CHAPITRE II

De la ligne droite; équations, construction des équations, propriétés de

cette ligne.

118. onprosoNS que la ligne droite, fig. 41, passe par l'origine des

abscisses , on aura , à cause des triangles semblables

y ; X ; ; ^ ; aé ; sé' ;; etc.

Mais si l’on désigne par m et n les angles que cette droite fait avec les lues des abscisses et des ordonnées on aura aussi y;x; ; sin m ; sin n.

De ces deux proportions l'on tirera :

smm , sin m , „ sin m „

X, y»-: af, }/ =— a?", etc.

sin n sin n sin n

Et , en désignant par x et y seulement les coordonnées variables , on aura pour l'équation de la ligne en question :

sin m sin n

119. Sur quoi l’on peut observer que si m est donné la position de la droite relativement à l’axe des x est déterminée ; elle l’est aussi relativement i l’autre axe quand n est donné. Mais comme on doit supposer que l'inclinaison des axes entr’eux est fixe et connue , si im de ces angles m ou n est donné , l’autre l’est aussi.

120. Voyons si cette équation convient à toutes les positions de la droite qui passe par l'origme.

1*. Si l’angle m diminue , son sinus diminue aussi ; en même tems l’angle n et son sinus vont en augmentant, alors désigne bientôt une fraction, qui devient toujours plus petite, de même que le produit x relatif à telle ou telle abscisse, et, par conséquent, l’ordonnée correspondante y, égale à ce produit , devient aussi toujours plus petite : c’est ce que l’on voit du reste fort bien dans la figure. Mais quand la droite arrive sur l’axe des x et se confond avec hû , l’angle m est nul , de même que son sinus , et l’on a

01 LA LIONE DIOITE éOOATIONS , CONmüCT. DU tQOKT . , CtC. 83 y = ziroy pour toutes les valeurs de x. C’est donc là l’équation de l’axe des X, Je dis y = o.

Le contraire de ce que nous venons de dire a lieu quand l’angle m aug< mente , et lorsque la droite se confond avec l’axe des y , le sinus de n est

sin fl

nul ; alors l’ëqtiation écrite ainsi : x = y , donne x = zéro,

• sut m

pour toutes les valeurs de y. C'est donc là l’équation de l’axe des y. Je dia x = o.

2°. Si l’angle m continue d'augmenter , 6g. 42 , et devient obtus , après avoir été droit, son sinus, après avoir atteint en longueur le ra/on, redi* minuera de nouveau , mais il sera toujours en + tant que l’angle n’aura pas 200". En même tems l'angle n , qui était devenu zéro , se rétablira en sens contraire et il ira en augmentant ; mais en passant d'un côté à l'autre de l’axe des y il prendra le signe — , de même qtie son sinus. Cependant la formule ne sera point changée , puisque l’abscisse x aura pris aussi le signe — ; ce qui donnera ;