CHAPITRE

De la ligne circulaire : éguations , comlniclion des équations , propriétés

de cette courbe.

166. avons déjà parlé plusieurs fois du cercle, parce que cette

courbe très-simple et très-connue était très-propre à servir d'exemple pour le développement de certaines théories qui devaient nous occuper; nous allons maintenant en traiter spécialement.

Il résulte de la maniéré de décrire le cercle que tous les points de la circonférence sont à une même distance du centre ; cherchons d’après cela son équation la plus générale. Supposons que le cercle de la fig. 56 soit placé d'une manière quelconque relativement aux deux axes AK, AY, qui font entr’eux un angle à volonté y; il faudra exprimer que pour chaque point M de la courbe, la d’istance CAf est toujours la même. Or si on mène l’ordonnée MP et qu'on fasse passer par le centre une sécante indéfinie parallèle à l'axe des x , on aura , en général , par l'intersection de ces lignes, un triangle CMI, qui donnera pour chaque point 3/(n°*. 100. 137):

cÂ7‘ = c7‘- + + 2 cjyOMx.-^^.

Or si l’on désigne par /i la constante CD, qui est égale à l’abscissc du centre , et par k la constante IP , qui est égale à l’ordonnée de ce même point, on aura, dans la disposition de la figure, Cl—x — h,JM=y — k,

et représentant toujoui-s par e, et le rayon du cercle par r, l'équation précédente deviendra :

r^ = (x—hy + (t/—kY + 2e(x — h}(y—k)... (1).

Si l’ordonnée MP tombait à gauche du centre, on aurait CJ=h — x; mais l’angle opposé à CM étant alors v même, cela n’introduirait aucun changement dans l’équation (n". 137).

'V'oilà donc l’équation la plus générale du cercle ; en la développant et l’ordonnant on peut lui donner cette forme :

il-i Lic:«£ circulaire :

v’4-2cj>-fx-— (:2*4-2Af)r+C/t*+A*+2;ife— i-*;=:o....(2).

On oblicnJinit la miiiue équation en paiiant de toute autre propriété caruoléristiqiic du cercle, par exemple de celle-ci, que la perpendiculaire ûbaiüsée sur le diamètre est mojenne proportionnelle entre les deux segmens, etc. Et réciproquement on pourrait de cette équation tirer toutes les propriétés de la courbe ( n®. 116). Mais comme ces calculs seraient un peu longs avec un équation aussi chargée, nous allons la simplifier par la transformation des coordonnées; et nous nous e.xcrcerons d’ailleurs beaucoup sur cette courbe connue, pour que l’accord de toutes le* méthodes et de tou* les résultats nous fasse mieux sentir le* avantages de l’algèbre , et nous donne plus de confiance dans cet admirable instrument.

167. Pour transformer le* coordonnées, au lieu d’ employer les fonnule* générales, nous au''ons plus vite fait de substituer ici aux lettres h,k, e, le* valeurs particulières qu’elles doivent avoir dans tel ou tel système, .\insi lorsque l’origine est au centre, il faut faire h = zéro el k = zero; l’équation devient a’msi :

tj'+2exy+x'—i^=zo ... (.3);

ce qui s’accorde avec le n". 160, parce qu’on avait fait là 1, et qu’alors e = cos y.

Si on veut l’équation au sommet, c’est-à-dire celle qui a fieu quand l’origine est sur la courbe, et que l’a.xe des x passe par le centre, on fera. . . h=sr et kxxzéro, et l’on aura, comme au n®. 165 :

y* + 2e xy+ — 2rey — 2rx = o .... (4).

S’il faut obtenir l’équation générale pour le cas des coordonnées rectangulaires , on fera seulement e — zéro , et l'on trouvera par (1 ) et par (2) :

y* + — 2ày — 2hx 4- = o

C’est la meme équation sous deux fomes diflerentes , et il est évident que de l’une on peut tirer l’autre. Il faut se souvenir qne dans cette équation , tout comme dans les précédentes , h et k désignent le.s coordonnées du centre.

Maintenant , si l’on veut l’équation au centre pour le cas des coordonnées rectangulaires, on fera dans (5) h et k nuis, et l’on atua comme au n®. 115:

Digi!izj;îd by Coogle

^ ÉQUATIONS, PROPRIÉTÉ», CtC.

On aurait pu aussi la tirer de (.3).

Si oi) veut endii l’cquaiion au sommet, toujours pour le cas des coordonnées rectangulaires, on fera dans (5) h — r et k — zéro, et l’on obtiendra, comme au n°. 158 :

ÿ* + a® = 2rx (7).

On aurait pu aussi la tirer de (4).

Arrêtons-nous actuellement à ces deux dernières équations , qui sont ie.s plus simples de toutes.

168. Mous venons de les tirer de réqnation générale , obtenue elle-même de la propriété de la circonférence d’avoir tous ses points à une même distance du centre. Cette propriété nous avait déjà donné immédiatement l’équation au centre ( n*. 115), et de celle-là nous avions conclu l’équation au sommet ( n". 158 ). Voyons inuinienant comment d’autres propriétés caractéristiques de la courbe pourraient conduire aux mêmes résultats ( n*. 116).

Supposons que nous ne connaisson.s le cercle que pai’ cette propriété, c’est qu’il y a dans son intérieur un point par lequel menant une droite quelconque AB, fig. 4o, elle aboutira de part et d’autre a la courbe, et en abaissant de tout autre point Ai de cette même courbe une perpendiculaire A//* sur AB, elle sera moyenne proportionnelle entre AP et PB. Prenons AB pour axe des x, et par le milieu C de cette ligne, sans savoir si c’est le point dont nous avons parlé , menons à angle droit l’axe des y , et nommons r la constante AC = BC, nous aurons r-f-i ;y :: y : r — xî d’où nous tirerons V* = /■* — x®, ou )i® -f- x® = /■*. Mais d’un autre côté y* + X® = CAf^ ; donc CAf—r; c’est-à-dire que tous les points de la courbe sont à une même distance du point C milieu de AB.

Si l’on avait fait passer l’axe des y au point .4 , en nommant toujours r la moitié de la ligne AB, on aurait eu AP = x et PB=2r — x; ce qui aurait donné x : y :: y. 2r — x , et par conséquent y* = 2rx — x® , ou • . . . yî + X® — 2rx = O. Mais d’un autre côté on a y* + (x — r)*= CM * , ou y* + x® — 2rr -f-/^ = C'A/*, et, parce que les trois premiers termes se détruisent, CM = r. On retrouve ainsi les équations au centre et au sommet.

Suppposons encore que nous ne connai.ssons le cercle que par cette autre propriété, qii’aprés avoirmené une droiteA.fi, fig. 57, comme dans la construcUuu precedente , si de tout autre point A/ de la courbe on joint AM

MCV£ CIBCtlLAlRi:

llo

et BM, le triangle AMB est rectangle en M, voici comment nous trouvcïons l’équation.

Nous prendrons AB pour l’axe des x, et par le point C, milieu de AB, sans savoir si c’est là le point par lequel on a dû mener cette ligne, nous ferons passer à angle droit l’axe des y, et faisant toujours AC — BC—r,

nous aurons B Al * = 4/^. Or jiAI* =: ^* 4~ (r + x)* , et

B Al' = y‘ -i- (r — x)*; développant les carrés, substituant, et réduisant , nous obtiendrons encore = et joignant CM , noua prouverons,

comme ci-devant, que CM = r.

Si l’origine était en dl , on aurait , BM' =.y--^(2r — x)*,

d’où l’on t irerait jr* -J- x*=2rx; et l’on prouverait , comme on l’a déjà fait, CM = r.

Si l’on ne connaissait le cercle que par ceci, qu’apres avoir fait la dernière construction, on eût moyenne proportionnelle entre AB etylx, et BM mo yenne entre AB et Bx\ en mettant l’origine en C on aurait . . . 2r’.AM -. iAM -.r + x, d’où "aÂT = + 2/x. Or (r -f-x)» ;

développant le carré, égalant ces valeurs et réduisant, on trouverait . . .. ji’ -J- x’ = r* , et l’on prouverait CM = r. On amait le même résultat ,par deux valeurs de B Al'.

Si l’origme était en d , on retrouverait , par des calculs semblables , l’équation au sommet.

169. Supposons maintenant qu’on nous donne l’équation ji’ + x* =r*, et que nous ne sachions point à quelle ligne elle appartient ; il s’agit de reconnaître cette ligne, et de trouver scs propriétés (n®. 116); du moins dans le cas où l’angle des coordonnées est droit ; cette condition étant une des données du pro'Dlcme actuel t*).

Puisque les coordonnées font un angle droit, l’équation nous apprend que la quantité constante r est l'hypoténuse de chaque triangle rectangle fomic par une ordonnée et l'abscisse correspondante ; mais ces hypoténuses sont les distances de l'origine aux difléren.s points de la courbe; donc tous ces points sont à une même dwtancc de l’origine. Ainsi la courbe est ua cercle dont l’origine des abscisses est le centre.

Si on écrit l’équation de ccite maniéré y = — x®, on verra que

(*) Si r.tngle des coordonnées n’ctaît pas droit , la même équation apparticndrril à une ellipse , courbe que nous ne devons pas examiner pour le moment.

équations, PBOPRIÉTÉS, ctC.

pour chaque valeur de x il y aui'a deux valeurs de y égales l’une en + et l’autre en — ; ensortc que la courbe est toute pareille en dessus et en dessous de l’axe des x.

On verra aussi que pour toutes les valeurs de x égales de deux en deux en + et en — , ou pour toutes les abscisses égales de deux en deux à droite et à gauche du centre, les ordonnées en dessus de l'axe des x ont la même longueur, et par conséquent aussi en dessous ; car l'équation ne contenant que le carré de x , on aura le même résultat en donnant d'abord à X une certaine valeur en -+- puis la même valeur en — . Ce qui prouve que la courbe est aussi toute pareille à droite et à gauche de l’axe des y.

U résulte de ces deux observations que si on plie la figure par Taxe des X et en même tems par l'axe des y , les quatre portions cotnprises entre les axes se superposeront exactement.

On peut encore reconnaître cela par la comparaison des deux formes suivantes que l'on peut donner à l’équation :

Et ces deux formes prouvent aussi que les valeurs que l’on a pour y avec certaines valeurs de ar, sont égales à celles que l’on a pour x quand on donne à y les valeurs qu’on avait d’abord données à x. Si par exemple Cf = CH, fig. 40 , on a FG = HK.

Lorsque x égale i^ro, c’est-à-dire que la courbe rencontre

l’axe des y en dessus et en dessous de l'origine à une distance égale au rayon ; et lorsque x = ^r, on ay = o, ensorte que la courbe rencorttre ïaxe des x à droite et à gauche de l’origine à une distance qui est aussi égale au rayon ( n*. 117). Entre ces limites , à mesure que x augmente en •4- ou en — , à droite ou à gauche , r- — .t* diminue , et par conséquent y; mais lorsque ^ > ±;'"f o*' a \/r* — x’ imaginaire; ce qui prouve que la courbe ne se retrouve plus au delà des points A et B; elle ne se retrouve pas non plus nu delà des poi.nts D et £ , comme on le voit en faiity > rh ^ dans la valeur de x.

D’ailleurs les ordonnées étant égales pour une même abscisse , en dessus et eu dessous de l'axe des x , cet axe coupe en deux parties égales toutes les cordes qui lui sont perpendiculaires. Et comme l equation ne change poûu dans le passage de coordonuées rectangulaires à d’autres coordon-

LIGNE ctrcdlatrb:

nées rectangulaires, chaque corde est toujours perpendiculaire à un axe; donc tout rayon ou tout diamètre perpendiculaire à une corde la coupe eu deux parties égales.

On voit aussi que deux cordes égales sont également éloignées du centre, puis(,<i’ellc8 répondent à des abscisses égales ; et q^ue de deux cordes inégales la plus courte est la plus éloignée.

De tout ce qui précède il résulte aussi que cette courbe , qui est fermée dans tous les sens , est toujours partagée par un diamètre quelconque ch deux parties égales ; car, comme nous venons de le dire, chaque diamètre est un axe.

En reprenant l’équation et l’écrivant ainsi y^ = (r -\-x) ( r — i), on trouve r X •. y.‘. y : r — x ; ensorte que la perpendiculaire y abaissce d'un point de la courbe sur le diamètre est moyenne proportionnelle entre les deux segmens de cette ligne-(n°. il5).

Enfin si l’on mène AM et MB ^ fig. 57, on aura + 4-*)*,

= y*4-(r — *)’, et par conséquent A -f- M B' = -t- 2r- +

=z 2/'* — 2i’+2r*-+- 2x’ = -4r* = (2/-)’ = AB^ ; ce qui prouve que tout angle inscrit AMB appuyé sur le diamètre est droit.

' Et puisque A MT + (/--j-x)* = + x*, si l’on met à la

place de y' sa valeur A — x* , donnée par l’équation , on trouve .... AM^=2r {r-k-x)—ABy<,Ax. On trouverait de mèmeitii/’ =^/5X Bx. C’està-dire que chacune des cordes AM , MB , est moyenne proportionnelle entre Je diamètre et le segment correspondant.

Cela suffit pour faire voir que de l’équation au centre on pourrait conclure toutes les propriétés du cercle.

170. Si l’on nous demande quelle est la courbe à laquelle appartient l’équation y* 4- JJ* = 2rx , en supposant toujours les coordonnées rectangulaires , nous observerons d'abord que la somme des carrés de y et de x n’est pas constante , puisqu’elle vaut 2rx ; cela posé , pour rapprocher les teimcs en x nous écrirons — 2rx = o, et afin de completter le

carré commencé dans les deux derniers termes , nous mettrons

y* -f- a* — 2rx 4~ r* = r’ ouy‘ -f~ (-c — r)* = A-, de plus comme x — r est une variable diflcrentc de x, mais comptée sur le même axe, nous pourrons l’appeler i', alors l'équation deviendra y* -J- x'* = x*.

Nous reconnaîtrons ainsi plusieurs choses; et d’abord que nous avons transformé les coordomiées en portant l'origine le long de l'axe des x , à

toOATIONJ, PROTBiÉTis, ClC.

une distance éga’e à la constante r, puisque chaque nouvelle abscisse x' est de cette quamilé phis courte quelle n’était (n*. (58 ).

Nous reconnaitrons ensuite qtie notre courbe est un cercle dont le rayon est r, et dont le centre est la nouvelle origine; ensorte que l'ancienne, ou celle de l’équation proposée , est à l’extrémité du diamètre , savoir en A , fîg. 57.

£n(in nous verrons que si la somme des carrés des coordonnées , représentée par 2rx, est variable, c’est qu’en eft'ct AM' y qui vaut y* + a* ou 2/'x , est variable , puisque la corde A M l’est.

En donnant à l’cciuation ces deux formes ;

y = -±i*^2rx — X*, x = r±\/r^ — y*,

on verra, par la première, que la courbe est toute pareille des deux côtés de l’axe des x ; on verra , par la seconde , que pour une même valeur dejr on a deux valeurs de x inégales, et dont la difTcrence est 2-v//'* — jf* = 2Ct; ou, oc qui revient au mémo , qu’il y a toujours en dessus de l’axe des x deux ordonnées égales placées à égale distance à droite et à gauche du centre, et de meme en dessous de cet axe. On verra aussi que chaque abscisse est de r plus grande tjue dans l'equation au centre.

En faisant dans la première forme x =o, on aura y = o; lorsqu'on fera x=+r, on aura y = ±r-, lorsqu’on fera x = -|-2r, on aura y = o; quand on supposera x > 2r, l’ordonnée sera imaginaire ou impossible, et il en sera de même pour toute valeur de x en — ; ensorte que la courbe est toute d’un coté de Taxe des y , quoique partagée en deux parties égales par l’axe des x ; et elle ne se retrouve fjlus au "delà du point B.

Toutes les valeurs de x étatit donc comprises entre o et 2r, si on veut savoir comment marcheront les y entre ces limites , on prendi'a l’équation sous cette forme (x — = et l’on en tirera:

(A) ....y = ±^/r^ — (.r—xy, y = ± \/r^ — (x—ry . . .. (B).

On verra alors, par (A), que pendant l’accroissement de x depuis oju.squ’à r la fonction (r — x)* diminuera, ensorte que r* — (r — x)* augmentera , et par conséquent y , qui vaudra r quand x aura aussi atteint la longueur de r. L’abscisse .r surpassant ensuite r et continuant d’augmenter , on verra par (B), que (x — r)* ira en .augmentant , ensorte que — (x — /■)* ira en diminuant, et par conséquent y, qui sera nul quand x aura atteint Ja longueur 2r.

120 tIGNE CIBCCLAIBB: KQÜATIONS, rROFBléTéS, etc.

M.iintenant si l’on fait attention à ceci, que l’équation au centre ne change point lorsqu’on passe de coordonnées rectangulaires à d’autres coordonnées rectangulaires, et que de l’équation au centre, en transportant l’origine à la circonférence , on tire toujours la même équation au sommet, si , dis-je, on se souvient de ecla, et qu’on le combine avec ce que nous avons dit de l'équation r ± \//'* — y, on trouvera facilement toutes les propriétés des cordes et du diamètre dont nous avons parlé au n”. précédent.

Quant aux autres propriétés du cercle, on les conclura de l’équation au sommet, tout aussi facilement que de l’équation au centre.

Cn.A PITRK