M («') \AL^ l:x‘r.spi (r.t') : FL

(*y'> : FN , 1 : ji/i (x/) : ^fN;

tirant de là les valeurs des quatriinaes termes et les substituant dans les

équadoos précédentes , on a:

» = x'cos (xx') + y’cos (x>') , y = a'j.7/1 (xx') + ÿsin (xy')-

Par exemple , si le point Af apptu tient à une ligne droite , dont l'équalion soit y = ax-{~b, et que l'on y substitue les valeui-s ci-dessus de x et de y, on trouvera, après les réductions , une équation de cette forme . . . y = jx/ + 6' ; ensorte que dans la ligne droite , la même forme d’équation convient aux coordonnées rectangulaires et aux coordonnées obliques ; et c’est ce que nous avions déjà pu remarquer.

Il n’en serait pas de même de toutes les autres lignes, du cercle par exemple ; supposons que le point A/ appartienne à cette courbe , dont l’équation au centre est y* = r* — x* , lorsque les coordonnées sont rectangulaires ; substituons-y les valeurs de x et de y ci-dessus , elle deviendra :

y'*=z:r* x'* — 2 [ sin f xx'; sin {xy) -+- cos {xx') cos (xy‘) ] x'y.

Mais on sait par la trigonométrie (n“. 91 ) que l’on a, lorsque le rftyon

des tables R égale 1 , sin a sin b + cos a cos b z=

— I cos (a+b) -4- i cos {a— b) 4- 1 cos (a+b) { cos {a— b) = cos (a— b) ;

d’où U résulte que le coefficient de x'y' vaut

2 cos ( xÿ — xx') = 2 cos (x'/) = 2 cos r , cette lettre désignant toujours l’angle des deux axes. On a donc pour l’équation du cercle au centre et aux coordonnées obliques ;

y'» =zz r* — x'* — 2 x;'y. cos y.

Pour que celte foime fût la même que celle de l’équation >•* = r* — x»» il faudrait que l’on pût avoir, dans tel ou tel cas, cos y — zéro; mais le cosinus d’un angle ne peut être nul que quand cet angle est droit ; donc dans le cas des coordonnées obliques l’équation contient toujours un terme en x'y (*).

(•) Si l’on avait voulu supposer imracdiatement ,

sin (.xxf) sin (xy) -t- cos (xx!) cos {xÿ) = o , on aurait eu, en divisant par le second terme,

sin (xx!) sin^ÿ 2 4. , = o } coslxx') ' cos(xÿ)

ou encore , parce que le rayo% des tables est 1 C n*. 85 ) •,

DiÿiiiteiJ by CjOO^U

DIS COOBDOX>l<Et, 109

Dans tout ceci nous anticipons un peu sur la théorie du cercle , mais il était assez nécessaire de faire quelques applications de la transfonnation des coordonnées ; et d’ailleurs il est d’usage que l’on prenne dans ces raa- ' tières le cercle pour exemple, en raison de ce qu’on le connaît déjà par la géométrie; c’est aussi pourquoi nous en avons parlé dès le n". 113.

161. Passage de coordonnées rectangulaires à d’autres coordonnées rectangulaires (n®. 1.59).

Il n’est pas nécessaire de faire ici une nouvelle figure et un nouveau calcul, il sufiit d’ob-server que les formules du numéro précédent peuvent facilement être modifiées pour le cas actuel. Lorsque l’angle (x'/) est droit, on a (x/)= 10û®+(xx'); or le complément de cet angle est — (xx'); donc alors sin (,xÿ) = cos (xx') et cos (x/) = — sin (xx'); substituant ce» valeurs dans les formules précédentes , elles deviennent ;

a: = x' cos (xx') — y sin (xx') , ' ; •

y = x' sin (xx') -1- y' cos (xx‘).

Si on les applique à la ligne droite et au cercle , les équations .... y — ax -+- 6 , y^ = r~ — a:* , deviendront y' = ix' -H 6', ji'* = r' — x'* } ensorte qu’elles n’auront pas changé de forme.

162. Passage de coordonnées obliques à des coordonnées rectangu-> laires (n', 159).

Il faudra faire le chemin inverse du n“. 160, et supposant que les premiei's axes sont AX' , Af, fig. 53, et les seconds AX, AY , que les premières coordonnées sont x' , y' , et les secondes x , y , on traitera pai' l’élimination les équations du n®. cité, pour en tirer les valeurs de v' , y , exprimées en X, y; et si l’on se souvient que (n’. 88. (8)),

sin (x<i) cos (xxf) — cos (xy'j sin (xx') = sin (xÿ — xx ') , puis si l’on remarque, dans la figure, que sin (xÿ — xod) = sin (x'ÿ) , on aura ;

^ X sin (xÿ) -'■y cos (xÿ)

sin (x'ÿ) ’

tang (xxt) tang (xy") -p i = o.

Or en considérant les nouveaux axes comme deux lignes droites rapportées aux axes rectangulaires AX, AY, on peut faire tang (xsé) — long mxxa\ n*’. 121, 123), et tang (xi/) — tang rri -=zà ; ce qui donne ad + i=o, ou ad— — S, et prouve ( n*. 151 ) que les droites AX , A Y' sont perpendiculaires entr’elles quand ou fait nul le coéfficient de x'ÿ ; ensorte que ce terme se trouve toiùours dan» l’équation avec des coordonnées obliq,ues, ' ,

iiO

THANSrOBMATIOW

' , y COS (xx') — X sin (xx')

^ sut (a//)

Changeant enfin, Rg. 5À, X en X" , F en F, et réciproquement; et faisant aussi le même changement dans les petites lettres, on obtiendra ;

x' sin (yx') — y' cos (yx')

sin (xy) ^

y' cos (xx‘) — x' sin (xx')

sut (xy)

n est évident que dans ce cas l'équation de la ligne droite ne changerait pas de forme , et que celle du cercle en changerait ; car c’est ici l'inverse du n°. 160.

163. Passage de coordonnées oblu/ues à d autres coordonnées obliques (n*. 159).

Supposons que nous avons les axes obliques AX. AY, fig. 55, passons d'abord, par le n*. 162, aux axes rectangulaires AX ou AX' , AY' , et de ceux-là nous irons , par le n*. 160, aux nouveaux axes obliques AX', A Y",

Puisque l’axe AX est le même que l’axe AX, ce que nous avons fait pour plus de simplicité, nous aurons l’angle (xx' ) — zéro , et les formules du n*. 162 donneront :

x' sin (yx' ) — y' cos (yx' ) sin (xy) '

— >' sin (xy)

Mais ici x' et y' ont des valeurs en x" , y" , que l'on pourra trouver par les formules du n®. 160, en y mettant x', y, à la place de x,y, etx", y", à la place de x', y' ; on aura ainsi :

x' = x" cos ( x'x" ) -f- y" cos ( x'y" ) , y = x" sin ( x'x" ) -f- y" sin ( x'y" ) ;

substituant enfin ces valeurs de x' ,ÿ, dans celles de x, y, qui précédent, celles-là deviendront , après toutes les réductions , et au moyen du principe de trigonométrie cité u®. 162 ;

^ s'ut(yx")-)-y" sut (yy")

sin (xy)

__ x" sin ( xx" ) y" sin ( xy" )

^ s'ui(xy)

dbscookdonnées. lit

On remarquera que le» x', y' , ont disparu de ce» formule», ce» quantité» ne nous ayant »ervi que comme intermédiaire» pour arriver aux expressions de X , y , en Jc" , y".

On pourrait appliquer ce» formules aux équation» de la ligne droite et du cercle ; mai» nous avons suffisamment vu , en tr aitant de la première de ce» lignes que son équation la plu» générale est y = «x + 6, soit pour un système de coordonnées rectangulaires , soit pour un système de coordonnées oblique» quelconque. Et quant au cercle , l’équation du n”. 160 ne peut qu’être générale pour les coordonnée» obliques , quand l’origine est au centre; ainsi les formule» actuelle» ne la changeraient pa» : c’est ce que l’on pourra vérifier si l’on veut ; mais le calcul est un peu long (*).

164. Du reste, quand on voudra transformer les coordonnée» dans tel ou tel cas particulier, relatif aux n“’. l6o, 161, 162, 163, il faudra comparer ce cas avec celle de nos figures qui lui conviendra, pour voir si le» axe» sont situés les un» à l’égai'd des autres comme ils doivent l’ètre , et prendre

■ (*) On trouvera une équation de cette forme:

Ax"^ + By"^ + Cx"y"=xr*,

et si l’on cherche à part les valeurs de y/, de fi, et de C, par les formules trjgonométriques , on trouvera y/ = 1 , fi = l, Cxicos d’où il résulte que

cette équation est bien la même que celle du n®. 160.

Voici le calcul pour coéflicient de x'’. En désignant pour plus de simplicité (xx") para, (yx^^ par 6, on aura (xy) = a + 6; cela posé le coéflicient en question sera :

jtn* a + sin* b -{-2 ùna sin b cos ( a-+- b ), si;t’ {a + b )

Le numérateur deviendra successivement (n°’. 68. 84);

sin* a -f- sin* b -^2 sin a sin b (cos a cos b — sin a sin b); sin* a + sin* 6 + 2 sin a sin b cos a cos b — sin* a sin* b — sin* a sin* b ; »i/i*a+sin*6+2rin a sin b cos a cos b — sin*a ( 1 — cos*b ) — sin*b ( 1— coi*a), Faisant les multiplications et réduisant , on aura

2 sût a sin b cos a cos b + sin* a cos* 6 + süi* b cos* a,

Quant au dénominateur il deviendra d’abord (sin a cosb+ cos a sinb)*, puis sin* à cos* 6 + 2 sin a sin b cos a cos b + s 'm* b cos* a ; ensorte qu’il sera égal au numérateur; et que le coéfiieieut A vaudra 1.

Le même calcul servira pour fi, en faisant ( xy" ) = <*,( yy" ) = i et . , , , , , (xy) =« + 6. Et cela mettra sur la voie pour faire la réduction de Ç,

H3 THANSroSMATION DES C O O > D O K N É E S.

convenablement les signes des quantités contenues dans les formules. Si par exemple l’axe des i' , fig. 63 , au lieu d’étre en dessus de celui des * , comme il l’est ici , devait , dans un cas particulier, être en des.sous , le sinus de l'angla <xx') serait en — , mais son cosinus resterait en -h. Etc.

Chaiiganenl dorigine et de Section (n®. 157).

165. Si on voulait passer d’un sj-stème de coordonnées à un autre, en changeant non-seulement la direction des axes , mais encore le point d’oii* gine, il est évident qu’il faudrait combiner la règle du n*. 158 avec quelqu’une de celles qui la suivent.

Pour passer , par exemple , de coordonnées rectangulaires à des coordonnées quelconques, en changeant d’ailleurs l’origine, on aurait, par les numéros 158 et 160 :

X = x' cof (xx') +y cor (x/) , y z= g x' sin ( xx' ) •+■/ sin ( xy' ).

En appliquant cela à l’équation du cercle x*-l-y — r*~o, dans laquelle les coordonnées sont rectangulaires cl l’origine au centre , si on voulait conserver l’axe des x , incliner vers lui celui des y , et transporter l'origine sur la courbe dans le sens des x en moins , on aurait /"xx: — r, g~o, (xx')=o, s!n (xi') = o, cosÇxx')=s:Ji=i ,ixy‘) = r, alors les formules précédentes deviendraient :

X = x' -f" cos y ÿ — r y — shi y y' !

substituant ces valeurs, ou leurs carrés, dans l’équation du cercle, elle deviendrait, apres les réductions, et en ôtant les accens :

X* 4-2 cos y. xy+-y* — 2rx — 2r cos y.yzszo', c’est l'équation au sommet pour les coordonnées obliques ou quelconques.

N. B. Je dis quelconques, parce qu'en supposant simplement corv=o, on se retrouverait dans les coordonnées rectangulaires. On pourra étendre cette observation à d'autres cas.