COS

a* = 5* -H c* — 2bc. — ^ — . . . ( 27 ).

PAU d’aütres principes. 67

Si l’angle A était obtus, fig. 32, le dernier terme de U première équation serait en plus, mais le cosinus de A étant en moins (n“*. 82, 84), le dernier terme de la formule se trouverait toujours en moins.

Si ranglc A était droit , on aurait cos A =. o , et le dernier terme serait nul.

Ainsi la formule est démontrée pour tous les cas; et si on l’applique aux auties côtés du triangle, on obtiendra, en extrayant les racines ,

2bc.

cas A

Va-

• 2ac.

cos B

2ab.

cos C ~~R~'

Il est clair que ces formules peuvent servir à calculer immédiatement ua côté d’un triangle, quand on connaît les deux autres côtés et l’angle compris. On se trouve ensuite, pour déteiminer les deux autres angles, dans le cas où les données sont les trois côtés. Or ces mêmes formules en donnent d’autres propres à ce cas-là.

101. Traitons cos A, cos B, cos C comme les inconnues, carrons les deux membres, transposons, multiplions par Æ , et divisons par le coéfficient du cosinus, nous trouverons:

cos

2bc

cos

2ac

formules qui feront connaître les angles , lorsque les trois côtés seront donnés.

102. Elles peuvent aussi s’appliquer au cas où l’on aurait deux côtés et un angle opposé à l’un de ces côtés, et où l’on voudrait calculer immédiatement le troisième côté. Supposons qu’on connaisse les côtés a et b, fig. 31 , et l’angle A opposé au côté a, et qu’on veuille calculer le côté c. Prenons (27), tout y est conuu sauf c, résolvons donc cette équation comme une équation du second degré dont 1 inconnue soit c, nous aurons:

b cos AA/ ô* sur A c = — ^±'Va’ (30).

Discutons un peu cette formule , puisque nous savons que ce cas peut offrir quelque chose de douteux (n°. 76).

>£S0L17TI0N DtS-^TBIANGLES

D'abord le côté c sera impossible si a* <

ô’ iin* A

ou si a <

h sin A

• , b sin A . ,

mais U est facile de voir que cette seconde quantité — ^ — exprime la perpendiculaire CD; car le triangle ACD donne:

R : b : sin A : CD ;

ainsi le côté c est impossible , et par conséquent le triangle à résoudre , si

on veut supposer le côté opposé à A plus petit que la perpendiculaire CD.

„ b sin A ^ b sin A

Donc a = ;; ou a > .

Si a

b sin A

. b cos A „

, le radical s annulle, et 1 on trouve c = — . Dans

ce cas A ne peut être droit, car on aurait cos A = o, et c = o, parce que a ne pourrait se placer que sur b ou CA. On ne pourrait pas davantage avoir A obtus, car on aurait cos A en moins et c en moins; ensorte que le triangle ne serait pas fermé du côté de fangle obtus. En effet la perpendiculaire ne peut jamais tomber dans cet angle. Ainsi dans ce cas A est aigu , et l’on n’a pour c qu’une valeur en plus, comme dans la fig. 24. h sut A

Si a > , la formule donnera deux valeurs pour c ; or toutes les

fois qu’une de ces valeurs sera complètement en moins, elle devra être rejetee, parce qu’en portant cette seconde valeur en sens contraire de la première, sur une même ligne droite, on fermerait un second triangle, qui ne contiendrait pas l’angle donné, à moins que cet angle ne fût droit.

Si A est di oit , fig. 21 , sin A = R , cos A — o , et la fonnule donne : c = H;; y'a® — ô*.

Dans ce cas la seconde valeur de c, égale à la première, pourrait en effet être portée en sens contra’u-e, pour fermer un second triangle égal au premier ; mais ce ne serait que le même triangle dans une autre position.

Si A est obtus , fig. 22 , cos A est en moins , et par conséquent aussi la seconde valeur de c, qui devient insignifiante , d’après ce que nous venons de dire.

Si A est aigu , le terme

b cos A

•sera en plus, alors si la valeur du radical

est plus grande que cc premier terme, la seconde valeur de c sera en moins,

PA» d’autres principes. 6f

et par conséquent insignifiante. Mais elle sera en plus, comme la première, et ne pourra ètrq rejetée , si l’on a