sin m sin m

— stn n sin n

Si la droite , en continuant son mouvement , vient se placer encore sur l’axe des x , on aura de nouveau sin /n = o et y = o.

3*. Si elle va plus loin , m devenant plus grand que 200" son sinus sera en — , tout comme celui de n; mais x et y seront aussi en ; ce qui donnera :

— sin m

— Stn n

sm m

ou y = X.

sin n

La droite se couchant encore sur l'axe des y, on aura, pour la seconde fois , sin n = o et a: = o.

4 “. En6n la droite passant dans le dernier angle formé par les axes , l’an* gle m, plus grand que 200 ®, et plus petit que 400 ° , aura toujours son sinus en — ; mais l'angle n , ayant passé les 200" depuis qu’il est en moins , son sinus sera f/n n = + sin n ; ce qui donnera :

— sin m -H sin n

sin m

■ X, ouy=——x, sut n

84 DE LA LIONS DHOITi: iQtlATIONS,

. Ensorte que l’équation convient à toutes les positions de la droite lorsque celle-ci passe par l’origine des abscisses.

. 121. Si les axes sont perpendiculaires l'un à l’autre , on a. sinn ss f os m , et l’équation devient , pour ce cas particulier ;

sirt m

cos m

tcuig m ~~R

Et si l’on suppose le ra^ on des tables R égal à 1 , on a :

y = lang m'xix;

mais il ne faut pas perdre de vue qu’alors le raj'on est f.

^ . ... sin m , ,

122. Dans tous les cas, si 1 on représente ■- - - par la lettre a, on aura:

sm n

y — ax;

et cette formule sera encore l’equation de la droite qui passe par l’origine

des abscisses ; bien entendu que a , qui vaut - - , preud le signe — dans

s in n

le second angle des axes et dans le quatrième.

123. Supposons maintenant que la droite ne passe point par l’origine des abscisses, et considérons-la d’abord dans la po.sition /t.V, fig. 43, c’est-à-dire comme rencontrant les deux axes. \ous pourrons lui mener par l'origine une

parallèle AM, dont l'équation sera = ce <jui donne

AP=a X AP -1- AJN=a'X.AP-{- AB ; faisant A'P=y, AP=x , et AB=b , parce que AB est constante pour la même droite , on obtiendra ;

y = ax-\-b;

c’est l'équation de cette droite.

124. On peut observer que si BN se meut parallèlement a elle-même , soit dans un sens , soit dans l’autre , les angles m et n, une fois fixés , ne changeront point, ensorte que a restera le même; mais alors la ligne AB ou b deviendra plus grande ou plus petite. £n revanche , si la dioite tourne sur B, b ne changera pas , mais a changera , paice que les angles m et n n'auront plus la même valeur. Voyons donc quelles seraient les données nécessaires pour déterminer la position de BN.

1®. Pour que le point B soit fixé , il faut non-seulement que la grandeur de dd ou de 8 le soit, mais il faut encore que l’angle des coordonnées soit donné , ce qui est évident.

2®. Pour que l’angle m soit fixé , et par conséquent aussi l'angle n , il faut ,

CONSTRUCTION OBI ÉQUATIONS, OtC. ,85

«i l’un ou l'autre ne sont pas donnés immédiatement , qu’en supposant AM parallèle à ittA’ le rapport de MP à ,d7^soit donné en nombres; et c’est ce rapport, qui du reste est le même que celui de ùn in à sui n, que nous

s in m AJ P

avons désigné par a. Si par exemple on avait a , ou - - , ou - ^ , égal a x ,

on en tirerait MP = { AP. Quelle que fût donc la longueur de AP , il faudrait que celle de MP en fût la moitié. ^ ■'T

Mais si a, au lieu d’être donné en nombres, était représenté par une droite , il faudrait encore , pour qu’il ne restât rien d arbitraire dans la posi-

AJP

lion de BN, que l'unité de ligne l fût aussi fixée ; car alors de = a ,

Ji r

on tirerait l •. a w AP : AIP; ce qui ferait trouver MP , quand on aurait pris AP k volonté.

Dans l’équation y=ax, il suffit de fixer a, avec l'unité de ligne, et l’angle des coordonnées, pour que ia ligne soit déterminée ( n°. H9); mais c’est qu’alors on a déjà la condition (jue cette ligne passe par l’origine.

125. Si la droite, au lieu d’élrc placée comme BJf, l'était comme DO, il est facile de voir qu’on aurait y = ax — b; mais il n’est pas besoin de changer^pour cela i équation , il suffira de prendre b en moins lorsque cela sera nécessaire.

126. L’examen que nous avons fait de l’équation y-=ax, pour les quatre angles des axes , peut nous éviter la peine d'en faire un semblable de l'équRtion yz=ax-i~b; cependant il faut faire attention à ceci: que les deux droites BN, DO, accompagnant en quelque sorte la ligne AM, qui est placée dans le premier angle et dans le troisième , on a , pour ce cas , a en -H ( n% 122); mais que si le système des trois droites, tournant sur le point d, se plaçait de manière que AM fût dans le second angle et le quatrième, on aurait alors a en — ( n®. 122 ) ; b ayant toujours le signe pour li( ligne d'en haut et le signe — pour la ligne d’en bas.

127. Si dans ce mouvement AM se plaçait sur l’axe des x ; les droites BN, Du, se trouveraient alors parallèles à cet axe ; en même tems l'angle fr% serait devenu nul , ainsi que son sinus ; et la longueur de b aurait plus ou moins changé. Mettant donc zéro à la place de sin m , et i' à la place de b,

dans l’équation y = x A- b, elle deviendrait y=z-i- U, C’est l’équasin n * '

lion d’une droite parallèle à l’axe des a:. Je dis....

DS LA LIO'NS OlOITS: iQDATIONS,

Si AM te plaçait sur l'axe dea y, les lignes BN, DO, se trouveraient

parallèles à cet axe ; en même tems l’angle n serait devenu nul , de même

que son sinus , et 6 , après avoir été 2b, 3b, ib, etc . , aurait enfin acquis

. . . . sinm b , .

la longueur - . L équation devenant ainsi y = ■ a; ± - , on en tirerait

6 ir

X — -I — : ; ou, en désignant cette valeur par b', et remettant le signe

sin m

+ en haut, x = ±b‘. C’est l’équation d’une droite parallèle à l'axe des y. Je dis a: = -t-

Ainsi dans la parallèle à l’axe des x, l’ordonnée devient constante , tandis que l’abscisse varie et prend toutes les grandeurs possibles ; et c’est le con* traire dans la parallèle à l’axe des y.

128. Après avoir vu comment de la ligne droite on allait à l’équation de cette ligne , essayons de retourner de l’équation à la ligne , ou , comme on dit , cherchons le lieu de cette équation :

y = ax + b,

comme si nous ne savions pas à quelle ligne elle appartient.

Nous pourrons d’abord l’écrire ainsi y — b-=ax; or y — b est une variable , puisque y l’est , mettons donc z à la place de y — b, et nous auions ;

z = ax, ou- = a; et si nous trouvons la valeur de z, nous aurons aussi

celle de y en ajoutant à z la constante b , puisque y~b=zz donne. . . . y=z-4-6.

Cela posé, l’équation ^=a, nous dit que le rapport de l’ordonnée à

l’abscisse est constant ; d’où il résulte :

z : X : : z' ; : ; z" : ar" : : etc.

Si nous supposons donc arbitrairement que XX , fig. àà, étant l’axe des X, et .<4 l’origine, les points M, M' , M" , etc. , appartiennent à la ligne que nous cherchons , il est clair qu’en menant jusqu’à la rencontre de XX' , et sous un angle quelconque , les parallèles MP, MP , M'P' , etc. , qui seront les ordonnées z,z',z", etc., on aura:

MP : AP .'.M'P V. AP V. M'P' : AP' .'. etc.

Ainsi joignant AM, AM , AM" , etc. , les triangles AMP, AMP, AM" P', etc. auront un angle égal en P, P, P', etc., compris entre côtés

CONSTRUCTION DKI iQDATlONS, CtC. 87

proportionnels , et seront par conséquent semblables. Donc les angles MA P , Af A P' , Ai" AP" , c\.c., tarant égaux, et AM ^ AM' , AM", etc.,

qui paraissent distinctes dans la figure , n’auront qu’une seule et même direction. C’est-à-dire que tous les points A/, M' , M" , etc. , de la ligne que nous cherchons seront avec l’origine A sur une seule et même ligne droite.

Supposons que cette ligne soit AM, fig. 43, son ordonnée sera MP=z, et si l’on mène à AM une parallèle quelconque £N, chaque ordonnée MP ou Z sera augmentée d'une quantité, constante MN=AB, qu’on pourra supposer égale k b ; on aura alors NP = MP AB=z-\-b:=y ; et I4 droite BN sera le lieu de l’équation y=ax+^«