Maintenant, .après avoir tiré de ( 1 ) cette équation

I cos* I /I + 1 sin* lA = iR*,

Si l'on met -J/l à la place de A dans la seconde formule (9) sons sa première forme, qu’on multiplie par R, qu’on divise par 2, et qu’on prenne le second membre pour le premier, on aura ;

I cos* lA — I sin* iA = tR cos A ;

AUX LIGNES THICOKOMÉTBIQÜES. 61

retranchant d’abord cette équation de la précédente, puis les ajoutant ensuite , et extrayant les racines , on obtiendra :

sin\A=y/\R' — \RcosA, cos{A==y/iR= + IR cos~Â ... (tl) ce qui servira à calculer le sinus et le cosinus de la moitié d'un arc , par le cosinus de cet arc. On pourrait aussi trouver des formules où ces vakiu’s seraient exprimées au moyen de sin A.

Si dans lo« valeurs des sinus et cosinus de 3 A, de 4.4, de 5A, etc., on met succe.ssivcinent à la place de A, lA, i A, \A, etc., on obtiendra des équations propres à donner les sinus et cosinus du tiers, du quart, de la cinquième partie, etc , de tel ou tel arc connu; mais elles seront de degrés plus ou moins élevés.

91. Du reste les formules (7) et (8) en peuvent donner beaucoup d’autres , plus ou moins importantes ; nous allons voir celles que Ton emploie le plus fréquemment.

. Ajoutez d’abord la valeur de sin (A — B) à celle de sin f ^ + 5), ensuite retranchez la première de la seconde ; et faites la même chose pour cos (A — B) et cos ( A B), vous aurez, après les réductions : sin A cos B=lRsin(A-i-B) + lRsin(A — B), 1 sinBcos A = lR süi(A + B) — lRsin(A — B), I cos A cos B— IR cos {A — B)+ 1 R cos ( A + B) , l’” sin A sinB=l R cos (A — B) — }Rcos(A + B). }

92. Supposant A -i~ B = P, A — B ~Q, ajoutant ensemble ces deux équations , puis retranchant la seconde de la première , on aura ;

À=liP + Q), outre A + B = P, A~B = Q;

substituant ces valeurs dans ( 12), on en tirera facilement :

si,, P + ,1,, s ^ ?‘'-i(l‘ + Q)^osi(P-Q)

/^ 2 COJ { ( P + O) cor î ( P — O)

cos P + COJ O = î-i ^ ^

ensQ 2rin|CP+g)JinK^-g) -

93. Divisant ces fonnulcs les unes par les autres , et ‘^observant que, d’après (2j,

on obtiendra:

siii P + siri Q

sin

- sin

sin

jP -f- 5tn

cos

P -f- cos

sin

P -f- sin

cos

- cos

,sin

- s in

cos

P -J- cos

sin

- .ti/j

cas

- cos

cos

P + cos

TOBMULES BELATITES sln tang R i

cos H cot ' ‘

f f” î ^ Î {Lz — ^^9î(P-^Q)

cosl(P+Q)tin{iP—Q) tang{\^P—Q)' ûti {( P + Q ) ^ ^gi(-P + Q) coVi(P+Ç) S

cosl(.P — Q ) cotlCP — Q) sinliP — Q) R '

sin{(P — Q ) ‘ tang\(.P-‘Q) cos I ( i* — Q) R ’

CQj|(P+g) colj(P+Q)

sml(P + Q)

cos — cos P sin { (,P + ^)sinl{P — Q) tang\{:P — Q) '

94. SI dans Ica deux prciuièrca de ( 12 j on làit B = A, on retrouvera une des foimulea ( 9 ) ; mais si on fait la même supposition dans les deux dernières de Cl2), on aura:

cos* A -\-i P cos 2 A , sin* .4 = | ^ — s R cos 2 A... (iS).

Ces résultats se tireraient aussi de ( 9 ).

Si dans les deux premières de ( 13) on fait Q = o, on obtiendra:

. ^ 2 sin i P cos { P

suiP== ^ î... (16).

Si on fait la même supposition dans les deux dernières de ( 13), oa trouvera :

JC R

Si dans la seconde ou la quatrième de ( 14), on fait encore Q^ — o, et de même dans la troisième ou la cinquième, il en résultera:

sin P tang- P R sin P col {P R

R + cosP R. col{P’ R — cosP R tang\P

£n faisant la même supposition dans la sixième , on trouvera :

R + cos P coPlP R*

R — cos P K*

La première ne donnerait que 1 =; 1.

tang* | P

AOX LIGNES TmiGONOMÉTBIQüES. 63

$6. Prenant dans (2) la valeur de la tangente de B , substituant dans cette valeur celles de sin (j 4 + ^) et de cos {A + B), tiiées de (7), et observant que l’on a aussi, d’après (2),

sin A =

cos A tang A

sin B =

cos B tang B

tcmg + i?)

substituant encore ces valeurs, et divisant tout par cos A cos B, on aura;

/f* (tang A + tang B)

— tang A tang B

on trouverait de même : (20).

X* (tang A — tang B) g. + ^ B .

Si dans la prenüère on fait B— A, il en résultera ;

2 R* tang A

tang 2 A = -. - (21).

R* — long- A

En faisant B = 2A, on aurait;

R* (tang A + tang 2 A)

tang 3A= — — . .

' R* — tang A tang 2 A

d’où l’on pourrait tirer, au moyen de (21), J... (22).

3 R^ tang A — tang^ A

tang 3 ; . . .

R^ — 3 long A

Et ainsi de suite.

Pour avoir tang | .d, on pourra écrire la valeur de «in | sur celle

de cos I A, prises dans (11), multiplier ensuite haut et bas par la valeur

de sin J A , mettre sin* il à la place de R* — cos* A , extraiie la racine

indiquée et réduire; on obtiendra;

. R* — R cos A

tang\A= ^ — ... (23).

sm A

Au moyen des valeurs de sin ] A , cos | A , sin J A , cor J A , etc. (n*. 90 )^ on pourrait avoir celles de tatig | A , tang J A , etc.

On pourrait aussi trouver des formules pour e.xprimer ces tangentes , en mettant dans (21 ), (22), etc., IA,\ A, etc., à la place de A.

Notions sur le calcul des tables de sinus, tangentes, etc.

96. Nous avons vu (n®. 87 ) que tout revenait, dans le calcul des lignes trigonomélriques , à la détenninaüon des sinus. Or, en prenant le rayon

CAlCüt DES TABLES

pour unité , tous les autres sinus seront des fractions , que l’on représentera par des dcciraales; et puisque les fractions de cette espèce ne sont pas toujours finies, il faudra se déterminer a donner dans les tables, un certain nombre de figures décimales à chaque sinus, suivant le degré d’approximation que l’on voudra obtenir; supposons, par exemple, sept décimales. D’ailleurs comme ces nombres doivent souvent être muhipliés et divisés les uns par les autres, pour le calcul des lignes trigonomcü-iques, il faudra leur donner d’aliord cinq ou six décimales de plus que celles qu'on veut leur laisser dans les tables. Ainsi, pour calculer le sinus de 50°, égal à J v/“ (n“- fi7), il faudra extraire la racine de 2, puis en prendre la moitié, ensuite que la fraction ait au moins jusqu’à douze décimales. Il

faudra faire la même chose pour le sinus de 20°, qui vaut I (^5 i)

(n". 87). Etc.

Cela posé, si l’on part des sinus et cosinus connus du n”. 87, on en pourra trouver d’autres par les formules (7), (8), (9), (10), (11), et ceux-ci en feront trouver d'autres encore par les mêmes foimules. Il est facile de comprendre qu’on les trouvera tous de cette manière. Ainsi le sinus et le cosinus de 60" feront trouver par ( 11 ) ceux de 25°, de 12° 50', de 6° 25', etc. Ceux de 20° donneront p.xr (9) ceux de 4o° et 80°, par (10) ceux de 60°, par (11) ceux de 10°, de 5°, de 2° 50', de 1° 25', etc. Les sinus et cosinus de 50° et de 20° donneront par ( 7 ) ceux de 70° , et par ( 8 ) CCU.X de 30°.

Et ainsi de suite. »

97. Il fuit remarquer que les arcs très-petits différent fort peu de leurs sinus ; d'où il resuite que lorsqu’on sera arrivé à ces arcs, par les procédés que nous venons de décrire, si on calcule Icui-s longueurs en parties du rayon 1 , on trouxTra qu’elles sont représentées par les même fractions que leurs sinus, au moins jusiju’à un certain nombre de figures décimales. Aloi'S, à plus forte raison, les arcs plus petits encore seront- ils égaux à leurs sinus, ensorte que pour avoir ceu.x-ci, il suffira de calculer ceux-là. Si on trouvait , par exemple . que pour le nombre de figures décimales que l’on veut, douze, par exemple, le sinus d’une minute fût égal à sop arc , et qu’on voulût avoir les sinus des cent premières secondes , on calculerait la longueur de l’arc d'une seconde, que l'on multiplierait par 2 , 3, À, 5, etc., pour avoir les longueurs des arcs de 2", 3", à", 5", etc., et ces

longueurs

DE SINüS, tangentes, etc.

longueurs seraient aussi celles des sinus de ces arcs. Or rien n’est plus facile que de calculer la longueur d’un arc donné.

Le diamètre étant 1, on sait que la circonférence vaut, (Géom. Lir. V. Th. XXIII. Schol, III),

ainsi , le diamètre étant 2 ou le rayon 1 , la circonférence vaut

et par conséquent le quadrant égale

Donc le degré , qui est la centième partie du quadrant , vaut

La minute, qui est la centième partie du dcgié, égale

La seconde, qui est la centième partie de la minute, vaut

Cette valeur est aussi celle du sinus d’une seconde, et en la doublant, triplant , etc. , on aura les sinus de deux secondes , trois secondes , etc. , jusqu’à une minute.

98. En partant de cette donnée, qu’avec douze décimales, pour en garder sept dans les tables, la longueur de l’arc d’une minute doit être prise pour le sinus même de cet arc , on peut trouver un procédé qui permette de s'élever de minute en minute , ou de seconde en seconde , jusqu’à cent degré.s , pour calculer successivement toUs les sinus du quadrant. Ajoutons la première formule (7) avec la première formule (8), nous aurons: sin B) =2 sin A cos B — svn ( A — B ),

Supposons maintenant que A vaille m fois B, ou que l’on ait A =: m B, et substituons cette valeur , nous trouverons :

sin ( m + 1 ) B =2 sin m B cos B — sin ( m — i) B... ( 24 ) ; d'où l'on tire, en faisant successivement /n=l, 2, 3, 4, 5, etc., sin 2 B = 2 sin B coi B, sin 3 B z=z2 sin 2 B cos B — sin B, sin À B = 2 sin 3 B cos B — sin2 B, sin 6 B = 2 sin À B cos B — sin3 B , suit B =2 sin 6 B cos B — sin 4 B , etc.

Connaissant donc le sinus et le cosinus d'une minute, on pourra calculer,

BÉHOLUTION des TBIAN6LES

par ces formules , le sinus de deux minutes , puis celui de trois minutes , puis celui de quatre minutes, etc., etc.

Si on voulait calculer en même temps les cosinus, en ajoutant la seconde formule ( 7 ) avec la seconde formule ( 8 ) , et faisant les suppositions que nous venons déjà de faire, on arriverait à ces résultats : cos 2 B = 2 cos* B — 1 , cos 3 B = 2 cos 2 B cos B — cos B, cos 4 B = 2 cos 3 B cos B — cos 2 B , cos 5 B = 2 cos 4 B cos B — cof 3 B, coi b B = 2 cos 6 B cos B — cos 4 B , etc.

Mais si l’on calcule en même temps le sinus et le cosinus de chaque arc , il sulHra d’aller jusqu'à 5ü®, puisque les cosinus des 50 premiers degrés sont les sinus des 50 derniers , et réciproquement ( n°. 87 ).

De la résolution des triangles par dautres principes.

99- En traitant de la résolution des triangles, nous n’avons pas indiqué tous les procédés qui peuvent conduire à ce but ; nous nous sommes attachés à des principes faciles à saisir et à démontrer, et auxquels on pût immédiatement appliquer le calcul logarithmique. Maintenant que nous sommes plus avancés, nous allons repn'cndre cette matière, et faire connaître d’aU' très principes qui y ont rapport , et qui sont utiles et intcre>sans.

too. Considérons le triangle ABC, 6g. 31, la géométrie nous apprend qu’on doit avoir, (Géom. Liv. IV. Th. X),

O* = i* + c* — 2c. AD.

D’un autre côté, le principe de trigonométrie du n®. 74 donne, pour le triangle rectangle ACD ,

R:b’.‘.sin ACD: AD ; ou (n®. 82) R:b iicos A •. AD.

Nous préférons cette dernière proportion, parce que l’angle A appartient au triangle proposé , et non l'angle ACD. Ainsi

AD = b

co s A R ■

Substituant cette valeur dans la première équation, elle devient