CHAPITRE V

De la transformation des coordonnées.

157. !Nod 8 avons vu que l'équation de la ligne droite est plus simple quand cette ligne passe par l’origine; nous avons vu aussi que la plupart des formules relatives à la ligne droite se simplifient quand les coordonnées sont rectangulaires. Or nous pouvons bien prévoir qu’il y aura quelque chose d’analogue pour les équations des lignes courbes , suivant la manière dont l’origine sera placée et suivant l’angle que les axes feront entr’eux. Il pourrait donc être avantageux « lorsqu’on aurait l’équation d’une ligne , de savoir trouver la fornJe que prendrait cette équation en rapportant la ligne à d’autres axes ; c’est cette opération qu'on appelle la tramforinalion des coordonnées.

Nous allons parcourir les cas suivons: 1*. changement d’origine et non de direction, 2®. changement de direction et non d’origine, 3®. changement d'origine et de direction.

, Changement d origine et non de direction.

168. Soient AX, AY , fig. 52, les anciens saes,A‘X , A*y , les nouveaux parallèles aux premiers. Les coordonnées de la nouvelle origine A' , relativement aux anciens axes, doivent être connues, et nous les désignerons par f et g. Cela posé les anciennes coordonnées du point M étant x ,y, et les nouvelles sé , y’ , on voit par la figure que l’on a o?=/+x', y = g + y'.

Si l’on met donc ces valeurs à la place de x et de y dans l’équation donnée d’une ligne, on aura l’équation de la même ligne rapportée aux nouveaux axes. Mais il faudra prendre f cl g avec les signes convenables, suivant la mamère dont la nouvelle origine sera placée relativement à l’ancienne.

Par exemple, l’équation de la droite CN, fig. 43, étant y = ax + b, si en veut qu’elle passe par l’origine, il suflira de transporter l'axe des y

TSANSrORMATION DZS COORDONNÉES. 10?

parallèlement à lui-mème jusqu’en C, sans changer l’axe des x, on aura donc f AC Ç.X. g = zéro. Mais pour savoir ce que vaut AC, il n'y a qu’à faire y = zéro dans l’équation de la droite y = ax + b\ on a alors O = ax + ^ > d'où X — — t = — AC. Donc f=z — 'L,g =. zéro ; .... donc x = — ^+x',y = ÿ; donc l’équation y = ax + b, devient . . . y' = aC — ^ + + ou y' = ax^ ; et c’est en effet ce qu’elle doit être

puisque la droite passe par l’origine et que les angles m et n n'ont point changé. En partant de cette nouvelle équation et faisant le chemin inverse on retournerait à la première équation.

Par exemple encore, puisque nous avons eu — x* pour l’équa-

tion du cercle , quand les coordonnées sont rectangulaires et que l’origine estaucenti'e (n*. 115), si nous voulons, en laissant les axes à angle droit, transporter l’origine à l’extrémité. du diamètre, en A fig. 40 , nous aurons y = — r et ÿ = zéro , ce qui donnera x ~ — /• + x' et y = y' ; mettant ces valeurs dans l’équation de la courbe, elle deviendra ÿ*~2rx' — x'*. Et de celle-ci , qu’on appelle t équation au sonvnet, on retournerait à l’autre, qu’on appelle F équation au centre.

Changement de direction et non d origine (n®. 157).

169. Ce cas se partage en plusieurs autres : 1®. passage de coordonnées rectangulaires à des coordonnées obliques; 2®. de coordonnées rectangulaires à d’autres coordonnées rectangulaires ; 3*. de coordonnées obliques à des coordonnéés rectangulaires ; À’, de coor données obliques à d’autres coordonnées obliques.

160. Passage de coordonnées rectangulaires à des coordonnées obliques ( ou quelconques ).

Les axes AK, AY , fig, 6.3, deviennent , AT , et l’on suppose connus les angles XAX , XAT , que nous désignerons, pour abréger et pour les reconnaître sans figure , le premier par ( xx' ) et le second par f x/ ) ; ces lettres assemblées n’indiquant donc point une multiplication. Les anciennes coordonnées du point AI étant AP , MP , ou x, y, les nouvelles seront AP , MP, ou x' , y' ; et l’on aura

x = AL + P'N, y = MN -+• PL.

Or les triangles ALP , MNF , donnent, en faisant le rayon des tables égal à l’unité : «

{05 THANirOXMATION