ou

Il est d'ailleurs facile de voir que si le principe actuel n’apprend rien lorsque le triangle proposé a ses trois côtés égaux , ou deux côtés égaux avec

lisOLUTIOK DES TRIANGLES, une base plus petite ou plus grande que chacun deux , il s’étend cependant à ces cas-là, et que son énoncé est tout-n-fait général.

81. Ce même principe, combiné avec le premier , peut servir à trouver une distance inaccessible AC, flg. 34, sans instrumens.

Choisissez une base AB , et vous plaçant en et en j 9, faites planter en C et en C" des piquets dans les alignemcns AC et BC; mesurez avec une perche les côtés des triangles ABC, ABC"; les côtés connus du premier vous feront trouver l’angle C'AB , les côtés connus du second vousjléront trouver l’angle CBA , et comme vous avez mesuré AB vous pourrez calculer ' AC et BC par le premier principe.

Si , par ce mo yen ou par quclqu’autre , vous avez déterminé les distances dCet AD, fig. .36, avec l’angle A, le second principe vous donnera les angles C et D, et vous pourrez alors trouver CD.

Des lignes trigonométriqnes , en général.

82. Nous savons maintenant résoudre un triangle, dans tous les cas où la chose est possible. Nous n’avons eu à considérer pour parvenir à ce but, que les principales propriétés des sinus et des tangentes ; mais il existe d'auUes lignes trigonometriques fort intéressantes à considérer, et dont nous allons parler actuellement Les rapports que ces lignes ont entr’elles et avec les côtés des ti iangles , fournissent des formules que l’on peut combiner de mille manières, et qui sont d’un très-grand usage dans toutes les parties des mathématiques. Quelques-unes servent d'ailleurs à calculer los tables de sinus.

Quand on a décrit l’arc qui doit mesurer l’angle CAB , fig. 36 , et qu’on a abaissé le sinus MP, on a, dans le triangle rectangle AMP , deux côtés qui sont les sinus des angles opposés, savoir AfP = j/n d et AM— AD — R, qui est le rajon des tables ou le sinus d’un angle droit quelconque, et par conséquent le sinus de l’angle P. Qu'ant au troisième angle AMP , il est égal à MAD, dont le sinus est MQ = AP; ainsi le troisième côté AP est aussi le sinus de l’angle opposé A MP. On a donné un nom aux deux angles MAP et AMP , ou MAP et MAD, qui font ensemble un angle droit, et on a dit qu'ils étaient complémensVwnAe l’autre. Plus généralement, lorsque d'un angle droit on retranche un angle quelconque, celui qui reste et celui qu’on a retranché sont dits complemms l'un de l’autre. D’où il résulte que

DES LIGNES T R 1 6 ON 0 M fe TB I O OE S ,

si mi angle aigu est considéré comme étant en +, son complément est aussi en +, et que si un angle obtus est considéré comme étant en son complément est en — . Ainsi le complément de CAB^ fig. 19, c’est

+ CAC"\ et le complément de C^AB c’est C'AC". On dit la même

chose des arcs , qui servent à mesurer ces angles. Un angle ou un arc de 25“-40' a donc pour complément 74°60'; un angle ou un arc de lt)0"80' a pour complément — 6üü°80'. Généralement un angle ou un aie étant de son complément est 100® — A°.

Lorsque de deux angles droits ou de 200° on retranche un angle ou un arc quelconque , la quantité qui reste et celle qu’on a retranchée sont dites supplémens l’une de l’autre. Ainsi les angles C'^AB, C'^AE, qu'on appelle en géométrie angles de suite, sont dits ici supplémens l’un de l’autre, et il en est de même de CAB et de CAE, etc. Généralement un angle ou un arc étant de A° son supplément est 200° — A°. Dans un triangle, un angle est toujoui-s le supplément de la somme des deux autres et réciproquement ; et dans ce cas ces supplémens sont toujours en -H, puisqu’ils sont moindres que 200*.

Cela posé, étant le sinus de CAC" ou de AMP , est le sinus du complément de CAB; pour abréger on dit que MQ ou AP est le cosinus de CAB ou de l'arc qui mesure cet angle. En général le cosinus n’est autre chose que le sinus du complément; ou, si l’on veut, c’est la partie du diamètre comprise entre le sommet de l’angle et le pied du sinus. MP et AP, MP et AP', M"P" et AP", sont les sinus et cosinus des angles CAB, CAB, CAB.

Il est facile de voir, par la figure, que si l’angle est tout-à-fait fermé ou nul, son cosinus est égal au rajon, que ce cosinus diminue ensuite à mesure que l’angle augmente, et qu’il se trouve nul quand l’angle est droit. Si l’angle devient obtus le cosinus sc rétablit, et augmente en même temps que f angle, pour se retrouver égal au rayon quand l’angle s’est toul-à-fait ouvert ou qu'il est devenu égal à deux droits. D'ailleurs le cosinus d'ùn angle obtus est toujours égal au cosinus de son supplément aigu ; m.us il est dirigé en sens contraire, parce qu’on doit rapporter tous les angles aigus au premier quart de cercle, et compter la longueur des cosinus depuis le ccnti'e jusqu’au pied du sinus.

Tout comme on a considéré les sinus de complément, on a aussi considéré les tangentes de complément , qu’on a nommées cotangentes. Dans la lig. 36,

ENGÉNiBAL. âS

BE est la tangente de CAB , et DC est sa cotangente ; réciproquement D C est la tangente de CAD, et BE est sa cotangente. Quand l’angle est nul la cotangente est infinie , parce que AC trouvant couchée sur AB est parallèle à DC, la cotangente diminue ensuite giaduellement quand l’angle augmente, et elle est nulle quand l’angle est droit.

Si on veut considérer ces lignes relativement à l’angle obtus, on verra que la tangente qui était infinie pour l’angle droit fn“. 78), redevient finie et se trouve dirigée en sens contraire dès que l’angle est obtus ; ainsi BEI est la tangente de C’AB. On voit aussi que DC est la cotangente de ce meme angle; ensorte que cette ligne, qui était nulle pour l’angle droit, a repris une longueur finie, dirigée en sens contraire. A mesure que l’angle obtus augmente, la tangente diminue et la cotangente augmente, et quand il s’est tout-à-fait ouvert, et qu’il est égal à deux droits, la tangente est nulle et la cotangente est infinie.

Enfin nous devons dire que lorsqu’on a mené une tangente à l’extrémité d’un arc, le rayon prolongé qui passe par l’autre extrémité, et qui rencontre en général la tangente , s’appelle la sécante trigonomélrique. de l’arc ou de l’angle mesuré par cet arc. Et la sécante du complément se nomme eosécante. Ainsi AE est sécante de CAB et AC est sa cosécante; réciproquement AC est sécante de CAD et AE est sa cosécante (*). Tout comme le sinus, le cosinus, et le rayon, forment un triangle rectangle, on voit que la tangente , la sécante , et le rayon , en forment aussi un , et qu’il en est de même de la cotangente , de la cosécante , et du rayon.

Si l’angle est nul , la sécante est égale au rayon , et la cosécante est infinie ; quand l’angle augmente , la sécante augmente , et la cosécante diminue. Lorsque l’angle est droit, la sécante est infinie, et la cosécante est égale au rayon. Enfin si l’angle devient obtus, la sécante va en diminuant, et la cosécante en augmentant; mais tandis qu’elles étaient d'abord dirigées dans le même sens -, elles sont maintenant dirigées en sens contraire l’mie

( *) On voit donc q>ie , d.ms la trigonométrie , la sécante part toujours du centre et SC termine de l'autre côté à la rencontre de la tangente , et que la tangente part toujours d’une des extrémités de l’arc et sc termine à la sécante Ce qui fait envisager ces lignes sous un point de vue plus particulier que celui sous lequel on les envisage dans la géométrie.

54 DES LIGNES TR I 0 O NO M É T R t Q UE J,

de l'autre, comme AP et AC. Alors si l'angle s’ouvre tout-à-fait, la sécante devient encore le rayon, et la cosécanie est infinie.

Sans garder tous ces résultats dans la mémoire , on pourra les retrouver au besoin au moyen d’une figure très-facile à construire. Et l’on pourrait même suivre ainsi les sinus, cosinus, tangentes, cotangentes, sécantes, cosécantes , dans des arcs plus grands que le demi - cercle , et qui comprendraient môme une, deux, ou plusieurs circonférences, avec des fractions de circonférences; cela ne peut sou/frir aucune dilücullé.

83. M'. Lacroix, en suivant un plan dfférent du nôtre, s’est servi d'un procédé très-ingénieux pour amener la considération des lignes trigonométriques, et pour les faire naître en quelque sorte; nous allons transcrire ici ce morceau, qui nous paraît fort intéressant.

“ Ceux qui ont entrepris les premiers de développer, par une suite d’opérations numériques, ou par des formules algébriques, les relations qu’ont entr’ellcs les difl'érentes parties d'un triangle, ont dù se trouver aiTèlés par la difficulté de faire entrer dans le calcul la grandeur des angles , (jui , mesurés par des arcs de cercle, ne peuvent être comparés avec les lignes droites ( *). Mais ils ont bientôt reconnu que s’ils pouvaient, par un moyen quelconque, calculer une suite de triangles dont les angles eussent toutes les valeurs possibles , cette suite en renfermerait nécessairement un qui serait semblable au triangle que l'on aurait à déterminer, quel qu’il fût, et et qu’alors de simples proportions sufliraient pour déduire les parties du second de celles du premier. L’exemple suivant éclaircira ce que ces notions peuvent avoir d’abstrait. » i

“ Supposons que dans le triangle ABC, fig. 15, on connaisse l’angle A , l’angle , et le côté c , on cherchera dans la suite des triangles calculés ,

celui qui a deux angles A et B respectivement égaux aux angles A et B ; il sera nécessairement semblable au triangle proposé ABC; et puisque toutes ses parties a', b', c' sont connues, on aura les proportions: c* : c : : a' : a , c' : c : : ô' : ô ,

dans chacune desquelles les trois premiers termes sont donnés. On trouvera, par conséquent :

ca' ^ cb' c' ’ c' '

(*) N’cst-ce pas trop dire?

et comme on a d’ailleurs C= C, toutes les parties du triangle ABC seront détenninées. »

“ Maintenant qu’on voit le parti qu’on peut tirer d’une suite de triangles faits sur tous les angles possibles , et dont les côtés seraient calculés , il est naturel de chercher les moyens de foimer une pareille suite. „ ( Ici nous quittons M'. Lacroix, pour le reprendie" dans un moment). Or tout triangle ABC, figm-es 16 et 17, peut être ramené au triangle rectangle; car ayant pris un 'côté AB pour base, si du sommet C on abaisse sur (cette base une perpendiculaire CD, dès qu’on aura déterminé les triangles rcc. tangles ACD, BCD , le triangle ABC sera aussi déterminé. Cela posé, tous les triangles que nous avons à calculer sont rectangles. “ Il est facile de voir qu’on les pouiTa construire tous dans un quart de cercle, en abaissant de chacun des points de l’arc , fig. 19, des perpendiculaires .A//* , M'P", Al" P", etc., sur la ligne AB ,cX. tirant les rayons AM, AM' , AM", etc; les triangles AMP, AM'F , AM"F' , etc., formés ainsi, seront rectangles en P, P', P', etc., et les angles PAM, PAM, PAM" , etc., auront successivement toutes les valeurs possibles: enfin les angles AMP, AM'F, AM" F', etc., qui, avec les précédons, forment un angle droit, seront aussi tels que l’exige la nature des triangles rectangles ; et il ne saurait exister de triangle rectangle qui ne soit pas équiangle avec quelqu’un de ceux que fournit la construction présente. Il est à propos de remarquer que ces derniers ont tous une meme hypothénuse, égale au rayon de l’arc. „

“ On pourrait encore former une suite de triangles rectangles, ayant tons on des côtés de l’angle droit égal au rayon du cercle; il suffit pour cela d'élever la tangente indéfinie TG, fig. 28, à l’extrémité du rayon AT, et de mener par le centre A et par les points M, A/', A/", etc., les sécantes AG, AG', AG" , etc. Il est évident que les triangles ATG, ATG' , ATG" , etc. , auront successivement toutes les combinaisons d’angles qui peuvent exister dans un triangle rectangle ; et paimi ces triangles , il s’en trouvera nécessairement un semblable à tel triangle rectangle qu’on voudra. „

Viennent ici les dénominations des lignes MP , M'F , etc., fig. 19, et des lignes A/Ç, M'Qf , etc., ou AP , AF , etc., qui sont les sinus et cosinus des arcs correspondans ; celles des lignes TG, TG' , etc., fig. 28, et des lignes AG, AG' , etc., qui sont les tangentes et sécantes des arcs correspondans, Lnfiii la définition des cotongehtes et cosécantes.

FOHMULEf RELATIVES

Formules relatives aux lignes trigonométriques.

84. Dans le» analogie» précédente», destinée* à la résolution des triangle», nous avons nécessairement dû faire entrer le» côtés de ces figures (n®. 72); maintenant nous allons, en quelque sorte, prendre chaque angle à part, et chercher des formules relatives aux lignes trigonométriques de CCS angle», sans considérer en aucune manière les côtés de» triangle».

La première chose à observer ici , c’est qu’il est très-facile de calculer le cosinus d’un angle quand on connaît son sinus, et réciproquement; caria seule inspection de la fig. 36 prouve que l’on a : sin* coi* = R } ,

d’où l’on tire : ^

cos = ± — «it* = ± \/ iR-\-sin) jR — rin) , sin = ±:\/R^ — cos* = ±\/ (R+cos) {R — cos).

On a donc aussi:

iirt* A + cos* A = siri* B + cos* B , sin* A — sin* B = cos* B — cos* A ,

A + sin B) isUi A — sut B)=z{cosB + cos A) (cos B — cos A ) , sin A + sin B: cos B cos A :: cos B — cos A: sin A — süiB. J

Avec un même sinus, on a donc deux cosinus égaux, lunen plu», 1 autre en moins; ce sont évidemment les cosinus de deux angles, l’un aigu, 1 autre obtus, supplémens l’un de l’autre; cosinus que nous savon» être égaux et dirigé» en sens contraire (n®. 82). Mais avec un même cosinus, dirigé dans un seul sens, on voit par la foimulc qu’on a aussi deux sinus égaux et de signes ditlérens. Ces sinus appartiennent à deux angle» égaux séparés par le diamètre NB sur lequel on a abaissé les sinus , qui se trouvent ainsi dirigés en sens conü aire. D’où l’on voit que les sinus sont en plu» au-dessus du diamètre NB, qu’ils sont en moins au-dessous; et que le» cosinus sont en plus à droite du diamètre DG, et en moins à gauche de ce meme

diamètre. . ,

85. On peut observer ensuite que lorsqu’on connaît le sinus et le cosinus

d’un angle, on peut facilement calculer sa tangente , sa sécante, gente, et sa cosécante: le» triangles AMP et ABE , AMQ elACD, fig- 6. doiment :

cos ;

AUX LIGNES TRIGONOMÉTBIQOES.

cos-.sin::R:tang cos : R :: R : se'c =

R. sin cos 7 ?» ' cos ’

sin : cos ::R: cotcmg ■

R. cos

siniRiiR: cose'c = .

sin

Il résulte de ces formule»: 1“. Que toutes les fois que le sinus et le cosinus seront de même signe la tangente et la cotangente seront en plus ; ce qui aura lieu dans le premier quart de cercle Dyéli et dans le troisième J/Aü. Alors la tangente et la cotangentc sont dirigées comme BE et DC. 2*. Que toutes les fois que le sinus et le cosinus seront de signe contraire, la tangente et la cotangente seront en moins; ce qui aura lieu dans le second quart de cercle DAH et dans le quatrième G AB. Alors ces lignes seront dirigées comme BE' et DC. 3®. Que quand le sinus et le cosinus seront en plus, la sécante et la cosccante seront en plus; cela aura lieu dans le premier quadiant. Alors ces lignes se superposeront et marcheront depuis le centre en sens direct de la seconde extrémité de l'arc. 4®. Que quand le sinus et le cosinus sei'ont en moins, la sécante et la cosécante seront en moins; cela aura lieu dans le troisième quadrant. Alors ces lignes se superposeront encore et marcheront depuis le centre en sens inverse de la seconde extrémité de l'arc, puisqu'elles reviendront dans le premier quadrant. 5°. Que quand le sinus sera en plus et le cosinus en moins, la sécante sera en moins et la cosécante en plus; cela aura lieu dans le second quadrant. Alors ces lignes seront prolongement l'une de l’autre, la sécante marchant en scn.s inverse de la seconde extrémité de l'arc et la cosécante en sens direct. 6’. Que quand le sinus sera en moins et le cosinus en plus, la sécante sera en plus et la cosécaute en moins; cela aura lieu dan» le quatrième quadrant Alors ces lignes sc mettront encore bout à bout, la sécante marchant directement vers la seconde extrémité de l'arc et la cosécante se dirigeant en sens inverse.

86. Du reste les formules (1) et (2), soit qu’on les prenne isolément, soit qu’on les combine entr’elles , peuvent donner plusieurs expressions différentes de chaque ligne trigonometrique , et certaines analogies plus ou

rOBMULBS lEtATIVXS

moins remarquables. Mais il vaudra mieux les rechercher lorsque nous serons

da!\8 le cas d’en taire quelqu 'application ; nous nous bornerons ici à en

indiquer quelques-unes.

Par exemple , on tire tout-de-siule de f 2 ) :

tang. cotz=Ji* , tang — , col — ...(3).

^ ^cot tang ' '

On a donc aussi ;

tang A : long £ : :

cotB

ccl A: col B:'.

tang A ' tang B ’

cot A

d oü il résulte également :

tang A : tang B eot B •. cot A , ( 4).

Les formules ( 2 ) donnent aussi ;

tang :cot:: sin^ : cos* , séc : coséc ::sin: cos ... (5).

Parmi les résultats qu’on pourrait obtenir de la combinaison de ( I ) et de (2), il en est qui resultent plus simplement de l'inspection des figures, et qu'on retrouve ainsi plus facilement au besoin ; en voici deux exemples. La fig. 36 donne:

se'c* — ■ tang* = R* , coséc* — col* = R* ; d’où l’on peut conclure :

séc* — tang* = cos^c* — cot * , séc* — coséc* = tanç* — cot * , J . . . (6).

séc + tang : coséc cot :: coséc — col : séc — tang,

séc -4- coséc : tang cot :: tang — cot : séc — coséc.

S7. Tout revient donc, dans le calcul des lignes trigonométriques , à la

détermination des s’mus ( n“*. 84, 85); reste à^voir comment on peut trouver ccux-ci. Nous en obtienrlrons du moins asscx facilement quelquesuns.

1°. On sait que le sinus de l’angle droit est le rayon , et que son cosinus est nul ; faisant le rayon égal à 1 , ou prenant pour unité le rayon quel qu’il soit (n®*. 67, 75), on aura;

sin 100® = 1 , cos 100® = O.

2*. .Si l’angle MAP, fig. 36, est de 50®, l'angle AMP sera aussi de 50®, et le sinus MP sera égal au cosinus AP , on pourra donc tirer de ( 1 ) . . . 2 sin* 5ü* = 1 ; d’où

sin 50® = I , cos 50° = I \/2.

(Voyez Geom. Append. Probl. XXV;.

3*. Comme le cùté de l’hexagone régulier inscrit est égal an rayon du

AUX LIGNES TBIGONOMÉTKIOUES. .*j«

cerde (Géom. Append. Probl. XXIV), on a la corde de la sixième partie de la circonférence égale à 1 ; mais la moitié de cette corde est le sinus de la douzième partie de U circonférence, ou du tiers de i'angle droit; calculant donc le cosinus par les formules ( i ) , on a :

sin J ( 100») = î , cof I ( 100* ) = ! V'3.

4°. Comme le côté du pentagone régulier inscrit est égal à la plus grande partie du rajon divisé en moyenne et extrême raison (Géom. Append Probl. XXVI), si l'on fait a =: 1 dans la formule du n*. 64, on trouve pour le côté du décagone, ou pour la corde de 40°, î ( %/5 — 1 ); donc rin 20° = Jfv'fi — D, cor 20® = i + 2 v/5.

Il faut du reste observer, que le sinu.s de chaque arc est le cosinus du complément de cet «rc, et réciproquement que chaque cosinus est uu sinus.

88. Voilà donc quelques sinus connus, qui peuvent servir de point de dépai-t. Il faudrait voir maintenant, si connaissant sin A et cos A, sin B et cos B, on ne pourrait pas généralement déterminer sin {A-^B) et . . . cos (Azt.B)',csir il est évident qu’on n’a pas sin (A:±:B )—sinA ±sin B.

Supposons que GM soit l’are A, fig. 37, et DM l’arc B, on connaît sin A et cos A, ou MP et 6P, outre sin B et cos B, ou DE et CE ; et l'on voudrait trouver la valeur de sin {A-\-B) et de cos i^A + B'), ou DF et CF.

Menant EH parallèle à MP et EK parallèle à CP, les triangles semblables 'CA/P, CEH, donneront:

R:sin A:\cos B‘. EH—

sin A cos B

R : cos B : : eos A : CH=i

cos A cos B

Les triangles semblables CMP, DEK, donneront:

^ B cos A

R'.sin B:\cosA-.D K — — , R:siiiA::süiB:EK-

sin A sin B R ■

Ajoutant la valeur de DK à celle de EU ou KF , pour avoir DF ou

sin {A B ) , et retranchant la valeur de EK = FH de la valeur de C//,

pour avoir CF ou cos (A + B), on obtiendra:

. , , , „ . sin A cos B + sin B cos A sm(A + B-)= ,

cos A eos B — sin A sin B cos (A + B) == JT .

FORMULES nrtATIVES

On a donc aussi, sans consulter aucune figure,

. . „ sin B' cos B + \in B cos

sin(B' + B)=z J— ,

cos B" cos B — sin ff sin B cof (^'4-5)= ^ ;

faisant B =. A — B, on aura B B ■=. A , substituant ces Taleur» et

uiukipliant par R , on trouvera :

. R sin A — cos B sin (A — B) + sin B cOs (A — B),

R cos A = cos B COS (A — B) — sin B sin ( A — B);

considérant vvi/t C/l — B) et cos (A — B) comme les inconnues de ces

deux équations, éliminant pour calculer leurs ralcui's, et se souvenant que

Si/i- + cos* = R*, ou trouvera, après les réductions :

sin A cos B — sut B cos A sin (A — B) =

cos (A — Æ ) = -

cos A cos B -f- sin A sin B