CHAPITRE VII

Propriétés des sécantes , des tangentes , des normales , et des cordes

supplémentaires.

171. Pour suivre maintenant d’une autre manière la rencontre du cercle avec la ligne droite, ewa/ons de combiner le* équation» de ce* ligne*, en prenant pour la courbe son équation au centre , pui*que c'est la plu* simple.

Supposons une droite GM, fig. 59 , menée dans le plan d'un cercle , par un point G ( « , fl ) , et <7e manière à rencontrer la circonférence ; voyons comment elle la rencontrera.

L’équation du cercle rapporté aux axes XX', l'y, qui se coupent à angles droits dans son centre, est

celle de la droite assujettie à passer par le point G est (n®. 139) y — B=a(x — «)(*).

Mai» pour chaque valeur de x les valeurs de y de la droite et du cercle durèrent, sauf dans leurs points communs; ainsi supposer ces valeurs les même» , c’est chercher les points où les lignes se rencontrent ( n”‘. 142. 143). La seconde équation donne :

y = ax — (rt« — fl) .... (0;

d’où l’on Ure :

y* = a*x* — 2a (a* — fl) x +(a« — fl)*.

Substituant cette valeur de y* dans l’équation x* + y* — /*=o, on trouve tout de suite :

(*) Il faut observer qu’en supposant fl en plus, « peut être en plus ou en moins , parce qu’il peut être à droite ou à gauche du centre. La quantité a peut aussi être en plus ou en moins , suivant la position de la droite relativement aux axes. Nous allons faire le calcul comme si ■ et /i étaient en plus , de même que fl ; il sera facile de modifier les résultats obtenus , suivant lé» diderens cas particuliers qui pourront se présenter.

LIGNE CIBCULAIBS:

Ces équations étant l’une du second degré en x et l'autre du premier degré en y , nous apprennent qu'il y a en général deux abscisses dont chacune répond à une ordonnée commune à la droite et à la courbe , ou qu’une droite peut rencontrer une ciiGonfcrence en deux points , mais non en trois. Or toute droite qui rencontre ainsi la circonférence eu deux points s'appelle ime sécante.

Si on résolvait l’équation (2) pour en tirer deux valeurs de x exprimées en M , 0 , r , et a , et qu’on mît successivement ces valeurs à la place de a; dans l’équation (1), on obtiendrait les deux valems de y correspondantes; on aurait ainsi les coordonnées des points communs M,M‘.

sifi fti

172. Remarquons que a = (n®*. 12t. 122), m étant toujours l’an-

gle que la droite fait avec l’axe des x. Si net angle augmente son sinus augmente et son cosinus diminue, du moins jusqu’à ce que m soit droit; ainsi a augmente aussi. Le contraire a lieu si m diminue. Et il est évident^ que si le poiht a est au dehors du cercle, la di-oite en tournant sur ce point peut cesser de rencontrer la courbe ; alors les valeurs de x seraient imaginaires. Mais en écartant cette supposition, il nous reste à voir si les deux points d'intersection de la droite et du cercle ne pourraient pas, dans quelques cas, être réduits à un , ou si les deux valeurs de x ne pomraient pas se réduire à une.

Voyons d'abord si l’équation (2) ne peut jamais être abaissée a u premier degré. Il faudrait pour cela qu’on eût l-f-a* = o ou u = ÿ' — 1» ce qui est impossible.

Voyons ensuite si l’équation restant du second degré les deux valeurs de X ne peuvent jamais devenir égales. Il est évident qu’il suffirait pour cela que cette équation fût un carré par fait , ou que son dernier terme fût égal au carré de la moitié du coéffident du second; du moins lorsqu’on l'aurait écrite ainsi ;

2fl(a« — fl) . (a« — fl)* — r»

On aurait donc alors , en mettant au lieu de a pour distinguer nûeux la valeur de celte lettre qui peut convenir à la tangente :

SÉCANTES, TANGENTES, etc.

ce qui peut dépendre de la valeur àe A, ou de la grandeur de l’angle m; car • , 0 , et r sont des quantités qu’on se représente données.

Il faut donc tirer de cette équation de condition la valeur de il, et traiter cette lettre comme l'inconnue qu'on doit maintenant trouver. En faisant disparaître les diviseurs, développant les cai'rés, efiectuant les mulüpUca* tions , réduisant , etc. , on obtient :

d'où l'on tire enfin :