s ^ , ff—f
Quand A aura cette valeur l’équation (2) sera un carré parfait, qui ne donnera qu’une seule et même valeur pour x; ensorte que la droite et le cercle n'auront qu'un point commun : car s’il n’y a qu'une valeur pour x il n'y en a qu'une pour y, puisque l'équation (1) est du premier degré.
Or 1’. si le po'mt G était dans le cercle, comme on aurait «’ + a* < r*, la valeur de A serait imaginaire ; c’est-à-dire qu'alors il j aurait nécessairement deux valeurs de a: , ou deux points d'intersection.
(*) On trouverait aussi ce résultat en observant que le coéfScient du second terme de l’équation précédente pris en plus est la somme des deux valeurs de a; , qui étant ici supposées, égales en valent chacune la moitié, et que le dernier terme étant le produit de ces mêmes valeurs, chacune en vaut dans ce cas la racine carrée ( Algéb. d’Emile n<”. 404. 408 ).
(**) Si un voulait que l’origine fQt au sommet, il faudrait mettre dans celte formule « — r à la place de ■, et l’on aurait pour ce cas :
> — ±:r x/ff — (2r« —
«*.— 2ra
OU , ce qui revient au même :
A = rfc ^ — (2r« — ■*)
LIGNE CIBCÜIAIEE:
2*. Si le point G était sur la circonférence , lîg. 62 , comme on aurait r=r’, la valem- de A deviendrait , quantité toujours possible,
et qui se réduit encore à
en mettant «• + à la place de dans le dénominateur. On pourrait donc alors mener la droite sous un angle tel qu'elle n’eût qu’un point de commun avec la circonférence; ce serait une tangente, mais une tangente unique puisqu’il n’y aurait qu’une valeur pour A.
Dans ce cas , si le point G se trouve sur l'arc du premier angle des coordonnées , comme dans la figure , « étant en -f- ainsi que B on aura A eu — ; c’est qu’alors l’angle m sera obtus et son cosinus sera en — .
Si le point se trouve sur le second arc , <• sera en — et fl en + et par conséquent .4 en ; c’est que le sinus de m et son cosinus seront tous deux en-f-.
Si le point est placé sur le troisième arc , « et fl seront tous deux en — et par conséquent A sera en — ; et en efl'et le sinus de m sera alors en «— et le cosinus en
Si le point est sur le quatrième arc, « sera en -f- et fl en — et par conséquent .4 en + ; c’est qu’alors le sinus et le cosinus seront tous deux en — ,
Si le point est sur Taxe des y , d’un côté ou de l’autre de l’axe des x,
« sera nul et A aussi ; ce qui prouve que sin m sera zéro , et que la droits sera parallèle à l’axe des x ou perpendiculaire à celui des y. Mais comme l'équation du cercle ne change pas en faisant tourner les axes autour du centre, chaque point de la circonférence peut être considéré comme pris sur Taxe des y ; donc la tagente est toujoui’s perpendiculaire au rayon.
Enfin si le point est sur l’axe des x, on a «=;4;rctfl = o; alors . . = î, ou = 1 , d’où il résulte cos m = c; ce qui prouve encore que la tangente fait un angle droit avec l’axe des x quand le point de contact est sur cet axe ; mais on peut toujours le considérer comme placé ainsi ; donc noua retrouvons le résultat précédent. >
3®. Si le point G est hors de la circonférence , fig. 59, on aura toujours,' comme cela est évident -f- fl’ > r’ , ensorte qu’il existera dans l’équation (4) deux valeurs de A possibles , qui laisseront l'équation (2) un carré parfait , et à chacune de ces valeurs de A répondra une valeur de x en (2),
jiCANTES, TANGEWTÏI, CtC.
et une valeur de y correspondante en (1). On voit par là que d'un point extérieur au cercle , on peut mener deux tangentes GN ^ ON à cette courbe (•).
173. Maintenant pour reconnaître mieux les propriétés de ces tangentes, plaçons-les dans quelque circonstance plus particulière et plus favorable : Faisons tourner les deux axes sur le ocnti e , jusqu'à ce que celui des x passe en C, fig. 61 , ce que l'on peut toujours concevoir, et qui ne changera rien aux deux tangentes ; alors ô étant nul, l'équation (1) deviendra :
l'équation (2) :
l'équation (3) ;
(*) Si l’on n'eût pas eu pour but de trouver la valeur de A qui convient à la tangente , et qu’on eût simplcincnt voulu prouver l’cxislcnce de cette ligne et de la sécante, on aurait pu le faire d'une manière plus simple. Car dans l’équa- Uon générale du cercle l’axe des x peut être placé rclativcmeut à la courbe d’une manière quelconque, et représenter par conséquent la droite qui doit le rencontrer. Or dans les points où cet axe rencontre la couibc l’ordonnée est nulle ; en faisant donc y = o dans l'équation générale , et même dans l’équation (5) du n*. 126, dont les coordonnées sont rartangulaires , on verra, par le degré de l’équation restante en x, combien d'abscisses répondent à i/ = o, ou combien il peut y avoir de points d’intersection. On peut meme supposer que l’axe des ij passe par le centre , quoique l'origine n’y soit pas , et l’on aura encore /< = o. On trouvera ainsi :
Or cette équation n’étant qvie du second degré ne permet ni «ne seule hitcrscc-. tion proprement dite, ni plus de deux, et comme elle est très -simple, on U résout facilement , et l’on obtient :
a: ir 4;
tnsorte que si l’ordonnée k du centre est plus grande que le rayon , il n'y a point d’intersection ; si elle est plus petite que le rayon , >1 y en a deux ; cl si elle est égale au rayon, il n’y a qu’un point de commun à la droite et au 'cercle. Mais il ne faut pas oublier que ces valeurs sont relatives aux coordonnées rectangn-» laires.
{26 LIONS cikcolaise:
et enfin l'équation (4) :
N. B. Ce dernier résultat se tire encore plus vite de (8) que de la réduc» tion de (4).
Cela posé lorsque le point G est extérieur, •> étant plus grand que r , il y a, comme on le voit en (9), deux valeurs de A possibles et égales, mais l’une en + et l'autre en moins ; c’est-à-dire .qu’on peut mener par G deux • droites GN, GN' , l'une d'un côté de l’axe des x qui passe en G, l'autre de l’auU'e , sous im même angle , et qui seront toutes deux tangentes.
Ces deux valeurs de A , mises dans (7) , donneront la même équation ,* parce que (7) ne contient que le carré de cette lettre ; ainsi on aura pour les deux tangentes la même valeur de x ; cette dernière valeur étant substituée dans (6), d'abord avec l’une des valeurs de il, et ensuite avec l’autre, on obtiendra deux valeurs de y égales , l’une en -f- et l’autre en — . Les triangles Ç(7iV, QGN , formés pai' l’axe, par les deux tangentes, et par les deux ordonnées , auront donc leurs angles égaux , un côté commun , et un autre côté égal; ils seront ainsi égaux, et par conséquent les deux tangentes seront égales.
1 74. Avant de quitter la tangente , occupons-nous de son équation. Celle de toutes les droites qui passent par le point G est (n”. 171):
et si l'on y inet la valeur de a ou de .i donnée par la formule (4), oH aura l'équation la plus générale de la tangente pour le cas où l'origine est au centre. On pourra lui donner cette forme t
(«’ — r*) ( y— s) — (x— «) «fi=ar ( J?— «) -f jP — r* . .. (10).
Si le point G par où passe la tangente est extérieur , mais placé sur l'axe des X, fig. 61 , on aura 8 — o, et l'équation précédente deviendra:
(•* — r*)^ =; r{x — n) V»* — r* , ou , en divisant par le radical :
y — r* =: r (ar — •) . . . (11) ;
c'est l'équation de la tangente qui passe par un point extérieur donné sut l’axe des x.
SÉCANTES, TANGENTES, etc. 127
Enfin N le point O est sur la circonférence , fig. 62 , et qué ses coordonnées soient toujours désignées par • et ^ , on aura «* + fl» = r* , et l’équation (10) devicndia — fl*y -+- fl* — «fl* + «»fl = o, d'où Ton tirera;
fly «X c= r» (12);
c‘est donc l'équation de la tangente menée par- un point donné sur la circonférence.
Si on eût voulu obtenir (11) immédiatement , on amait mis la valeur de A de la formule (9) dans l’équation y — a{x — ■). Et si on eût voulu trouver immédiatement (12j , on aurait mis la valeur de A donnée par la formule (5) dans l’équation y — fl = a(a: — «). Dans ce cas, on aurait
d’abord eu fl=: — (x — «); d’où l’on lire facilement. fly 4- «-r = .
Dans ces fomules les données sont, outre le rayon du cercle, les coordonnées du point par où jjassc la tangente. On pourrait y en introduire d'autres: Par exemple, si dans le cas de la formule (11) on ne connoissait pas « et qu’on connût A, on tirerait de (9) la valeur de « en .4 , on la substituerait en (11), et l’on aurait, pour équation de la même tangente;
Si dans le cas de (12) on ne connaissait pas « et qu'on connût fl et on tirerait de (5) la valeur de «, et on la substituerait dans (12). Ou bien si l’on ne connaissait pas fl et qu’on connût » et A, on tirerait de (5) la valeur de fl et on la mettrait dans (12). On aurait ainsi , pour équations de la même tangente :
Ay‘—AAx = r*, Amx — «y= il;» ,... (14).
Mais n’oublions pas que dans toutes ces formules la grandeur de x compte du centre , car c’est l’équation au centré que nous avons employée pour les calculer. Si on plaçait l’origine ailleurs , on aurait encore des équations ditférentes.
175. Du reste l'équation d’une droite ne représente que le caractère de cette ligne et sa position relativement à deux axes sur un plan , et ne lui assigne aucune longueur déterminée ; c’est ainsi que nous venons de considérer la tangente. Mms en traitant des courbes on cherche ordinairement la grandeur de la ligne «T, fig. 62, que l’on appelle soustangenU ; c'est
LIGNe CIRCULAIBZ:
la distance qu’il y a depuis le pied de l'ordonnée du point de Contact jus* qu'au point où la tangente rencontre l'axe des x, lorsque celui-ci passe par le centre. Nous allons donc chercher maintenant, non l'équation de «7’, car cette équation ne serait autre chose que celle de l'axe XX ' , mais la valeur de cetic ligne »T considérée comme finie.
Il est évident d'ailleurs que lorsque le point G, par où doit passer la tangente, est donné sur la circonférence, si l’on détermine la position du point T, la droite qui joindra ces deux points sera la tangente demandée.
Or la soustangente «T, comme on le voit par la figure, vaut AT — ■; et AT n’est autre chose que l’abscisse du point T, ou celle qui répond dans l’équation de la tangente à l’ordonnée nulle ; mais en faisant dans (12j y = o, /**
on trouve x ou AT — — ; retranchant • et réduisant on obtient ;
SouslatigenU = = —
Cette ligne est donc une troisième proportionnelle à « et à ô, ou une quatrième proportionnelle à «, r-+-«, et r — «.
Ayant la valeur de la soustangente «T", il sera facile de calculer celle de la ligne TG , qu'on appelle encore la tangente , eu la considérant alors comme limitée; car
donc
yCr* =3 -f- «7* = /S* -4“
Br
Tangente = —
fi* fiv»
ou • : B :: r long.
Du reste ces valeurs sont relatives à l’équation au centre , et l'on ne doit pas perdre de vue que « et « sont ici les coordonnées du point de contact.
176. Quanta la sécante, son équation générale n'est autre chose que celle de toutes les droites qui passent par le point G ; il ne reste qu’à la particulariser suivant les conditions auxquelles on veut l'assujettir.
Si par exemple , le point G étant sur la circonférence , on voulait que la sécante fût perpendiculaire à la tangente , toutes deux passant par ce point G, on aurait d'abord pour' l’e quation générale de celte sécante (n“‘. 144. U5) :
fiCAKTES, TANGENTES, etC.
Mais ici ^ • j (formules), donc — — : d'où il résulte que l’é*
quation dans ce cas est
laquelle peut se réduire à ces deux formes :
«y = flar, y=i-a; (15).'
C’est l’équation de la normale; on appelle ainsi , dans une courbe quelconque, la perpendiculaire menée sur la tangente au point de contact.
La dernière forme de cette équation nous dit que dans le cercle la normale passe au centre; car ici l'origine des coordonnées est le centre. Or nous avions déjà vu que la tangente était perpendiculaire au rayon qui aboutit au point de contact ( n”. 172. 2*. ).
177, Si on eût voulu assujettir la sécante à passer par le point de contact et parle centre, on aurait pris pour son équation l'équation (/>) du n®. 135, où l’on aurait fait «' = o, ifsso, comme coordonnées du centre
ou de l'origine, et l’on aurait eu y ~ — x. Or si l’on désigne — par A',
comme on a d'ailleurs A = ,
