RÉSOLUTION DES TRIANGLES

En réfléchissant là-dessm, voici ce qu'on a découvert: De la proportion précédente on tire:

a + b\sinA + sinB::a:sin J , a — bis'inA — sin B :ia: sin A ; d’où il résulte :

a-i~b:a — b : : sm A + sin B : sin A — sin B.

Cela posé, supposons dans le cercle des tables, fig. 27, DGE=A et DGF— B, les lignes Eff et FI, perpendiculaires sur le rajon DG, seront les sinus de A et de B, et si l'on prolonge Eff jusqu'à la circonférence en

F, et que l'on mène FM parallèle à DG , on aura

Eff+FI=Eff+L//=//A+ LH=LK; c'est-à-dire:

sin A -4- sin B = LK.

On aura aussi EH — Fl =^EH — EH ■=. EE ; c'est-à-dire :

sin A — sin B =r EL.

La proportion précédente deviendra donc :

a+b-.a — bv.EK-.EL.

Maintenant si l'on joint ME. et MK, et que l'on mène entre ces lignes une parallèle quelconque A’O à la droite EK, on aura LK\ EL:-. PQ: NP ( Géom. Liv. III. Th. V ) ; et par conséquent :

a-\-b-.a~b::PQ:NP.

Or si du point M, pris pour centre, et du raj^on MP , on décrit l'arc OR , la ligne KQ sera tangente à cet arc; et si MP— GD, l'arc OR sera décrit avec le rajon des tables , et nous pourrons appeler la ligne PQ la tangente trigonamétrique de l'angle PMQ\ alors AT* sera celle de l'angle NMP.

On appelle Aonc tangente d'un .arc ou d’un angle, une droite perpendiculaire à l’extrémité du rayon qui passe par une des extrémités de l’arc , et teminée à la rencontre du rayon prolongé qui passe par l’autre extrémité du même arc (,NB. L'arc en question doit être décrit avec le rayon des tables).

Nous disons que PQ est la tangente de PMQ ou de FMK, elle est donc aussi la tangente de | FGK, oude ouàe{{DGE~^DGf'),

ou enfin de I (

De même NP, qui est la tangente de NMP ou de EMF, est aussi celle de 5 EGF, ou de |( DGE — DGF) , ou enfin àe\{A — B).

Ensorte que l’on a :

a-\-b:a — b:: long \(,A+ B): tairg \{A — B y

Cette proportion peut s’énoncer ainsi :

Af , TBIGONOMÉTEIE R B C 1 1 1. 1 G W E ;

Secoitu principe: Dans tout triangle rectiligne, la somme de deux côtés quelconques est à leur différence, comme ta tangente de la demisomme des angles opposés à ces cotés, est à la tangente de la demidifférence de ces memes angles.

Dans le cas actuel, on suppose que l’on connaît a, b,C, et par conséquent A-^B; on connaît donc aussi a + b, a — b, et \{A-{-B). Or, tout comme on a calculé d’arance les sinus de tous les angles, on a aussi calculé leurs tangentes, et l'on en a fait des tables; ces tables donneront ici tang \ (,A-\-B); et des trois premiei's termes connus de la proportion , on conclura le quatrième on tang A — B). Cette tangente, cherchée ensuite dans les tables, fera connaître \(^A — B); et l’on tirera enfin de cette valeur, combinée avec celle de *(^ + 5), les grandeurs de A et de B; ainsi que nous l’avons fait observer il y a un moment.

78. On peut remarquer que puisque deux angles d’un triangle valent

toujom-s ensemble moins de deux droits, la moitié de leur somme sera toujours moindre qu’un droit On aura donc toujours, dans le principe précédent, \ iA-\- B") 1 droit , et à plus forte raison \{A — ü)< I droit.

Or la fig. 28 fait voir que si l’angle CAB devient nul sa tangente TG sera nulle aussi, que cette ligne augmentera progressivement avec l’angle , qu’elle deviendra TG, TG' , TG" , quand l’angle sera CAB, CAB, CAB; et qu’enfîn la tangente sera infinie quand l’angle sera droit , parce que la ligné AC" se trouvant parallèle à la tangente ne la rencontrera plus.

79. Du reste si l’angle connu C, compris entre les côtes connus aoib , est droit , fig. 29 , il est évident que la tangente TG de l’angle A est parallèle nu côté CB bu a; ensorte que les triangles semblables ATG, ACB, donnent AT : tcmg A\\b\a ou

R : tang A b; a.

On trouverait de même :

R : tang B:: a ; b. . joV.

On a donc ce théorème : ■ . ’

Troisième principe: Dcuis tout triangle rectangle, le rayon est à la tangente d’un des angles aigus, comme le c6ié de F angle droit adjacent à cet angle aigu est au côté opposé à ce même angle.

Par ce principe on trouvera les angles inconnus plus facilement que par le second principe , quoique celui-là puisse aussi servir dans le cas actuel.

Troisième

KÉSOLUTIOK DES TRIANGLES.

Troisième cas de la résolution des triangles.