Z MP

Du reste puisque - = , et que l’on a MP : AP :: sin A : sin M

MP sin A

on a donc a —

sin A sin m

(voyez fig. Ài ),

AP sin M ' " sin M sin n

129. Il faut observer qu’en opérant ainsi nous avons pris arbitrairement le rapport de MP à AP , c’est-à-dire a, et que nous avons aussi pris AB ou 6 à volonté ; mais si a et 6 étaient des quantités données , soit en nom-r bres , soit en lignes , on ne pouirait plus les prendre en quelque sorte au hasard. Cependant on pourrait , dans tous les cas , les représenter par des di'oites.

Reprenons l’équation z = ax, elle donne / : o :: a? : z (n*. 41 ); >insi 3 est une quaünème proportionnelle à l’unité de ligne l, que l’on suppose connue (n*. 124), à la ligne donnée a, et à une certaine abscisses prise à volonté : on déterminera donc ainsi z. Alors sur une droite indéfinie , XX , fig. 43, on prendra AP — x, et l’on mènera PA/=z, faisant avec AP un angle égal a celui des coordonnées, qu’on doit aussi supposer conni| pour que la droite soit déterminée par son équation ( n°. 124) ; AM sera le lieu de z — ax. Cela fait, si par l’origine A on mène la droite Yï' parait lèle à A^P, elle sera l'axe des y; faisant encore AB=b, puis menant BAf parallèle à AM, cette droite B N sera le lieu de la proposée y=sax-{-b,

130. On pourrait aussi trouver la ligne en question de cette n^anière : Cherchons d’abord si elle rencontre l'axe des y et dans quel point. Il est évident que lorsqu’une ligne rencontre l’axe des y son abscisse est nulle ; or si nous faisons x = ziro l'équation donne y = b; ayant donc mené les deux axes .TA', YY' , fig. 41, nous prendrons AB=b pour l’ordonnée dp l'origine ; et la droite que nous ebereboss, puisqiie nous savons bien qu#

SB lA LIGNE droite: HQUATIONI, c'est une droite (n®. 128), devra déjà passer par le point B; il n’en faudra plus qu’un pour la déterminer. Voyons donc si elle rencontre l’asc des x et où; faisons pour cela y=zero, car l’ordonnée est nulle lorsque la ligne l'encontre l’axe des x, l’équation nous donnera, par cette supposition,... b

ar= i d'où nous tirerons , en laissant de côté le signe , a : b :: l : x:

cherchant donc une quatrième proportionnelle à a, 6, et/, nous la porterons de A en C sur I axe des x , à gauche de l’origine à cause du signe — ; et par les points C et B, ainsi déterminés, nous mènerons la droite CBN y qui sera toujours le lieu de l’équation y =zax + b.

131. Ce dernier procédé nous a fait connaître quelques circonstances du cours de la ligne ; Toyons-cn d’autres.

1*. Supposons a et ô en -i- :

Si X est aussi en 4- et va toujoui-s en augmentant , l'équation prouve que y ira aussi en augmentant sans cesse. C’est-à-dire que la ligne s écarte indéfiniment de l'axe des x et ne le rencontre plus vers la droite.

•Si on prend x en moins , ou vei's la gauche de l’origine , on aura

y — — ax-\-b; et tant que cix sera plus petit (juc b, y sera encore en-+-, ou au-dessus de l’axe des x; mais comme le terme ax augmente en même tems que x, b — ax ou y diminue, et cela jusqu’à ce qu’on ait ax — b; car alors b — ax ou y se trouve nul, et la ligne, comme nous l’avons déjà vu, rencontre l’axe des x.

Si X continue à augmenter vers la gauche, le terme ax devient plus grand que 6 , et la valeur de y se trouve en mo'ms; c’est-à-dire que l’ordonnée est au-dessous de l’axe des x. La ligne alors s’écarte indéfiniment de cet axe et ne le rencontre plus.

Il faut observes que ces circonatancc.s se reconnaissent en partie dans la figure , mais que c’est l’équation qui vient de nous les dévoiler. '

2*. Supposons a en -f- et b en — :

Si on prend * en 4- réquatiotv aura la forme y = ax — b, et depuis a; = o, qui dotine yxx: — 6, l'ordonnée sera au-dessous , et deviendra toujours plus petite à mesure que x augmentera , du moins tant qu’on aura rtx < i ; mais lorsque ax .sera égal à ô, on aura ax-^b ou y nul. Depuis là ax deviendra pins grand que b, et ax — ,b ou y prendra le signe et sera au-dessus de Taxe.

Si on prend x en-— l'équation aura la forme y-xx—^ax — 6, et l'ordonnée,

placée

C0N8TS0CTI0N DES ÉOCATTONS, CU'.

placée au-desson* de l’axe, ira toujours en augmentant avec x.

Ce* circonatance* appartiennent à la ligne DO , et la figure aidera à le» comprendi'e.

3', Si on «opposait a en — et 6 en +, et 4". si on supposait a en — et b en — , on pourrait conclure de l’équation modifiée pour ce» ca» , suivant qu’on prendrait x en + ou en — , le coui’s de la droite tracée du deuxième au quatrième angle de* axe*, et au-de*«u* ou au-de«*ou* de l’origine.

132. Du reste , déterminer ainsi le cours d’une ligne d’aprè* son équation , reconnaître sa nature , sa forme , sa position , se» propriétés , c’est ce que l’on appelle discuter cette équation; et l’on dit ausssi quelquefois discuter la ligne.

Discuter une équation, c’est donc faire plus que de trouver le lieu At celte équation ou que de la construire (n*, 128). Quand on a construit, ou trouvé le lieu , on n’a pas encore achevé la discussion.

N,£. Essayez de construire 2y-{-x=2, y=— 3+x, y=— x— 1, etc.