AA TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE

il faudrait donc, ayant les angles C et A, pouvoir déterminer îa grandeur de leurs sinus. Ce calcul préliminaire des sinus, dans chaque cas particulier, pourrait être fort long et fort embarrassant; on a donc senti qu’il serait necessaire de calculer d'avance les sinus de tous les angles possibles ; en •supposant les angles de tous les triangles quclccuiqucs mesurés au moyen d’un même cercle, comme dans les figures 16, 17, 18, et l’on en a consti'uit des tables. Entrons dans quelques détails à cet égard.

Et d’abord, il est facile de voir, par la figure 19, que si l’angle CAB se ferme tout-à-fait et devient nul, son sinus MP devient aussi nul. Si au contraire cet angle augmente, et devient CAB, CAB, etc., son sinus augmente graduellement, et devient M'P" , M"P" , etc. Quand l’angle C'AB est devenu di'oit , le sinus M“A se trouve égal au rayon. Enfin quand l’angle C^AB est devenu obtus, son sinus rediminue graduellement, à mesure que l’angle augmente, pour se retrouver nul quand l’angle est tout-à-fait ouvert .et en quelque sorte égal à deux droits. Mais toujours le sinus de l'angle obtus C''AB est égal au sinus de l’angle aigu C'AB , avec lequel il fait deug angles droits. Ou , en général , le sinus d’un angle obtus est égal au sinus de son angle de suite. Le plus grand de tous les sinus, est donc le sinus de l’angle droit; on l'appelle à cause de cela le sitU4s total, ou simplement le rayon.

Pour construire les tables de sinus, en a supposé le rayon ou le sinus total divisé en un certain nombre de parties égales , comme 100000, 10000000 , suivant les tables, et l'on a calculé combien chaque sinus, depuis l’angle zéro jusqu'à l’angle droit, contenait de ces parties. On a fait alora une table à deux colonnes verticales , dans la première on a écrit les degrés , minutes, dans leur ordre de grandeur, et dans l’autre les sinus, qui se suivent aussi dans leur ordre de grandeur. Ainsi quand on connaît un arc ou un angle, par le nombre de ses degrés, minutes, etc., il est facile de trouver dans la table son sinus; et réciproquement, si l'on connaît le sinus d’un angle , la table vous indique le nombre des degrés de l’angle. Dans les tab'es modernes, on ne trouve point les sinus mêmes, mais les logarithmes de ces nombres ; alors les multiplications et les divisions sont changées en addi ions et soustractions.

11 faut observer 1*. que l’on n'a mis dans les tables que les arcs plus petits que le quart de cercle, parce que, comme nous l’avons vu, le sinus d’un angle obtus est le meme que celui de son angle de suite. 11 faut ob-

KÉSOLUTION DES TAIANbEES. ÀÔ

«erver 2*. que la grandeui- absolue du rayon est indifTcrente ; s'il est plus grand ses parties seront plus grandes et réciproquement ; mais le sinus d'un angle donné en contiendra toujoure le même nombre j^car il est facile de Voir que les diiférens sinus, que l'on aurait pour un mliie angle, en prenant dilférens rayons, seraient toujours entr’eux comme ces ra 3 'ons (voyez n” 67 ). Il en sera de même pour les autres lignes trigonomclriques que nous considérerons par la suite.

Connaissant donc un côté d'un triangle avec ses angles, on trouvera dans les tables les sinus de ces memes angles, et il sera facile de calculer les deux côtés inconnus , par le principe du n°. 73.

Si les trois côtés étaient inconnus , on n’en pourrait detenniner aucun ( n®. 72); mais on pourrait du moins, par- le principe cité, trouver les rapports de ces côtés , puisqu'ils sont entr’eux comme les sinus connus des angles qui sont supposés donnés. Cela peut avoir son utilité.

NB. J’invite les commenqans , quand ils seront parvenus ici , à faire queL ques suppositions différentes pour les angles ^ et if et pour le côté c de la figure fô, et de calculer, au moyen des tables, les longueurs de a et de h dans ces suppositions-là. Ils feront la même chose pour les cas suivans.

Second cas de la résolution des triangles.

Défimiion et usages des tangentes.

76. On connaît deux côtés et un angle; mais cet angle peut être opposé à l’un des côtés connus, ou compris entre ces mômes côtés.

1®. L'angle connu est opposé à Fun des côtés connus. On connaît, par exemple a et ô, dans le triangle ABC, figures 20, 21, 22, 23, 24, 25, avec l’angle A; il faut trouver les angles il et C et le troisième côté c. Mais si l’on connaissait les angles, on trouverait le troisième côté comme dans le cas précédent ; cherchons donc seulement les angles.

Si l'on avait a — b, fig. 20, on aurait aussi A = B, et l’on trouverait làcilcraent C.

Supposons donc que a et b sont inégaux, figures 21, 22, 23, 24, 25, et faisons a : ô ; : sin A : sïn B, nous obtiendrons :

s in B =

b sin A a

TRICONOMÉTIIE BCCTtLiaXE;

En multipliant entr’eux les nombres connus et fixes désignés par btisin A et en divisant leur produit par le nombre connu désigné par a, on aura un quotient fixe et c^erminé, qui sera le sinus de H. Mais chaque sinus, sauf le cas de l’angle Woit, appartient à deux arcs ou à deux angles qui sont de suite, l’un aigu, l’autre obtus (n”. 75); ctisorte que, généralement parlant , on ne saura pas si le sinus trouvé doit être considéré comme appartenant à l’angle aigu auquel il correspond dans le^ tables , ou à l'angle obtus qui vaut* deux droits avec celui-là.

Celte incertitude n'aura pas lieu si A est droit ou obtus, figures 21 , 22 , parce qu’alors B et C seront décidément aigus.

Elle n'aura pas lieu non plus , lorsque A étant aigu , on aura b, fig. 23 ; car alors, on aura aussi B ; ensorte que A sera aigu.

Elle n’aura pas lieu non plus, lorsque A étant aigu, et a <C b, le calcul donnera pour le sinus de B le rayon même des tables , ou le sinus total , car alors B sera droit , fig. 24.

Cette incertitude n’aura donc lieu que dans le cas où A étant aigu et a < 6 on trouvera le sinus de B plus petit que le rayon ; car alors ce sinus appartiendra ou à l’angle aigu désigné d.ans les tables, ou à l'angle obtus qui vaut deux droits avec cet angle aigu, fig. 25 ( Géom. Liv. II. n°‘. 22 , 23, 24). Il faudra donc alors, pour résoudre le triangle, savoir d’avance si l’angle B est aigu ou obtus.

77. 2®. L’angle connu est compris entre les côte's cowius ( n®, 76 ). On connaît, par exemple, a et b dans le triangle ABC, fig. 26, avec l'angle C; il faut trouver les angles A et B et le troisième côté c.

Mais si l'on connaissait les angles , on trouverait le troisième côté comme précédemment; cherchons donc seulement les angles.

Connaissant l'angle C, on connaît aussi la somme A B des deux autres ; si l’on a donc az=ib , on en conclura A ~ B , et par conséquent chacun de ces angles vaudra \{A-\- B).

Supposons que l’on ait a'>b, et faisons a : sin A ii b: sin B ; cette proportion, quoique juste, ne nous apprendra rien, parce qu’elle renferme deux tennes inconnus. Cependant si nous ne connaissons ni A ni B, nous connaissons du moins A-^B, comme nous l’avons déjà dit; si donc nous pouvions trouver la valeur de A — B, nous aurions bientôt celle de A et de B (Algèbre n®. 711 avec la note).