V . 6* îi/«* A b cos A
•U, ce qui revient au même, comme on le voit en mettant pour cos A sa
valeur tirée de (1) et réduisant, si l’on a^
y b-si^ V b^sin^A
Or , il est évident que cette condition aura lieu quand on aura ccllé-ci : « < fr.
Les deux valeurs de c en plus seront alors les deux lignes AB de la fig. 25;
et c’est précisément là le cas douteux.
^ b sin A , , , .
A étant toujoure aigu et a > ou plut grand que la perpendicu-
laire , si on a a = 6, la fonnulc donne, en mettant R} — cos* à la place de sin* A , et réduisant :
b cos A b cos A
c’est- à-dirc ,
2b cos A
ou c = zéro.
C’est le cas de la fig. 20 , ou de la fig. 30. On voit en elTct , dans cette dernière , que AB owc vaut 2 AD ; or le triangle ACD donne R:b:: cos A : AD, La seconde valeur est nulle, parce qu’en portant a sur 5, il n’y a plus de ti'iangle.
Enfin , avec yi aigu et a > — , si 1 on a a > o , comme dans la
fig. 23 , la seconde valeur de c est en moins , et , d’après tout ce que nous avons dit , elle est in.signifîante.
103. On peut remarquer que les formules (28) ou (29), renfermant le» six partie» d'un triangle, pourront toujours en faire trouver trois qui seraient inconnues, loreque les trois autres seront connue»; du moins dans les cas où le triangle est déterminé. Aussi, venons-nous de voir qu’elles s'appliquent aux cas où l’on connaît deux côtés et un angle, ou le.s trois côtés (n°‘. 100, 101 , 102). El il n’est pas difficile d'en tirer le principe des sinus proportionnels aux côtés; d’où il résulte qu’en ell'et elles comprennent tous les cas, et qu’elle» rcnl'crraent implicitement toute la trigonométrie.
70 nÉSOtUTIOM DES TRIANCtES
On sait par CO que siri* j4 = R* — coi» A ; substituant la Taleur de cou* A, tirée de (29), réduisant, extrayant la racine, et divisant ensuite par a, on obtient :
s in A R \ i !
En partant de sin' B, e t substituant la valeur de cor* B, o n aurait: sin B R A/ '
Enfin on trouverait aussi :
s 'ui C R Af j ~
Donc :
sin A sin B sin C
ou , ce qui revient au môme ( n*. 73 ) ,
sin A : a : : sin B : b : : sin C : c.
Mais il faut convenir que ce principe, ou du moins un cas particulier de ce principe, nous a servi lui -meme à démontrer les foraiules en question (n“. 100), et qu’il devait donc être connu avant elles. Si l'on y fait attention, on trouvera que toute la trigonométrie dépend du principe des triangles semblables d'avoir leurs côtés homologues proportionnels ; du moins en le combinant avec les propriétés des proportions et la connaissance de la composition du carré d’un binôme (Vojez Céom. Liv. IV. n“. 36 40 49 ).
104. Du reste les fomiulcs (2S) et (29) ne sont pas commodes lorsqu’on veut calculer par logarithmes , à cause des additions et soustrations qu’elles renferment. On a donc cherché à les modifier ; et voici ce qu’on a trouvé: Nous commencerons par la première formule ( 28 ) qui donne
a* = i* -f- c' — 2bc.
cos A
d'où l’on peut tirer:
a' =: (b' — 2bc -4- c*) -4- 2bc — 2bc ,
B}a' ~R'{b~ cy -\-2hc(,R} — R cos A) ; mais la formule (11) donne :
R' •— R cos A — 2 sin' i A.
TAM CAUTSES PBINCIPES.
Tt
(ubstituant , on a :
Æ*a* =E*(b — cy + hhc sin^ | A, ou , en multipliant et divisant le dernier terme par ( b — c ) •
Àbc (b — e ) •
„ . / sin^ i A \
Or le dernier terme, qui ne renferme que des connues, et qui est facile à calculer par logarithmes , des qu’on a pris { d et qu’on a retranché c de b, peut être considéré comme l’expression du carré de la tangente d'un certain angle, que nous désignerons par ♦ , car il y a des tangentes de toutes les grandeurs, depuis zéro jusqu'à l'infini; ce qui n’a pas lieu pour les autres lignes trigonoméUiques. On connaîtra donc ta/ig^ 9 , et par conséquent aussi
tang 9
2 sin I A b — c
\/bc;
et la dernière formule deviendra:
£*a* = (fi — c)* (iî* + tang* « ) , ou , au moyen de ( 6 ) ,
Jî*a* = ( é — cy séc* 9 , Jî a = ( 6 — • c ) sec * ;
ou enfin , au moyen de ( 2 ) ,
Jla =
cos 9
Divisant par R, pour avoir a, et rapprochant de cette valeur celle de tang 9 , on aura:
2s'mlA
tang 9 = — — î — ybe , b — c
RÇb — c)
cos 9
Connaissant donc 6, c et ^1, on aura d’abord tang 9 , et les tables donneront 9 ; alors on trouvera a par la seconde formule.
Les autres formules (28) en donneraient d’analogues à celles-ci, pour déterminer soit b, soit c, quand on connaiUait les autres côtés et l’angle compris.
105. Voyons aussi les formules (29); prenons -y la valeur de cos A, et
72 bésolution des triangles
substituons • la dans celle de sin { A, donnée par ( 1 i ) ; nous en tirerons
apres quelques réductions :
sini A
Abc
mais comme la différence de deux carrés égale la somme des racines multipliée par leur différence, on aura aussi :
smlA = R y ^ .
Faisant le périmètre connu du triangle égal à ^ , il en résultera
(a+i — c) =2p — 2c, (a -f-c — b) = 2p — 2 b ; d’où l’on conclura :
fin î A
bc
On trouverait des formules analogues pour fin {B, sui \ C.
On remarquera que comme A < 200", on a { yl < 100°; ensortc que le sinus trouvé appartiendra toujours à un angle aigu, dont le double sera A. D’ailleurs la valeur en moins du radical doit être rejetée, comme insignifiante.
106. On pourrait aussi avoir les valeurs du cosinus et de la tangente de î A.
Pour trouver la première , il faut dirns la seconde foimule (11) susbstituer la valeur de cos A prise dans ( 29 ) , et procédant comme nous venons de le faire pour sin | -l , ori trouvera :
Pour trouver la seconde , ou tang {A, il faut multiplier par R la valeur de siii j A , prise dans ( 32 ) , et la diviser par celle de cos | A , prise dans ( .33 ) , on obtiendra :
tang 1
pip — a)
On rejettera les valeurs en moins données par les radicaux, parce que, comme nous venons de le dire , | A sera toujours aigu.
107. Pendant que nous en sommes à l’usage des logarithmes dans les calculs ti igonométriques , observons que les côtés a et 6 d'un triangle , lorsqu'on connaît l'angle compris C, sont souvent, dans ces calculs, donnés pai' leurs logarithmes. Si on veut alors calculer les angles par le second
principe
•PAH d’AI'THKS principes.
principe (n®. 77), on est diina le cas de chercher d’abord, dans les tables, la valeur de a et de b, d'après celles de leurs logarithmes, puis de reprendre les logarithmes de a 4-^ et de a — b, pour acliever le calcul. Or on a trouve le moyen d'eviter tous ces circuits, comme nous allons le voii actuellement.
Reprenons l'analogie
a 4- 6 : a — b\: taiig \( A -i~ B) : tang | ( 4 — B), nous pourrons , pour rapprocher les a et les b , l’écrire ainsi ;
a — b tang A — B) a + b latig^(A + B)'
prenant le premier membre à part, pour lui donner une autre forme, quiconvienne mieux aux logarithmes , nous pomrons faire d abord . a — b .? — 1
si l'on suppose ensuite que f- soit la tangente d’un certain angle o , qu’il s’agira de déterminer, et si l'un prend en même temps le rayon des tables pour l'unité, comme cela est permis pourvu qu’on fasse le même changement dans les autres lignes trigunométriques , on aura 1 = tant/ 60°, parce que la tangente de 50° est égale au rayon , comme on peut le voir par une figure, ou par la formule C2), en faisant le sinus égal au cosinus.
Compaiant alors le second membre de l’équation précédente avec le second membre de la seconde formule (20) du n°. 95, on verra qu’ils sont égaux , puisqu’on peut les écrire tous deux ainsi :
tang » — tang 50°
1 4 “ tang 9
Cette quantité vaut donc le premier membre de ( 20 ) ou tang (9 — 50® > ; c’est-à-dire qu’on a
== tang ( » --50°);
et, par conséquent.
tang {(A —B)
tojtg ( 9 —50°)=
tang HA + B)
tang ( 9 — 50° ) X tang |(,4-f-it>=lx tang |( — JS ) ,
1 : tang (9 — 60° ) : ; tang l(A-i-B): tang \(A — B); ou, en reprenant un rayon quelconque, qui influera sur toutes les autres lignes trigonométriques ,
sisOLUTION DES TRIANGLES R\tang{9 — 50°) : : tang\(A + B'\:tang\{ A — B)... (35 ),
Dan» cette analogie, les trois premiers termes seront connus et feront trouver le quatrième, quand on aura déterminé • et par conséquent » — 5u°. Or
nous avons fait , le rayon étant 1 , — = long 9 ,
d’où l’on tire :
i. a = b. tang,9, i:tangt::b: a, et, en reprenant le rayon R,
R : long *::b:a;
ce qui n’est autre chose que le troisième principe ( n*. 79 ). Ainsi on aura le logarithme de la tangente de ♦ , en ajoutant celui du rayon à celui de a et en soustrayant celui de b.
Du reste , il est facile de figurer cet angle • , et de faire voir qu’il est plus grand que 50°. Le triangle proposé étant ABC, fig. 38, et le côté a étant plus grand que b , comme nous l’avons supposé ( n". 77 ) , décrivons avec CA ou b poui' rayon, et depuis C pour centre, l’arc ADEG, faisons l’angle BCE droit, et joignons EB et EG, nous trouverons ( n“. 79):
K ; long CEB : : 6 : a ;
donc CEB = •. Et puisqu’on a a > 5 et CEB EBC =. f00°, il en résulte que CEB ou ♦ est plus grand que EBC, et plus grand que 60°. De plus, comme CEG=b\i° ,BEG =.9 — 50°.
107 bis. Voici encore , pour le cas actuel , une foimule différente. Menons sur le côté a la perpendiculaire AP, nous aurons :
BP : AP -.Z R : Umg B=
