CHAPITRE IV
Problèmes pm ticidiers relatifs à la ligne droite.
152. Supposons deux axes rectangidaîres , et une droite passant par Forigine des abscisses, F équation de cette droite étant donnée, ou de~ mande celle dune autre droite qui partagerait en deux parties égales F angle que la première fait avec F axe des x.
Soft ye=ax l’équalion de la première droile, et y — kx, celle de la seconde ; on connaît a et l'on veut trouver k exprimé en a.
Or la seconde droite fait avec l’axe des x un angle dont la tangente est Rk ( n'”.. 121 et 150 ) , et elle fait avec l’autre droite un angle dont la tan- R(a — k) „
gente est ) 7 et comme ces deux angles sont égaux , Icui's
deux tangentes sont égales ; on a donc
i~hak
équation de laquelle on tire ccllc-ci:
k‘-i,tk~l=o....O)f
laquelle étant résolue donne :
Ensorle que l’équation demandée est
Elle est double , parce que la droite donnée fait avec l’iuce des x , deux angles, et qu’il y a par conséquent deux droites qui partagent ces angles chacun en deux parties égales.
Du reste on voit par l'équation fl) que le produit des deux valeurs de k égale — 1 ( Algéb. n®. 4ü3 ); désignant donc ces valeurs par k et P , on a kk' = — 1 , ou Wf -i- 1 = o; d’où il résulte que la droite qui passe au milieu de l’angle de la gauche est perpendiculaire à celle qui passe au milieu de l’angle de la dr oite ( n®. 151 ). Et U est facile de voir que cela doit être ainsi.
FBOBt. PARTIC. BELATIF8 A LA LIGNE DROITE. 101
153. Etant donne T angle que font entr' elles deux drcilcs AB, AX, ( fig. 49 ) déterminer dans F intérieur de cet angle un point C tel que si de ce point on mène wie parallèle à Fune de ces lignes, à AX par exemple, on ait CD = AD.
Prenons une des lignes , AX par exemple , pour axe des abscisses , et Je sommet A de l'angle poui" l’origine , supposons de plus que les axes se rencontrent à angle droit; celui des deux dioitcs étant connu, si l'on divise sa tangente par le rayon, et qu’on appelle le quotient a, on aura (n®*. 121. 122 ) y = ax pour l'équation de la droite AB , a étant donc connu. Maintenant si le point C était trouvé, et que l’on menât par ce point la droite .dC, il est clair que tous les points de cette droite auraient la même propriété que le point C ; c’est donc cette droite qu'il faut mener. Désignonsla par cette équation y =■ kx ; il faudra trouver A' inconnu, exprimé en a connu.
Représentons les coordonnées du point C , par » ,B , et celles du point D par fl, nous aurons, par les équations de AB et de AC, fl =T£ï«' , fi=k «... (2).
Or a est connu, et l’on peut supposer que « l’est aussi, parce qu’il résulte de ce que nous avons dit qu’on peut le prendie à volonté ; on a donc
D’ailleurs la grandeur de AD est q/ «'* + fl*, et celle de CD est « — et ces deux quantités sont égales , ce qui donne :
Effaçant les termes qui se détruisent , et substituant les valeurs de S* et de «' , tirées de l’équation (2) et de l’équation (3) , on trouve :
•* A* = «* + 2 — A ou A*-}~ - A — 1 = 0 .
Cette équation étant la même que l’équation (1) du n®. précédent , prouve que la droite AC partage l’angle BAX en deux parties égales; il est donc facile de la mener et de trouver ainsi le lieu de tous les points C, qui ont la propriété indiquée.
Une droite perpendiculaire à AC, serait dans l’angle BAX' le lieu de tous les points ayant la même propriété fn®. 152).
On peut remarquer que « a dispani de l’équation ; c’est qu’en eflet la valeur de A, ou, ce qui revient au même, la valeur de l’angle C'.-J-l , n«
PBORLiMES PARTICUIIEBS
dépend point de la grandeur de l’abscUsc », que l’on peut prendre à volonté, comme nous l’avons déjà dit.
15-i. Détarmifier coimnent s'entrecoupent les trois perpendiculaires abaissées des trois sommets d'un triangle quelconque sur les côtés opposés.
Si le triangle est rectangle , il est clair que les perpendiculaires en question s’entrecoupent au sommet même de l'angle droit.
Si le triangle est acutangle ou obhisangle comiTTe A»C, fig. 50 , pour avoir quelque chose d’uniforme, prenons le plus grand côté..^« pour l’axe des X et. pour l'origine , et supposons que les coordonnées sont rectangulaires. Désignons le plus grand côté A* par «, et les coordonnées du point C par , iS', l’équation de la droite AC sera de la forme y = ax ;
mais comme elle passe par C, on aura ft = a» , d’où a = donc l’équa-
tion de la droite AC deviendra y—^x. Et par conséquent l’équation de la
perpendiculaire « E , assujettie à passer par le point • ( « , zéro ) , sera . . . (n“. 1-44. 145. ) :
Sur quoi il faut observer que les quantités « , ■ , , sont connues quand le
triangle est donne ; mais qu'elles restent indéterminées quand le triangle est quelconque, comme nous l’avons supposé.
Maintenant l’équation de la droite «C, assujettie à passer par deux points «et C ( « , zéro ) ( «' , /*■ ) , sera ( n*. 134) :
et celle de la perpendiculaire assujettie à passer par le point A (zéro, zéro > sera (n“. 144. 145):
I Or les deux pcrpendicuLiires que nous venons de considé;rer ont dans
leur point de concours les mûmes coordonnées ; ainsi dans leurs deux équations (4) et (ô), y a. la même valeur et x aussi (n". 142. 143). Les seconds membres de cés étjuations sont donc égauç et donnent :
XELATIPS A LA LIGNE DEDITE.
«Xi
'd’où l’on tire bien vite x = jS'. Il en résulte que la perpendiculaire abaissée du point G sur A» , et qui est ici l’ordonnée y, aboutit au même point ((ue celle qui est abaissée du point C sur la même ligne A « ; c’est-à-dire qu’elles se confondent.
Ainsi les trois perpendiculaires abaisse'es des trois sommets d'un triangle quelco)iqiie sur les côtes opposés , se coupent dans un seul et même point. D’où résulte pour les mener cette construction fort simple :
Comme l’angle inscrit appuj’é sur le diamètre est droit, il faut sur le plus grand côté • , pris pour diamètre , décrire une demi-circonférence , et par les point.s E et F où elle rencontrera les côtés du triangle ou leurs pro^ longemens , mener les droites «E et AF, puis par leur point de concours G et par le sommet C du triangle mener CG» ; ces lignes seront les perpendiculaires.
155. Avant d’aller plus loin faisons une observation assez importante. On a vu dans ce chapitre, et dans les chapitres 1 et 3 de la première partie, deux méthodes bien differentes pour mettre en équation les problèmes de géométrie: “l’une, dit Lacroix, consiste à déterminer les équations des lignes qui contiennent les points cherchés , en partant des propriétés de ces lignes ; ” c’est celle du chapitre actuel ; “ et l’autre à déduire immédiatement de la considération des U'iangics semblables et des triangles rectangles que présente la figure résultante du problème supposé résolu , en s’aidant même de quelque construction préparatoire, les relations des droites qui détenninent la position de ces points; ” c’est celle des chapitres i et 3.
“ La première de ces méthodes , quelquefois plus élégante que la seconde , est toujours plus générale; mais la seconde est souvent plus simple; et cela doit être, puisque par celle-ci on prend les choses de moins haut, et qu'on pai't de propriétés plus voisines de celles qu’on cherche à découvrir. ”
Voyez, par exemple, le problème du n®. 153, il n’est pas seulement besoin de le mettre en équation. Si on le suppose résolu, on a dans la fig. -i9 CD = AD , ensorte que le triangle ACD est isoscèle ; les angles DCA, DAC sont donc égaux : mais DCA — CAX, à cause des parallèles , donc DAC = CAX ; donc la ligne AC pai tagc l’angle BAX en deux parties égales.
156. Pour comparer les deux méthodes dans une question un peu pliu difficile que celle-ci, reprenons celle du n®. 22 et essayons de la résoudie par les équations des lignes.
PROBtfeMES PARTICULÎEKS
Étant donnés les trois colés du triangle ABD ^ fig 51 , trouver sa surface.
Rapporton» ce triangle aux deux axe» rectangulaires , AX, AV, dont un pourrait être dirigé suivant un des cotés, mais que nous placerons comme dans la figure pour rendre le calcul plus général. Afin d’avoir la hauteur du triangle, abaissons du point d , qui est l’origine, la perpendiculaire AF ou î sur la base BD ou a, nous aurons pour la sui'face | «ï; il ne reste ■donc qu’à trouver
La perpendiculaire tombant sur BD , il faut pour avoir sa longueur établir d’abord l’équation de la droite BD. Or celle-ci passe par deux points B et D ( *' I ^ ^ son équation sera donc ( n®. 134 ) :
Dans cette équation le coélficient de x est la valeur de la lettre a de la formule du n". 147, qui nous donnera î, et le terme sans x ni y est la valeur de b de la même formule. D’ailleurs « et fl, qui désignent la les coordonnées du point d’où part la perpendiculaire (n®. 146), sont ici nuis , paixe que ce point est l’origine. 11 résulte de tout cela que :
Mais dans notre triangle BD ou a vaut le dénominateur de cette, valeur de 1 ; donc
Du reste, il ne faut point confondre ccta ,qui exprime le côté .ff/),avcc le a de la formule n*. 147; on a mis à la place de celui-ci sa valeur , et il a disp.'ii'u , de même que le b de la formule , qui n’est pas non plus celui du triangle.
Ç2uant à la surface demandée on voit donc qu’elle vaut :
5 = K «'fl' — «'fl' ),
Et cette expression mérite d’étre remarquée, parce quelle donne la surface en fonction des coordonnées de la base , qui suffiraient ainsi seules pour calculer la surface , lors meme que les côtés ne seraient pas donnés.
Pour avoir cette valeur en fonction des côtés, comme dans le n®. 22, et comme le problème le demande , il faut faire ici quelques transformations.
Nous
B>tATirS A lA ItON* DROIT*.
Nous ayons vu d’abord que le dénominateur de » avait pour valeur a, ou le côté sur lequel tombe si on l’éléve au carré, pour n'avoir plus deatgue radical , on U'ouve :
Mais = et retranchant ces valeurs de l'équation
précédente , on a
.V'+Ay'=i(ô« + £p — a‘J ;
puis, en carrant,
«'V'* + + 2«'.'W'=: ' (ô* 4 . fp a*)\
D’un autre côté on a (.'• + <'*) ou, en effectuant Ta
multiplication ,
4 fl- 4 4 — l,* (fi.
retranchant de ce résultat l’avant dernière équation , on obtient :
extrayant la racine des deux côtés il vient ;
— «' >" =l\/Àli*cP — (i’ 4 d* ■“ «’)* ;
substituant enfin cette valeur dans la formule de la surface, on retrouve,' comme au n*. 22 ;
