CHAPITRE PREMIER

Des principes relatifs à celle partie.

108. T- ot'TES le* lignes possibles sont ou droites ou courbes; mais il n’y a qu’une seule et même espèce de lignes droites , et il y a une infinité de courbes differentes.

Dans toute ligne on trouve une succession non interrompue de points , et la position respective de ces points caractérise la ligne et la distingue de toute autre.

On peut faire les mêmes observations relativement aux surfaces ; et quant aux solides, on voit bien qu'ils sont détenninés par leurs surfaces, qui les enveloppent en quelque sorte , et les circonscrivent de toutes parts.

109. Il est évident qu’il ne serait pas possible de trouver la position absolue d’un point dans l’espace; mais aussi résulte-t-il de ce que nous venons de dire, que ce n’est que sa situation à l’égard de tel ou tel autre point, de telle ou telle ligne, de telle ou telle surface, qui peut nous intéresser. C’est pourquoi on se représenté dans l’espace trois plans indéfinis , s’entrecoupant entu’eux »aus des angles donnes, et la position d'un point se trouve détenninéc quand on connaît la longueur des ti'ois droites menées depuis ce point jusqu’à la rencontre des trois plans, parallèlement à leurs intersections communes.

En cherchant à déterminer ainsi la position d’une suite de points formant une ligne ou une surface, il faudra, pour commencer par cc qu'il y a de plus simple, ne considérer d’abord que les lignes, et parmi cellcs-ci prendre en piemicr lieu la ligne droite et les courbes planes, c’est- a -dire

rSINClPES RELATIFS AUX ÉQUATIONS INDÉTERMINÉES. 77

tes courbes que l’on peut tracer sm- un plan; (le cercle, par exemple, est du nombre de ces dernières); tandis que si l’on courbait un plan sur lequel on aurait tracé d’abord une courbe, celle-ci cesserait d'être plane, et appartiendrait dès lors à la classe des courbes à double courbure.

110. Cela posé, nous nous réprésenterons sur un plan, deux droites indélinies XX', iT', fig. 39, s’entrecoupant entr’elles sous un angle donné, et la position d'un point M, pris dans ce plan, se trouvera déterminée quand on connaîtra la longueur des droites A/P, MQ, menées depuis ce point jusqu’à la rencontre des lignes XX ' , Yï' , et parallèlement à ces lignes

Si le point M s’écarte ou se rapproche des deux lignes AX, Yl" , les longueurs MP , MQ augmenteront ou diminueront, cl si le mouvement de ce point ne se fait pas par sauts, mais qu’il soit continu, il tracera sur le plan une ligne droite ou une courbe plane. Alors on pourra se représenter les longueurs MP, MQ comme deux quantités dont chacune passe par dilférens états de grandeur, en répondant successh’ement aux divci-s points de la ligne décrite. Or les quantités qui, dans une même figure, changent ainsi de grandeur, s’appellent des variables, et se désignent ordinairement par les dernières lettres de l’alphabet, x , y , z, etc., comme les inconnues dans l’algèbre ordinaire; tandis que les quantités qui ne changent point , dans une même figure, sont des constantes , et se représentent par d’autres lettres que les dernières, comme les connues dans l’algèbre. Dans un cercle donné, par exemple, le rayon, le diamètre, la circonférence, les arcs d’un certain nombre de degrés, sont des constantes, pendant que la perpendiculaire abaissée d'un point de la circonférence sur le diamètre, et les portions correspondantes de celui-ci, sont des variables.

11 1. On voit évidemment dans la fig. 39, qu’on peut à la place de PM, QM , prendre .dQ, AP ; mais pour ne pas alaandonner, en quelque sorte, le pohit M, ne faisons qu’une de ces substitutions, et prenons ÇJ/et AQ, ou PM et AP. En nous arrêtant à cette dernière manière , nous appellerons toutes les longueurs QM , rapportées en AP sur la ligne AA' , des coupées ou des abscisses, que nous désignerons par x, et toutes les lon-

(•) Si l’on connaît MP, A/^,et l’angle des axes, égal à MQY, égal à AlPX, on déterminera facilement la grandeur des perpeudiculaircs abaissées du point M sur les a.\es.

rBINCtrES RELATIFS

gucurs PM , que nous ne rapporterons point en quoique nous pus. sion» le faire , des appliquées ou des ordonnées , que nous désignerons par y. Alors la ligne .ÏA’ s’appellera Faxe des abscisses ou des x, et la ligne y y s'appellera l'axe des ordonnées ou des y ; en même temps le point A 8*a)>pellera rorif/ine des abscisses. L’abscisse et l’ordonnée correspondante sont souvent comprises aussi sous la dénomination générale de coordonnées.

1 12. Si le point que l'on considère, au lieu d’ètre en M , est en M , l’abs. cissc AP sera toujours x , mais l’ordonnée PxW sera dirigée en sens contraire de PM et deviendra — y. Si le point est M" les coordonnées seront donc .dp' — — X et P'M" = y. Enfin si le point est AT" les coordonnées scron — X et — y.

113. Appliquons quelques-uns de ces principes, par forme d'exemple, à la courbe circulaire , que nous connaissons si bien.

Supposons que les axes des coordonnées se rencontrent à augles droits au centre du cercle de la fig. 40, les perpendiculaires MP, M'F , etc., abaissées de la circonférence sur le diamètre AB, seront les ordonnées y, y' , etc., et les lignes CP , CP' , etc., seront les abscisses x , x' , etc.; en menant donc les tlroites CM , CM' , etc. , on aura y = V'cTw^ — x'^

y' = \/'cJl"' — x'* , etc. ; mais puisrjue dans le cercle tous les points de la courbe sont à une même distance du centre, ou que tous les rayons sont égaux , on a CM = CM' = etc. = r. Donc y ■= i^r'^ — a,* , ÿ' = y'/ ’ — x'* , etc. ; ou , ce qui revient au même ,

y’ = /■* — .x’, y"~ = /■’ — x'* , etc.

De là il résulte :

Or /■» — x‘ = (r+x)(r — x) = (C/i4-é^/’)(C.ff— =

On trouverait de même r* — x'* = (’/‘ + x')(r — x' ) — AP 'A. BP.

Cela posé, pour énoncer plus facilement le.s égalités et les rapports que nous venons de trouver , quand nous considérerons une ordonnée quelconque, nous appellerons segmens correspondans les distances du pied de cette

(•) On prend ici AC pour CB. parce que ce sont des rayons c'gaux et qu’il ne s'a.qit nullement de leur direction; il s’agit seulement d’avoir une ligne égale à eu + CP, comme qu’elle soit placée, fût clic, si l’on veut, hors du cerde.

A U X É C 17 A T I 0 K * I N D É T E B M I N lî E (i. 79

ordonnée aux deux points où la couibc rencontre l’axe des abscisse#. Nous dirons donc que dans le cercle le carré de chaque ordonnée est égal au rectangle des segmens correspondons , et que les carrés des différentes ordonnées sont entr’eux comme les rectangles des segmens correspondotis.

Sur quoi on doit observer que dans telle ou telle courbe les carrés des ordonnées pourraient être entr’eiix comme les rectangles des segmens corri.-*nondans , sans que le carré d'une ordonnée quelconque fût égal au rectangle des segmens. La première partie du théorème ne peut avoir lieu sans la seconde ; mais la seconde pourrait avoir lieu sans la première.

ti-i. On pourrait donner aux deux proportions précédentes cette forme, qui les généraliserait beaucoup ( Algèbre , n®. 335. D ) :

/(y) :/Py')

et nous avertirons , dès à présent , que c’est là le caractère d’une ligne régulière, savoir que certaines fonctions semblables des ordonnées soient entr’elles comme certa'mes fonctions semblables des abscisses correspondantes.

115. Enfin, si l’on veut que les seuls caractères y ci x désignent toutes

les ordonnées A/P, M'F, etc. , et leurs abscisses correspondantes CP, CP", etc. , qui ne sont qu’une seule ordonnée et une seule abscisse , l’une et l’autre variables et passant par tous les degrés de grandeur que comporte la courbe, on n’aura besoin que de la seule équation y ~ — x* , pour caractériser

le cercle; c’est pourquoi, soit qu’on la laisse sous celte forme, soit 'qu’on l’écrive ainsi y* = r* — aP , ou ainsi y*=(r-\-x) (r — x), ou etc., on l’appelle T équation du cercle.

Il est à remarquer que sous cette dernière foime, elle exprime, d’une manière très - explicite , que le carré de chaque ordonnée est égal au '.eclangle des segmens correspondans ; propriété qui du reste n’est par différente de celle qu’on énonce dans les élémens de géométrie, en disant; la perpendiculaire abaissée d’un point de la circonférence sur le diamètre est moyenne proportionnelle entre les deux segmens de cette ligne. Et pour rendr e bien sensible l'identité de ces deux théorèmes , il suffit de tirer de la dernière équation cette proportion ■. r-\-x:y.:y'.r — x.

116. Nous venons de voir que de l’égalité des rayons résulte la propriété de la perpendiculaire; l’on sent bien d'avance que cela est réciproque, et qu’en alî irmant de la courbe la seconde propriété il en résulte la première : ensoite qu’on doit avoir la même équation en traduisant l’ime ou l’autre en

PHINCIPES RELATIFS

algèbre. Il en serait de même si l'on parlait de quelqu'aulre propriété caractéristique du cercle ; et en général toute propriété particulière à une ligne régulière et qui n’appartient qu'à elle, peut servir à la caractériser, à la distinguer de telle ou telle autre ligne ; et cette propriété renferme implicitement toutes les autres. Elle peut donc fournir une définition de la ligne et conduire à son équation, laquelle sera toujours la même lorsqu’on ne changera ni l’inclinaison des axes l’un sur l’autre ni l’origine des absci.sscs. Et nous verrons que de l’équation on peut retourner à la ligne, que l’on appelle alors le lieu géométrique de l’équation : on peut la décrire , reconnaître sa forme et sa nature , et découvrir toutes ses propriétés.

Mais si l’on change l’angle des axes, ou l'origiiic des abscisses, ou bien l’iine et l’autre de ces choses, alors l’équatiofi pour l’ordinaire change aussi; et une même ligne se trouve avoir par là plusieurs équations. Cependant on peut trouver pour chaque ligne une équation la plus générale pos.sible , et dont Ic.i autres ne sont alors que des cas particuliers. On peut même souvent comprendre dans une seule équation plusieurs courbes de genres différens.

Quant aux lignes vraiment irrégulières, il est évident qu’elles n’ont point d'équation , puisque les rapports des fonctions de Icuis coordonnées changent continuellement.