CHAPITRE III

Problèmes généraux relatifs à la ligne droite.

133. ^»oL-s savons maintenant qu’une équation qui peut être ramenée h celle foniic y — ax-i-b, appartient à une ligne droite; or il est facile de voir que c’est le cas de toute équation du premier degré à deu.t inconniic.s.

Lorsque les coéfllciens a et b ne sont point donnés , nous savons seulement que la ligne est droite , mais nous ne connaissons pas sa véritable position rel.itivcment aux axes ; pour que cette position soit déterminée , il faut que a et b soient donnés , et que l'on ait de plus l’unité de ligne, et l’angle que font entr’eux les axes (n“. 124).

Ccpemlant il peut arriver que a et ô n’étiuit pas immédiatement donnés, on ait certaines conditions propres à detenniner ces quantités. La recherche des coéiliciens a et b , dans ce cas, donne lieu aux questions suivantes, que l'on rencontre souvent en appliquant l'algèbre à là géométrie.

134. Trouver F équation d'une droite assujettie à passer par deux points domiés.

I..CS deux points en question étant donnés , leur position relativement à deux axes fixes sur un plan est connue ; c’est-à-dire que l’on a la grandeur de leuVs coordonnées ür il est clair qu’on ne demande p.os ici une opération graphique , qui consisterait à tr.acer avec une règle la ligne demandée , en la faisant passer par les deux points donnes : on demande une équation qui soit celle de cette ligne , et qui exprime la condition à laquelle elle est assujettie.

L’équation générale de la ligne droite est y = ax-\-b; elle com|)rend donc la droite en question , comme un cas particulier ; mais il faut trouver quelles sont les valeurs de a et de 6 qui peuvent satisfaire à la condition exigée. Nommons», les ab.scisscs connues du premier et du second point donnés, ctiS, s', leurs ordonnées aussi connues. L’équation générale sera satisfaite quand on y mettra ces valeurs à la place de x et tic y, et l'on aura l’maltanémcnt :

iS =«» -f- 5 , à' = « »' -f- 6.

Voilà deux équations, dans lesquelles », », , sont les connues, a et b

rsOBL. G£Ni. £. «KLATIITS A LALICNE DROITE. 91

les inconnues , il faut donc traiter .cm rirjuaiions par l'éliraination , pour en tirer les valeurs de n cl de è qui conviennent à lu ligne , et qui seront exprimées en X, X , fi , fi'.

Si l’on retranche la seconde équation de la première, on a.

fi — Û'=a(* — X ) , d’où l'on tire :

et — et

mettant celte valeur de a à la place de cette lettre dans la première équation, on obtient:

fi — fi' X S — B X

En substituant cette môme valeur de a dans la seconde

équation

on aurait :

Mettant enfin les valeurs particulières de a et A dans l’équation de la ligne droite, on trouvera pour Icquation demandée :

générale

135. On pourrait donner à cette équation une forme plus simple; il faudrait pour cela, en substituant la valeur de b dans l'équation générale, premlre cette valeur sous l’une ou l’autre des formes qu'elle a en (Aj et (B) avant la réduction ; on aurait ainsi :

S — .S B — fi! fi — 3. B — fi'

y=- ou y= -X + B .x'i

« — * «—fl* (t — % X—, tt

d’où l’on tirerait :

fi — B

y— e = .(X — »)-.-CC),

ce — • «

et ^ at

équations qui reviennent l’une à l’autre, comme il c.st facile de le vérifier.

N. B. J’ai préféré faire tout ce calcul de cette manière , parce que les commençans aiment à retrouver dans les équations, au moins pour le premier moment, les foimes (|u’ils connaissent.

136. Si dans cette équation , sous l’une ou l’autre de scs formes , on fait x = «; on trouve y= B, comme cela doit être, et réciproquement si l’on

92 PROBLi;MES «GÊNÉ R AUX

fait y = fl , on trouve x = «. De même si l’on fait x = «’ , on trourey = 8 et réciproquement.

Si l’on fuit fl = 3' , ou fl — fl' = O , on trouve y — fl , pour toutes les valeurs de X , c’est-à-dire que l’ordonnée est constante , ou que la droite est pnralléle à l’axe des x ; ce qui doit être puisqu’elle passe aux extrémités de deux ordonnées fl et fi" qu’on vient de supposer égales (n*. 127).

Si l’on fait«=«' ou « — «' =o, on trouve x= «, pour toutes les valeurs dey; ce qui signifie que la droite est {xai'allèle à Taxe des y; comme cela doit être, puisqu’elle passe par deux points qui ont la meme abscisse, ou qui sont également éloignés de l’axe en question (n®. 127 ).

Si l'on fait «=oet 6 = o,un des points donnés sera l’origine, et l’équation deviendra:

fl sin m

y — -x, ou y = -: ou y — ax;

car fl' : : s/n m : sin n. Ce serait la même chose si l'on falsoit ■’ = o et fl" = o.

Si l'on supposaitfl = o etfl' = o on trouverait y = o, pour toutes les valeurs de X ; parce qu'alors la ligne ne serait autre chose que l’axe même des x (n*. 120).

Si l’on voulait enfin que » et «' fussent nuis , on trouverait x = o , pour toutes les valeurs de y ; et en effet la ligne deviendrait l’axe des y ( n*. 120 ).

137. Du reste, on voit facilement dans la fig. 45, que la distance * des deux points dont les coordonnées sont « , fl et , fl' est un côté d'un triangle dont les autres côtés sont ■ — a' et fl — 8. Si l’on désigne donc par r l’angle des coordonnées , celui qui est opposé à i sera , dans la disposition de la figure , son supplément , et son co.sinus aura un s’tgne contraire; d'après cette observation et d'après le n'. 100, on aura:

»=V («-«')'-+ (fl-fi')’ + 2f«-.')(fl-fl)^.

Ce serait la même chose si les plus petites coordonnées étaient «, fl, et les plus grandes x, 8; car- les deux carrés resteraient les mêmes, et le dernier terme ne changerait point par un double changement de signe.

Si la droite était placée comme dans ta fig. 45. bis , l'angle opposé à î serait r meme, et le dernier terme de la fonnule semblerait devoir prendre le signe moins (n®. 100); mais d’un autre côté fl— ■fl' serait aussi en moins, ce qui redonnerait le signe plus.

Si la droite ctoit parallèle à l'axe des x , il est clair qu’on aurait fi' = fl

■ ELATIFt A LA LIGNE DROITE.

et par conséquent fl — «’ = o ; ensorte qu’on trouverait + — «')•

Si elle était pai-allcle à l’axe des y , on aurait »=:«, « — » = o, d'où U résulterait î=+(fl — fl")-

Si elle passait par l’origine des abscisses , et que ce point fût un des deux dont on cherche la distance, par exemple celui dont les coordonnées sont désignées par , û’ , ces quantités seraient nulles , et la fonnnle générale donnerait : ^

. \/ . . , . COJ y

»= y •»+fl’ + 2>fl

Si on voulait supposer en même tems la droite parallèle à l’un des axes ou à l'autre, elle ne serait plus que ces axes eux-mêmes, et l’on aurait ou . . . B — Q ou « = O ; d’où il résulterait >=±« ou > = -I- fl.

138. Dans tous les cas , si l’angle des coordonnées était droit , on aurait cos y = O , et la formule générale deviendrait ;

> = V («.')»-+-(fl tf)».

139. Si l’on n’avait assujetti la ligne qu’à passer par ufl seul point donné ( a , fl ) ( • ) , en mettant « et fl à la place de i et de dans l'équation générale >-= oo: -f- û , on n’aurait eu pour déterminer a et b que l’équation. . . B = b. C'est-à-dire que la valeur de a aurait toujours été exprimée en û , ou celle de 6 en a ; ainsi il aurait toujours fallu fixer au moins une de ces quantités pour que la position de la ligne fût déterminée.

Si de l’équation précédente on tire la valeur de b exprimée en a , on a b = S — mais si l’on prend la valeur de a exprimée en b, on trouve

a = ce qui donne ces deux équations:

y = ax + (6 — a») ... (£>,

qui peuvent être considérées comme étant chacune l’équation de la droite en question.

Mais il faut observer que lorsque b est connu, il y a alors un second point donné par lequel passe la ligne ; c’est pourquoi les équations du

(*) J’entcuds un point dont les coordonnées sont s et fl ; J’eroploirai désormais, d’après Francueur, cette expression abrégée.

94 rSOBLÈMES CÉNÉBAUX

n“. 13.5 redonnent lorsqu'on y fait »' = zéro et B z=tb.

Du reste, si l’on donne a (£■) et à {F) les fonnes suivantes :

on verra mieux leur analogie avec celles du n®. 13-5; et de celles-là on fera ressortir (A') , tout comme on en a fiit ressortir (F) ; car que *' ettf soient

(8 iS*

connus ou non , on a toujours i = a,

1 iO. Nous venons de considérer une seule droite , nous allons en considérer deux, qui seront nécessaireraent , l'ime à l’égard de l’autre , ou parallèle», ou perpendiculaire», ou obliques.

t-il. Trouver F équation d'une droite parallù'e ù une autre droite donnée.

Soit y •= ax -{-b l’éijuation de celle-ci :

1®. Si la parallèle demandée peut être plus ou moins éloignée de la droite . donnée , il suiRra qu’elle fasse avec les axe.» les memes angles qu’elle ; la quanütc a sera dijnc la meme; mais non la quaniitc b, qui pourra être prise à volonté; et l’on aura d'apres cela >i = <7x -h 6', pour l’équation de la parallèle ; b' pouvant être plus ou moins grand

2®. Si la parallèle est assujettie à pas.scr par un point («, B) il Aiudra qu’on ait B=a*-{-b', ce qui donnera b' — B — a«,ct substituant on obtiendra :

jp = «7X-f-(fl — fl“), ou y — B = a ( X — «),

pour l’équation de la parallèle menée par le point donné.

C'est l’équation (£) ou (£') du n“. t.3y, mais nous avons préféré refaire ici le calcul , pour être mieux compris de» commençans. D’ailleurs dans le n“. 139 a. est quelcon([ue, tandis qu’ici la valeur de a doit cire la même que dans l’équation de la droite donnée.

142. Venons aux droites qui se rencontrent, et voyons d’abord comment on peut trouver ta valeur des coordomtées du point d' intersection de deux' droites do?tC on a les équations.

Soient ce» équations y — ax -f- 6 , jr = a'x b' ; on doit supposer que les qmuitités a, b, a', b', sont constantes et connues, car sans cela le» droites ne seraient pas données. Quant aux variables x et y , on peut bien faire que les x soient toujours les mêmes pour le» deux lignes , mais alors les y correspondan» différeront en général entr'eux d’une ligne à l’autre , et