RELATIFS A LA LIGNE DROITE

réciproquement. Il y a cependant une exception , c’est pour le point où le» lignes se coupent ; là les coordonnées sont les mêmes pour les deux ligne» et sont constantes ; en les désignant par ■» et s , on aura : s O. « -j- b , B U * -J- b' j

et de là on tirera, par 1 élimination :

b' — b ^ ab' — ba'

Alors si a' devient égal à a et b' à b, on aura « = g et 3 = 9, valeur» indéterminées, répondant au cîïs où le» doux lignes coïncident et où le point d’intersection c.st par tout ; comme cela doit être par la supposition que nous venons de faire.

Si et' = « seulement , les valeur» des coordonnées ■ et 3 prennent la forme g; ce qui indique que les deux droites ne se rencontrent cpi’à une distance infiniment grande, ou plutôt qu'elles ne se rencontient pas du tout, et que par conséquent elles sont parajicles; comme cela doit être aussi quand on a et = a, et qu'on n’a pas b' = b ( n", 141 ).

143. La méthode que nous venons d emplojer pour trouver les coordonnées du point d’intemection de deux droites , peut s’appliquer à deux lignes quelconques tracées sur un plan , car on raisonnera dans tous les cas comme nous avons fait dan» celui-ci.

144. Trouver l'équation d'une droite perpeiuliculaire à une autre droite donnée ( n“. 1 4« ).

Si la droite passe par l’origine des abscisse» , comme la première droite, fie. 46 , on a ar : V ; : sin n : sin in , ou y = x :

" •' ^4êMn

c’est l’équation de celte première droite ; et l’on connaît m et n , puisqu’on suppose la ligne donnée.

Maintenant si on lui mène la première ligne perpendiculaire , passant aussi par l’qrigine des abscisses, on aura pour celle-ci, comme on le voit par la figure x: — y : : s'in q : sin p , ou y = — ^-£ x.

Or dans le grand triangle, qui comprend les deux autres, l’angle w+p est droit, donc n et q sont complémcns lun de l’autre. Ainsi l’équation précédente devient y = — x.

Faisant, comme à l’ordinaire, é"— = n , et représentant de plus par la lettre c , les deux équations deviendront : y = ax, y = — ex.

96 PROBLÈMES ciNÉRAUX

Cda po«é, 81 la première droite et sa perpendiculaire s’écartent inégalement de l’origine des abscisses , toujoms parallèlement à elles-mêmes , et deviennent la seconde droite et la seconde perpendiculaire , il est clair qu'elles auront alors pour équations :

yz=zOX-\- b , 31 = — ex -{-b'.

Mais si l’on avait assujetti la perpendiculaire à passer par- un point («, fl), les deux équations auraient été celles-ci :

y=.ax-\-b, y B = c{x «).

145. Si l'angle des coordonnées est droit m et n sont coraplémens Tun

de l’autre , et puisque a = f , il est clair que l’on a aussi

<•« "■ , 1 Ensortc que les équations des deux droites sont en

général :

y = ax + b, y = — +

ou lorsque la seconde est assujettie à passer par un point ( « , -fl ) : y = ax + b, y — fl = — }(x — «).

146. Trouver la longueur de la perpendiculaire , depuis le point dont les coordonnées sont « et fl , jusqu'à la rencontre de F cadre ligne.

On voit par le n“. 137 et la fig. 47, que l’on a pour cette longueur :

V eos y

ce que l’on peut écrire ainsi :