, il faut donc à -y/a*-+-ia’ ou à AC ajouter \ a,

30 APPLICATION OEf PlINCIPKI

OU CB, OU Ciy, ce qui donne AU , ligne fonniîc en prolongeant juaqu’à la rencontre de la circonférence en //.. Mais que signifie le signe — de cette ligne ? Par le n®. 35 de l' Algèbre , il faut retourner à l’cquation a:* = a* — ax , et l'écrire ainsi a:* = a* + ox ou x* = a(a-h x) , d'où l’on tire la proportion a:x::x: a + x; ce qui nous apprend que x, qui est ici AU, est moyenne proportionnelle entre AB et AB-\- AU.

Nous avons donc, pour les deux valeurs de x, qui sont AD et AU, ces deux proportions :